2021～2022学年学而思第二学期高一年级期末考试数学试卷及参考答案

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2021～2022学年第二学期高一年级期末考试数 学 试 卷参考答案命题人：高一数学备课组   审题人：刘蒋巍  2022.06说明：1. 以下题目的答案做在答卷纸上。2. 本卷总分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．作答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.2．圆锥的体积公式为(其中为底面圆的面积) . 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C2.已知向量，则值为（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D 3.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.故选：C. 4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（    ）A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C. 甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D. 乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，D选项结论正确.故选：C  5. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．6. 已知函数，则（    ）A. 在上单调递减 B. 在上单调递增C. 在上单调递减 D. 在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C. 7.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ）A.  B. AB与平面所成的角为C.  D. 与平面所成的角为【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．对于A，，，，A错误；对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选：D． 8. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】先证明当四棱锥顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又则当且仅当即时等号成立，故选：C  二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.漏选得2分，错选不得分。 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据样本极差相同【答案】CD【详解】A：且，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；C：，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 10.已知为坐标原点，点，，，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AC【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说；故选：AC 11. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.一个三棱锥的三个侧面中有一个是边长为2的正三角形，另外两个是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积可能为（   ）    B.       C.       D.【答案】ABC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，，，_______．【答案】【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得，因此，故答案为：.  14. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】或0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为10种甲、乙都入选的方法数为3种，所以甲、乙都入选的概率故答案为： 15. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．【答案】.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以．故答案为：.16.已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．【答案】【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)  甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．求甲学校获得冠军的概率；答案：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．  (本题满分12分) 在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间的概率； 【答案】（1）岁；    （2）；    【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；【第1问详解】平均年龄    （岁）．【第2问详解】设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以．        (本题满分12分) 如图，四面体中，，E为AC的中点．（1）证明：平面平面ACD；（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【第1问详解】由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【第2问详解】依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以,所以. (本题满分12分)   记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求的面积；（2）若，求b．【答案】（1）    （2）【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【小问1详解】由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；【小问2详解】由正弦定理得：，则，则，. 21.(本题满分12分) 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．【答案】（1）；    （2）．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为，即，而，所以；【小问2详解】由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．    22.(本题满分12分)  如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，平面平面.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的大小.     （1）证明：平面PAD平面PAB，平面PAD平面PAB=PA，，PB平面PABPB平面PAD又PB平面PBC平面PAD平面PBC. ···············································4分（2）解: 在等腰梯形ABCD中，过点C，D 分别作CE，DF垂直于AB,垂足为E，F ,延长AD，BC，交于点Q. 连接PQ，在平面PAD 中过点D作DGPA，垂足为G，连接EG.平面PAD平面PAB，DGPA，DG平面PAB又DFABEGAB为二面角的平面角平面PAD平面PBC，交线为PQPD在平面PBC上的射影为PQ为PD与平面PBC所成的角··········································6分在等腰梯形ABCD中不妨设AB=4，由已知条件的，在中，，····························································8分在中，由得由（1）知PB平面PADPBAD，又ADBDAD平面PBDADPD在中，PD与平面PBC所成角为···········································12分