初中23.1 锐角的三角函数第1课时教案
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这是一份初中23.1 锐角的三角函数第1课时教案,共3页。教案主要包含了情境导入,合作探究,板书设计等内容,欢迎下载使用。
第1课时 正 切
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系;(重点)
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值,并进行简单计算;(重点)
3.了解坡度、坡角的概念,能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.(重点)
一、情境导入
如图,这种方法可以用来测量物体的高度.
由图我们想到在直角三角形中,它的边与角有什么关系?通过本章的学习,你就会明白其中的道理,并能应用所学知识解决相关问题.
二、合作探究
探究点一:正切的定义
【类型一】 根据已知条件求锐角的正切值
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=7(AC>BC),AB=5,求tanB的值.
解析:要求tanB的值,根据锐角三角函数的定义,则需要求出对边AC和邻边BC的长.已知斜边AB=5,且AC+BC=7,所以可以根据勾股定理进行计算.
解:设AC=x,则BC=7-x.
根据勾股定理,得x2+(7-x)2=52,解得x=3或4.
∵AC>BC,∴AC=4,BC=3.∴tanB=eq \f(AC,BC)=eq \f(4,3).
方法总结:本题的解题思路是根据已知条件确定∠B的对边和邻边的长,采用了一般的解题方法,并体现了方程思想在求三角函数值中的应用.实际上,根据以往做题的经验,不通过计算,直接观察就可以解决.因为斜边是5,且两条直角边的和为7,所以两条直角边的长分别是4和3.
【类型二】 已知锐角的正切值求解其他问题
在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=0.75,△ABC的周长为24.求△ABC的面积.
解析:因为△ABC为直角三角形,所以要求它的面积可求两直角边AC和BC的长.又tanA=eq \f(BC,AC)=eq \f(3,4),AC+BC+AB=24,且AB2=AC2+BC2,故可求AC和BC的长,从而可求面积.
解:∵∠C=90°,tanA=0.75,∴tanA=eq \f(BC,AC)=eq \f(3,4).
设BC=3k,则AC=4k,∴AB=eq \r(,AC2+BC2)=eq \r(,16k2+9k2)=5k.
∵AC+BC+AB=24,∴4k+3k+5k=24,∴k=2.
∴AC=8,BC=6.∴S△ABC=eq \f(1,2)AC·BC=eq \f(1,2)×8×6=24.
方法总结:题目中已知锐角的正切值,通常利用正切的概念将其转化为边的比值,再根据周长求出各边的长度.这里采用了设参数(k)的方法.
探究点二:坡度、坡角
如图所示,梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3,坝高BC=2米,则斜坡AB的长是( )
A.2eq \r(,5)米 B.2eq \r(10)米
C.4eq \r(,5)米 D.6米
解析:先由i=eq \f(BC,AC)=eq \f(1,3),BC=2米,求出AC,再利用勾股定理求出AB的长.∵∠ACB=90°,i=1∶3,∴i=eq \f(BC,AC)=eq \f(1,3).∵BC=2米,∴AC=3BC=3×2=6(米).∴AB=eq \r(,AC2+BC2)=eq \r(,36+4)=2eq \r(,10)(米).故选B.
方法总结:理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键.
三、板书设计
正切eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正切:在Rt△ABC中,我们把锐角A的对边, 与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA., tanA=\f(∠A的对边,∠A的邻边)=\f(BC,AC)=\f(a,b),坡度:坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫, 做坡面的坡度,记作i,即i=\f(h,l),坡角:坡面与水平面的夹角,记作α,i=\f(h,l)=tanα.))
注重学生对锐角的正切概念的理解,引导学生积极主动地参与正切概念的探索过程.加强学生对数学思想方法的理解和应用,注意数形结合思想的应用.培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力,并注意联系实际,提高运用数学知识解决实际问题的能力.
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