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2020-2021学年浙江省杭州市下城区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年浙江省杭州市下城区八年级（下）期末数学试卷，共20页。
2020-2021学年浙江省杭州市下城区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）×＝（ ）
A． B． C． D．3
3．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
4．（3分）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
5．（3分）在四边形ABCD中，设∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β（ ）
A．若α＝60°，则β＝60° B．若α＝70°，则β＝70°
C．若α＝80°，则β＝80° D．若α＝90°，则β＝90°
6．（3分）将正方形的一边长增加4，另一边长保持不变，所得的矩形的面积是原来的2倍．设正方形的边长为x，则（ ）
A．（x+4）•x＝2 B．（x+4）•x＝2x
C．（x+4）•x＝2x2 D．（x+4）•x＝4x2
7．（3分）若反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b） B．（a，b﹣a） C．（a﹣b，a） D．（a﹣b，b）
8．（3分）甲、乙两人各射击5次，成绩如表．根据数据分析，在两人的这5次成绩中（ ）
成绩（单位：环）
甲
3
7
8
8
10
乙
7
7
8
9
10
A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的中位数小于乙的中位数
C．甲的众数大于乙的众数
D．甲的方差小于乙的方差
9．（3分）在直角坐标系中，设一次函数y1＝﹣kx+b（k≠0），反比例函数y2＝（k≠0）．若函数y1和y2的图象仅有一个交点，则称函数y1和y2具有性质P．以下k，b的取值，使函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4 C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4
10．（3分）如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，D在直线MN上，连接AC．设点P是直线MN上的一点，且满足PB＝AC，下列结论：①若点P在射线AM上（不与点A重合），则∠B＜90°；②若点P在线段AD上（不与点A，点D重合），则∠B＜90°；③若点P在射线DN上（不与点D重合），则∠B＞90°．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二.填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）使二次根式有意义的a可以是 （只需填一个）．
12．（4分）某项比赛对专业和才艺两方面评分的权重分别设为80%和20%．A同学专业得分为90分，才艺得分为80分，A同学的平均分是 分．
13．（4分）若点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，则a b（填“＞”、“＜”中的一个）．
14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 ．
15．（4分）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流强度I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．若当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，则当电阻为50Ω时，通过灯泡的电流强度为 A．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处．若AD＝6，且5（BF﹣DF）＝3AB，则矩形ABCD的面积＝ ．
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）设一元二次方程x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值；
（2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
18．（8分）圆圆同学前十次数学测试的成绩（单位：分）分别是90，95，95，100，100，100，105，105，105，105．
（1）圆圆下次测试的成绩需要超过多少分，才能使这十一次测试的平均分超过100分？
（2）点点同学对圆圆说：“不论你下次测试得多少分，这十一次测试成绩的中位数都是100．”点点的说法正确吗？说明理由．
19．（8分）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
20．（10分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．
（1）分别计算当t＝1，t＝3时，足球的高度；
（2）当足球回到地面时；
①直接写出此时h的值；
②计算此时t的值．
21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由．
22．（12分）在直角坐标系中，设反比例函数y1＝（k1≠0）与正比例函数y2＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．
（1）求函数y1和函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若当x＝m时，函数y1和y2的值分别为P1和Q1，当x＝n时，函数y1和y2的值分别为P2和Q2．写出一对m和n的值，满足P1＞P2且Q1＜Q2，说明理由．
23．（12分）在正方形ABCD中，AC是对角线，点E在AD边上（不与点A重合），点F在CD边上，连接BE，BF，EF，已知∠DEF＝45°．
（1）求证：BE＝BF．
（2）设AE＝k•AD（0＜k＜1），△ABE的面积为S1，△DEF的面积为S2．
①当k＝时，求证：S1＝2S2；
②当S2＝2S1时，求k的值．
2020-2021学年浙江省杭州市下城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2．（3分）×＝（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．
【解答】解：×＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单．
3．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】由已知等式知这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，再分别求解可得．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x＝1或x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
