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初中数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程多媒体教学课件ppt
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这是一份初中数学沪科版九年级上册21.3 二次函数与一元二次方程多媒体教学课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了学习目标，导入新课，情境引入，考虑以下问题，讲授新课，为一个常数确定值，观察图象完成下表，知识要点，b2-4ac＞0，没有交点等内容，欢迎下载使用。
1. 通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；（重点）2. 会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；（重点）3. 通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点）
问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系： h = 20t - 5t2.
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m.
解：令 15 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3.
你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？
(2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？
解：令 20 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 4 = 0，解得 t1 = t2 = 2.
故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m.
h = 20t - 5t2
解：令 20.5 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 4.1 = 0，因为 Δ = (-4)2 - 4×4.1＜0，所以方程无解.故小球的飞行高度达不到 20.5 m.
(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗?
(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？
令 0 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t = 0，解得 t1 = 0，t2 = 4.
即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.
故小球从飞出到落地要用 4 s 时间.
解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m，
从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程?
一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程.
如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c 就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）得到．
反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值．
思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y = x2 + x - 2；（2）y = x2 - 6x + 9；（3）y = x2 - x + 1.
x2 - x + 1 = 0,无解
x2-6x+9=0,x1=x2=3
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
有两个交点(x1,0),(x2,0)
有两个不相等的实数根 x1,x2
b2 - 4ac = 0
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).(1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点；
证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 (m ≠ 0)，∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个实数根.∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 与 x 轴总有交点.
解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0 或 mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数 m 的值为 1.
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
变式：已知抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.(1) 求证：不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点；(2) 设这个抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值．
(1) 证明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴ 不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点.(2) 解：依题意知 x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3. ∴ a＝1.
例2 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，此时离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？
解：令 即 解得 故当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是 1 m 或 5 m.
（1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？
(2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？
解：令 即 解得 故当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3 m.
解：令 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m.
(3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？
二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了.
例3 用图象法求一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的近似解（精确到 0.1）.
分析：一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的根就是抛物线 y = x² + 2x - 1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
解：画出函数 y = x² + 2x - 1 的图象 (如图)，由图象可知，方程 x² + 2x - 1 = 0 有两个实数根，一个在 -3 与 -2 之间，另一个在 0 与 1 之间.
先求位于 -3 到 -2 之间的根，由图象可估计这个根是 -2.5 或 -2.4，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当 x 分别取 -2.5 和 -2.4 时，对应的 y 由正变负，可见在 -2.5 和 -2.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有方程 x2 - 2x -1 = 0 的一个根. 题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -2.5 和 x = -2.4 作为根都符合要求.但当 x = -2.4 时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1) 用描点法作出二次函数的图象；
(2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根).
(3) 确定方程的解.
由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.
例4 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为( )A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x 的范围是 ( ) A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26
1. 根据下列表格的对应值：
2. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = .
3. 一元二次方程 3x2 + x - 10 = 0 的两个根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点坐标是 .
4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于 ( )A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限
5. 二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 ( )A. k＜3 B. k＜3 且 k ≠ 0C. k≤3 D. k≤3 且 k ≠ 0
6. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围．
解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数．∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3. 当 k ≠ 3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数．∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，即 k≤4 且 k ≠ 3.综上所述，k 的取值范围是 k≤4.
7. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米．
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：由题意可知，A (0， )，B (4，4)，C (7，3)，其中点 B 是抛物线的顶点.设二次函数表达式为 y＝a(x－4)2＋4，将点 A 的坐标代入，可得 a＝－ ，故 y＝－ (x－4)2＋4.当 x＝7 时，y＝－ (7－4)2＋4＝3，∴ 点 C (7，3) 在该抛物线上．∴ 此球能准确投中.
(2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否获得成功？
解：将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3. 因为 3.1＞3， 所以盖帽能获得成功．
1. 通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系；（重点）2. 会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；（重点）3. 通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点）
问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系： h = 20t - 5t2.
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m.
解：令 15 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1， t2 = 3.
你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？
(2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？
解：令 20 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 4 = 0，解得 t1 = t2 = 2.
故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m.
h = 20t - 5t2
解：令 20.5 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t + 4.1 = 0，因为 Δ = (-4)2 - 4×4.1＜0，所以方程无解.故小球的飞行高度达不到 20.5 m.
(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗?
(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？
令 0 = 20t - 5t2，整理，得 t2 - 4t = 0，解得 t1 = 0，t2 = 4.
即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.
故小球从飞出到落地要用 4 s 时间.
解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m，
从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程?
一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程.
如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c 就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）得到．
反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值．
思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y = x2 + x - 2；（2）y = x2 - 6x + 9；（3）y = x2 - x + 1.
x2 - x + 1 = 0,无解
x2-6x+9=0,x1=x2=3
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
有两个交点(x1,0),(x2,0)
有两个不相等的实数根 x1,x2
b2 - 4ac = 0
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).(1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点；
证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 (m ≠ 0)，∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个实数根.∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 与 x 轴总有交点.
解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0 或 mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数 m 的值为 1.
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
变式：已知抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.(1) 求证：不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点；(2) 设这个抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值．
(1) 证明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴ 不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点.(2) 解：依题意知 x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3. ∴ a＝1.
例2 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，此时离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？
解：令 即 解得 故当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是 1 m 或 5 m.
（1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？
(2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？
解：令 即 解得 故当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置的水平距离是 3 m.
解：令 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m.
(3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？
二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了.
例3 用图象法求一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的近似解（精确到 0.1）.
分析：一元二次方程 x² + 2x - 1 = 0 的根就是抛物线 y = x² + 2x - 1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
解：画出函数 y = x² + 2x - 1 的图象 (如图)，由图象可知，方程 x² + 2x - 1 = 0 有两个实数根，一个在 -3 与 -2 之间，另一个在 0 与 1 之间.
先求位于 -3 到 -2 之间的根，由图象可估计这个根是 -2.5 或 -2.4，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当 x 分别取 -2.5 和 -2.4 时，对应的 y 由正变负，可见在 -2.5 和 -2.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有方程 x2 - 2x -1 = 0 的一个根. 题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -2.5 和 x = -2.4 作为根都符合要求.但当 x = -2.4 时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1) 用描点法作出二次函数的图象；
(2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根).
(3) 确定方程的解.
由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.
例4 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为( )A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x 的范围是 ( ) A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26
1. 根据下列表格的对应值：
2. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = .
3. 一元二次方程 3x2 + x - 10 = 0 的两个根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点坐标是 .
4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 的图象位于 ( )A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限
5. 二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 ( )A. k＜3 B. k＜3 且 k ≠ 0C. k≤3 D. k≤3 且 k ≠ 0
6. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围．
解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数．∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3. 当 k ≠ 3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数．∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，即 k≤4 且 k ≠ 3.综上所述，k 的取值范围是 k≤4.
7. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米．
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：由题意可知，A (0， )，B (4，4)，C (7，3)，其中点 B 是抛物线的顶点.设二次函数表达式为 y＝a(x－4)2＋4，将点 A 的坐标代入，可得 a＝－ ，故 y＝－ (x－4)2＋4.当 x＝7 时，y＝－ (7－4)2＋4＝3，∴ 点 C (7，3) 在该抛物线上．∴ 此球能准确投中.
(2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否获得成功？
解：将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3. 因为 3.1＞3， 所以盖帽能获得成功．
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