江苏省镇江中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷及参考答案

这是一份江苏省镇江中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷及参考答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省镇江中学高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．若z（1﹣i）＝4i，则|z|＝（　　）
A． B．2 C．2 D．4
2．若＝（3，1），＝（﹣2，5），（2﹣）∥（3+m），则m＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
4．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．12π B．24π C．36π D．144π
5．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底边BC＝6，AB＝5，则P到BC的距离为（　　）
A． B． C． D．2
6．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（　　）
A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD
7．若sin（α+β）sin（α﹣β）＝﹣，则cos2α﹣cos2β＝（　　）
A． B． C． D．
8．一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为14，现将该容器盛满水，然后平稳慢慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，则圆柱的母线与水平面所成的角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
二、多项选择题
9．在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，，A＝30°，则B的大小可能为（　　）
A．30° B．150° C．60° D．120°
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有（　　）
A．直线A1B B．直线BB1 C．平面A1DC1 D．平面A1BC1
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（　　）
A．若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC
B．若a＝60，b＝30，B＝25°，则满足条件的△ABC有两个
C．若0＜tanAtanB＜1，则△ABC是钝角三角形
D．存在角A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立
12．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长40厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（　　）

A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120°
B．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上则该球的表面积为6400π平方厘米
C．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米
D．将此斗笠放在平面上，在此斗笠与平面围成的空间内放置一球，则该球的最大半径为厘米
三、填空题
13．复数i（2+i）的虚部为　 　．
14．若，则tanα＝　 　．
15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝1，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是 　 　．
16．如图所示，半径均为r的四个小球两两外切，它们又内切于正四面体ABCD，即正四面体的每个面均与其中三个球相切，已知正四面体的棱长为a，则小球半径r＝　 　．

四、解答题
17．如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）求证：MN⊥CD．

18．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求c的值；
（2）若，，求△ABC的面积．
19．已知，，α，β均为锐角，且．
（1）求cos（α+β）的值；
（2）若，求cosβ的值．
20．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC．
（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）设AB＝PC＝4，AC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的正切值．

21．如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．

22．如图（1），六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AF＝EF＝ED＝2，AD＝CD＝4，沿AD进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且∠AEC＝90°．

（Ⅰ）求证：CD⊥面ADEF；
（Ⅱ）求证：点E，C，B，F不在同一平面内；
（Ⅲ）求翻折后所得多面体ABCDEF的体积．


参考答案
一、单项选择题
1．若z（1﹣i）＝4i，则|z|＝（　　）
A． B．2 C．2 D．4
解：因为z（1﹣i）＝4i，
所以，故．
故选：B．
2．若＝（3，1），＝（﹣2，5），（2﹣）∥（3+m），则m＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵＝（3，1），＝（﹣2，5），
∴＝（6，2）﹣（﹣2，5）＝（8，﹣3），
＝（9，3）+（﹣2m，5m）＝（9﹣2m，3+5m），
∵（2﹣）∥（3+m），
∴＝，
解得m＝﹣．
故选：C．
3．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
解：∵AB1∥DC1，
∴∠DC1B是直线AB1与BC1所成角，
∵△BDC1是等边三角形，
∴直线AB1与BC1所成角60°．
故选：C．

4．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A．12π B．24π C．36π D．144π
解：正方体外接球的球心在体对角线的中点，设半径为R，则，
即4R2＝24，所以球的表面积为4πR2＝24π．
故选：B．
5．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，底边BC＝6，AB＝5，则P到BC的距离为（　　）
A． B． C． D．2
解：取BC的中点D，连接AD，PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，
∵BC＝6，AB＝5，
∴AD＝4，
∵PA＝8，∴PD＝＝4，
故选：A．

6．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（　　）
A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD
解：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，
所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，
所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ACD．
故选：B．

7．若sin（α+β）sin（α﹣β）＝﹣，则cos2α﹣cos2β＝（　　）
A． B． C． D．
解：若，
所以（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ﹣cosαsinβ）＝﹣，
整理得：，
故，
则，
所以．
故选：C．
8．一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为14，现将该容器盛满水，然后平稳慢慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，则圆柱的母线与水平面所成的角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
解：由题意可得，圆柱形容器中水的总体积为V＝πr2h＝π•32•14＝126π，
由容器中的水是原来的，可得流出水的体积为，
故，
所以，
则＝，
所以圆柱的母线与水平面所成的角的余弦值为．
故选：B．

二、多项选择题
9．在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，，A＝30°，则B的大小可能为（　　）
A．30° B．150° C．60° D．120°
解：由a＝2，b＝2，A＝30°，
根据正弦定理，得：sinB＝＝＝，
又A＝30°，得到30°＜B＜150°，
则B＝60°或120°．
故选：CD．
10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有（　　）
A．直线A1B B．直线BB1 C．平面A1DC1 D．平面A1BC1
解：对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；
对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B不平行平面ACD1；
对于C，由于A1D∩AD1，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行；
对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1，可得平面A1BC1∥平面ACD1．
故选：AD．

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（　　）
A．若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC
B．若a＝60，b＝30，B＝25°，则满足条件的△ABC有两个
C．若0＜tanAtanB＜1，则△ABC是钝角三角形
D．存在角A，B，C，使得tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立
解：对于A，若A＞B＞C，则a＞b＞c，由正弦定理可得，则sinA＞sinB＞sinC，故正确；
对于B，若a＝60，b＝30，B＝25°，则60sin25°＜60sin30°＝30，因此满足条件的△ABC有两个，故B正确；
对于C，若0＜tanAtanB＜1，则﹣tanC＝tan（A+B）＝＞0，又由于tanC＜0，C∈（0，π），可得C∈（ ，π），△ABC是钝角三角形，故C正确；
对于D，由于当C≠时，﹣tanC＝tan（A+B）＝，可得tanAtanBtanC＝tanA+tanB+tanC，故D错误．
故选：ABC．
12．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长40厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（　　）