4．（3分）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．
【解答】解：当x＝1时，原式＝，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的化简，题目比较简单，理解二次根式的性质是解题关键．
5．（3分）在四边形ABCD中，设∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β（ ）
A．若α＝60°，则β＝60° B．若α＝70°，则β＝70°
C．若α＝80°，则β＝80° D．若α＝90°，则β＝90°
【分析】根据四边形的内角和为360°求解即可．
【解答】解：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β，
A．若α＝60°，则β＝180°，故本选项不合题意；
B．若α＝70°，则β＝150°，故本选项不合题意；
C．若α＝80°，则β＝120°，故本选项不合题意；
D．若α＝90°，则β＝90°，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了四边形的内角和公式，n边形内角和公式是（n﹣2）×180°．
6．（3分）将正方形的一边长增加4，另一边长保持不变，所得的矩形的面积是原来的2倍．设正方形的边长为x，则（ ）
A．（x+4）•x＝2 B．（x+4）•x＝2x
C．（x+4）•x＝2x2 D．（x+4）•x＝4x2
【分析】设这个正方形的边长为xcm，根据把一个正方形的一边增加4cm，另一边不变，得到的矩形面积的2倍，建立方程．
【解答】解：设这个正方形的边长为xcm，根据题意得
x（x+4）＝2x2．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是表示出矩形的长和宽，然后根据面积列方程．
7．（3分）若反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b） B．（a，b﹣a） C．（a﹣b，a） D．（a﹣b，b）
【分析】将（a，a﹣b）代入y＝，即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），
∴k＝a（a﹣b）＝a2﹣ab，
只有C选项中（a﹣b）×a＝a2﹣ab＝k．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
8．（3分）甲、乙两人各射击5次，成绩如表．根据数据分析，在两人的这5次成绩中（ ）
成绩（单位：环）
甲
3
7
8
8
10
乙
7
7
8
9
10
A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的中位数小于乙的中位数
C．甲的众数大于乙的众数
D．甲的方差小于乙的方差
【分析】计算甲乙的平均数可对A进行判断；计算甲乙的中位数可对B进行判断；计算甲乙的众数可对C进行判断；计算甲乙的方差可对D进行判断．
【解答】解：A、甲的成绩的平均数＝（3+7+8+8+10）＝7.2（环），乙的成绩的平均数＝（7+7+8+9+10）＝8.2（环），所以A选项说法错误，不符合题意；
B、甲的成绩的中位数为8环．乙的成绩的中位数为8环，所以B选项说法错误，不符合题意；
C、甲的成绩的众数为8环，乙的成绩的极差为7环；所以C选项说法正确，符合题意；
D、＝[（3﹣7.2）2+（7﹣7.2）2+2×（8﹣7.2）2+（10﹣7.2）2]＝5.68（环2），＝[2×（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.36（环2），所以D选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．掌握定义是解题的关键．
9．（3分）在直角坐标系中，设一次函数y1＝﹣kx+b（k≠0），反比例函数y2＝（k≠0）．若函数y1和y2的图象仅有一个交点，则称函数y1和y2具有性质P．以下k，b的取值，使函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4 C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4
【分析】联立函数方程，由函数只有一交点可得一元二次方程判别式为0，从而求解．
【解答】解：整理方程﹣kx+b＝得﹣kx2+bx﹣k＝0，
∵函数图象只有一个交点，
∴﹣kx2+bx﹣k＝0中b2﹣4k2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是把函数图象仅有一交点问题转化为一元二次方程判别式为0．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，D在直线MN上，连接AC．设点P是直线MN上的一点，且满足PB＝AC，下列结论：①若点P在射线AM上（不与点A重合），则∠B＜90°；②若点P在线段AD上（不与点A，点D重合），则∠B＜90°；③若点P在射线DN上（不与点D重合），则∠B＞90°．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据平行四边形的性质和矩形的判定判断即可．
【解答】解：①若点P在射线AM上（不与点A重合），如图1，
此时∠ABC＜90°或≥90°，故①错误；
②若点P在线段AD上（不与点A，点D重合），如图2，
则∠ABP＜90°，故②正确；
③若点P在射线DN上（不与点D重合），如图3，
则∠ABC＞90°，故③正确；
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
二.填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）使二次根式有意义的a可以是 3（答案不唯一） （只需填一个）．
【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a可以是3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）某项比赛对专业和才艺两方面评分的权重分别设为80%和20%．A同学专业得分为90分，才艺得分为80分，A同学的平均分是 88 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
90×80%+80×20%＝88（分），
答：A同学的平均分是88分．
故答案为：88．
【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13．（4分）若点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，则a ＞ b（填“＞”、“＜”中的一个）．
【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，
∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，1＜2，
∴a＞b，
故答案为：＞．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 16 ．
【分析】由菱形的性质得AB＝10，OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△ABO中，由勾股定理求出OB，即可得出答案．
【解答】解：设菱形ABCD的两条对角线交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，边长是10，
∴AB＝10，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB＝＝＝8，
∴BD＝2OB＝16；
故答案为16．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
15．（4分）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流强度I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．若当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，则当电阻为50Ω时，通过灯泡的电流强度为 0.24 A．
【分析】直接根据已知数据得出I＝，进而代入求出答案．
【解答】解：由题意可得：I＝，
∵当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，
∴U＝30×0.40＝12（V），
∴I＝，
当电阻为50Ω时，
I＝＝0.24（A）．
故答案为：0.24．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处．若AD＝6，且5（BF﹣DF）＝3AB，则矩形ABCD的面积＝ 15 ．
【分析】由图形翻折的性质，得：△DEF≌DCE．，故DF＝CD．由四边形ABCD是矩形，得：∠A＝90°，AB＝CD，故AB＝DF．那么，由5（BF﹣DF）＝3AB，得BF＝，故BD＝．由勾股定理，得AB2+AD2＝BD2，故，进而求得AB＝．那么，S矩形ABCD＝AB•CD＝15．
【解答】解：由题意得：△DEF≌DCE．
∴DF＝CD．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝90°．
∴DF＝AB．
又∵5（BF﹣DF）＝3AB，
∴5（BF﹣AB）＝3AB．
∴BF＝．
∴BD＝BF+DF＝＝．
在△ABD中，∠A＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2．
∴．
∴AB＝．
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝6×＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查图形翻折的性质、矩形的性质以及勾股定理，推断出AB＝DF是解题的关键．
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）设一元二次方程x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值；
（2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
【分析】（1）把x＝2代入已知方程，得到22+2a﹣2＝0，易得a的值；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝a2﹣4×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】（1）解：把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0，得到22+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1；
（2）证明：∵Δ＝a2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
18．（8分）圆圆同学前十次数学测试的成绩（单位：分）分别是90，95，95，100，100，100，105，105，105，105．
（1）圆圆下次测试的成绩需要超过多少分，才能使这十一次测试的平均分超过100分？
（2）点点同学对圆圆说：“不论你下次测试得多少分，这十一次测试成绩的中位数都是100．”点点的说法正确吗？说明理由．
【分析】（1）设圆圆下次测试的成绩为x分，根据“这十一次测试的平均分超过100分”列出×（90+95+95+100+100+100+105+105+105+105+x）＞100，解之即可；
（2）分圆圆的分数小于100分或大于100分和圆圆的分数等于100分，根据中位数的概念判断即可．
【解答】解：（1）设圆圆下次测试的成绩为x分，
根据题意，得：×（90+95+95+100+100+100+105+105+105+105+x）＞100，
解得x＞100，
所以圆圆下次测试的成绩需要超过100分，才能使这十一次测试的平均分超过100分．
（2）点点的说法正确，
若圆圆的分数小于100分或大于100分，此时最中间的数是100分，此时中位数是100；
若圆圆的分数等于100分，此时最中间的数是100分，此时中位数是100；
所以不论圆圆下次测试得多少分，这十一次测试成绩的中位数都是100．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和中位数的定义，并根据算术平均数列出关于x的不等式．
19．（8分）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
【分析】（1）证出AB∥CD，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的面积得BC×AE＝CD×AF，再由AF＝2AE，得BC＝2CD＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证出AB∥CD是解题的关键．
20．（10分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．
（1）分别计算当t＝1，t＝3时，足球的高度；
（2）当足球回到地面时；
①直接写出此时h的值；
②计算此时t的值．
【分析】（1）分别将t＝1和t＝3代入公式h＝20t﹣5t2中计算即可得；
（2）①此时h＝0；
②将h＝0代入计算即可得．
【解答】解：（1）当t＝1时，h＝20﹣5＝15，
当t＝3时，h＝20×3﹣5×32＝60﹣45＝15；
答：当t＝1和t＝3时，足球的高度都是15米；
（2）①当足球回到地面时，h＝0；
②当h＝0时，20t﹣5t2＝0，
解得：t1＝0（舍），t2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由．
【分析】（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，求出OE＝OF，再根据菱形的判定得出即可；