A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120°
B．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上则该球的表面积为6400π平方厘米
C．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米
D．将此斗笠放在平面上，在此斗笠与平面围成的空间内放置一球，则该球的最大半径为厘米
解：对于A：PO＝＝20，
所以sin∠BPO＝＝＝，即∠BPO＝60°，
所以∠APB＝120°，故A正确；

对于B：设外接球球心为M，半径为R，
所以MA＝MP＝R，
在△AOM中，由勾股定理可得（20）2+（20﹣R）2＝R2，
解得R＝40，
所以该球的表面积S＝4π•402＝6400π，故B正确；

对于C：设∠APB＝θ，
截面三角形面积S＝•PA2•sinθ＝800sinθ≤800，故C不正确；
对于D：设球心为O′，截面主视图如下，
设内切圆的半径为r，
△ABP各边长分别为PA＝PB＝40，AB＝40，
所以（40+40+40）r＝×40×20，
解得r＝40﹣60，故D正确．

故选：ABD．
三、填空题
13．复数i（2+i）的虚部为　2　．
解：复数i（2+i）＝2i﹣1的虚部为2．
故答案为：2．
14．若，则tanα＝　　．
解：由于，
所以tan＝．
故答案为：．
15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝1，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是 　5　．
解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面可如下图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为：
＝，
＝5，
＝，
∴一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是5．
故答案为：5．
16．如图所示，半径均为r的四个小球两两外切，它们又内切于正四面体ABCD，即正四面体的每个面均与其中三个球相切，已知正四面体的棱长为a，则小球半径r＝　　．

解：四个小球的球心组成一个棱长为2r的正四面体，设它的中心O到各面的距离为d，
组成的正四面体的高为h，且h＝，
由等体积法可得，＝，
∴，且d＝，
正四面体D﹣ABC的各面分别与上述正四面体的各面平行，距离均为r，
两正四面体有公共中心O，
∴，则正四面体D﹣ABC的棱长为2r•＝2r•（），
又正四面体D﹣ABC的棱长为a，∴a＝2r•（），
得r＝．
故答案为：．
四、解答题
17．如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）求证：MN⊥CD．

【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接AE，EN．
∵E，N分别是C，D中点，∴ENCD，
又∵CD∥AB，M是AB中点，
∴AMCD，∴AMEN，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE．
∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD．…
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，
又∵MN∥AE，∴CD⊥MN．…

18．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求c的值；
（2）若，，求△ABC的面积．
解：（1）因为，
由正弦定理可得2sinAcosB+2sinBcosA＝csinC，可得2sin（A+B）＝2sinC＝csinC，
因为sinC≠0，
所以c＝4．
（2）因为，，
所以由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝32﹣3ab＝16，解得ab＝，
所以△ABC的面积S＝absinC＝×＝．
19．已知，，α，β均为锐角，且．
（1）求cos（α+β）的值；
（2）若，求cosβ的值．
解：（1）由于，
所以，
由于，，
所以，
由于，所以，
整理得，
所以．
（2）由于，所以，
由于，所以，
故cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝．
20．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC．
（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）设AB＝PC＝4，AC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的正切值．

【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥BC，
∵点C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC，
又PC∩AC＝C，PC、AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．

（2）解：由（1）知，BC⊥平面PAC，即点B在平面PAC上的投影点为C，
过C作CD⊥PA，连接BD，则∠BDC即为二面角B﹣PA﹣C的平面角，
∵AB＝PC＝4，AC＝2，
∴BC＝＝2，PA＝＝2，CD＝＝＝，
在Rt△BCD中，tan∠BDC＝＝＝，
故二面角B﹣PA﹣C的正切值为．
21．如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．

解：（1）设AB的高度为h，在△CAB中，
因为∠ACB＝45°，所以CB＝h．
在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，
所以OB＝＝h，EB＝＝h．
由题意得OE＝OB﹣BE＝，解得．
所以AB的高为米．
（2）在△OBC中，cos∠COB＝＝＝，
所以在△OCE中，CE2＝OC2+OE2﹣2OC2•OE•cos∠COE＝122+122﹣2×12×12×＝48，
解得CE＝，
所以CE的长为米．
22．如图（1），六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AF＝EF＝ED＝2，AD＝CD＝4，沿AD进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且∠AEC＝90°．

（Ⅰ）求证：CD⊥面ADEF；
（Ⅱ）求证：点E，C，B，F不在同一平面内；
（Ⅲ）求翻折后所得多面体ABCDEF的体积．
解：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ADEF中，作EM⊥AD于M，则AM＝3，，
∴，连接AC，则，
∵∠AEC＝90°，∴，则ED2+DC2＝EC2，
得CD⊥ED；
又∵CD⊥AD，AD∩ED＝D，∴CD⊥平面ADEF；
（Ⅱ）证明：设G为CD中点，则AB∥DG且AB＝DG，
可知ABGD为平行四边形，故BG∥AD，
又EF∥AD，∴FE∥BG，于是E，F，B，G四点共面，
而CD⊂平面ABCD，C显然不在平面EFBG内，
∴点E，C，B，F不在同一平面内；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，CD⊥平面ADEF，而CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADEF．
∵EM⊥AD，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，∴EM⊥平面ABCD，
∴VABCDEF＝VC﹣ADEF+VF﹣ABC＝
＝．