（2）根据菱形的性质求出AO＝2，BO＝DO＝4，求出OE和DE，根据勾股定理求出AD2＝20，AE2＝5，求出AD2+AE2＝DE2，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，BO＝DO，
∴BO﹣BE＝DO﹣DF，
即OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：△ADE是直角三角形，
理由是：∵AC＝4，BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝2，BO＝DO＝4，
∵BE＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，DE＝DO+OE＝4+1＝5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+DO2＝22+42＝20，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝22+12＝5，
∵DE2＝52＝25，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
即△ADE是直角三角形．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．
22．（12分）在直角坐标系中，设反比例函数y1＝（k1≠0）与正比例函数y2＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．
（1）求函数y1和函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若当x＝m时，函数y1和y2的值分别为P1和Q1，当x＝n时，函数y1和y2的值分别为P2和Q2．写出一对m和n的值，满足P1＞P2且Q1＜Q2，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解，
（2）利用函数图象直接求解．
（3）利用函数图象直接求解．
【解答】（1）将点A（1，2）代入反比例函数，
得，k1＝2，
∴，
将点A（1，2）代入正比例函数y2＝k2x，
得2＝1×k2，k2＝2，
∴y2＝2x．
（2）x＜﹣1或0＜x＜1，
（3）当m＝﹣4，n＝﹣时，P1＝﹣，P2＝﹣4，Q1＝﹣8，Q2＝﹣1，满足P1＞P2且Q1＜Q2．
【点评】本题主要考查待定系数法求解函数表达式，第二三问关键是函数图形比较函数值的大小．
23．（12分）在正方形ABCD中，AC是对角线，点E在AD边上（不与点A重合），点F在CD边上，连接BE，BF，EF，已知∠DEF＝45°．
（1）求证：BE＝BF．
（2）设AE＝k•AD（0＜k＜1），△ABE的面积为S1，△DEF的面积为S2．
①当k＝时，求证：S1＝2S2；
②当S2＝2S1时，求k的值．
【分析】（1）先判断出DE＝DF，进而判断出AE＝CF，进而判断出△ABE≌△CBF（SAS），即可得出结论；
（2）设AD＝x，则AB＝AD＝x，进而得出AE＝kx，DE＝DF＝（1﹣k）x，进而得出S1＝kx2，S2＝（1﹣k）2x2，
①将k＝代入S1和S2中，求解即可得出结论；
②利用S2＝2S1建立方程求解，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
在Rt△DEF中，∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝45°＝∠DEF，
∴DE＝DF，
∴AD﹣DE＝CD﹣DF，
∴AE＝CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF；
（2）解：设AD＝x，则AB＝AD＝x，
∵AE＝k•AD，
∴AE＝kx，
∴DE＝DF＝AD﹣AE＝x﹣kx＝（1﹣k）x，
∴S1＝AE•AB＝kx•x＝kx2，
S2＝DE•DF＝[（1﹣k）x]2＝（1﹣k）2x2，
①当k＝时，S1＝kx2＝x2，
S2＝（1﹣k）2x2＝（1﹣）2x2＝x2，
∴S1＝2S2；
②当S2＝2S1时，2×kx2＝（1﹣k）2x2，
∴k＝2+（由于0＜k＜1，所以，舍去）或k＝2﹣，
即k＝2﹣．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了正方形的旋转，三角形的面积公式，相似三角形的判定，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
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日期：2021/8/31 22:00:08；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474
2020-2021学年浙江省杭州市下城区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）×＝（ ）
A． B． C． D．3
3．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
4．（3分）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
5．（3分）在四边形ABCD中，设∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β（ ）
A．若α＝60°，则β＝60° B．若α＝70°，则β＝70°
C．若α＝80°，则β＝80° D．若α＝90°，则β＝90°
6．（3分）将正方形的一边长增加4，另一边长保持不变，所得的矩形的面积是原来的2倍．设正方形的边长为x，则（ ）
A．（x+4）•x＝2 B．（x+4）•x＝2x
C．（x+4）•x＝2x2 D．（x+4）•x＝4x2
7．（3分）若反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b） B．（a，b﹣a） C．（a﹣b，a） D．（a﹣b，b）
8．（3分）甲、乙两人各射击5次，成绩如表．根据数据分析，在两人的这5次成绩中（ ）
成绩（单位：环）
甲
3
7
8
8
10
乙
7
7
8
9
10
A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的中位数小于乙的中位数
C．甲的众数大于乙的众数
D．甲的方差小于乙的方差
9．（3分）在直角坐标系中，设一次函数y1＝﹣kx+b（k≠0），反比例函数y2＝（k≠0）．若函数y1和y2的图象仅有一个交点，则称函数y1和y2具有性质P．以下k，b的取值，使函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4 C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4
10．（3分）如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，D在直线MN上，连接AC．设点P是直线MN上的一点，且满足PB＝AC，下列结论：①若点P在射线AM上（不与点A重合），则∠B＜90°；②若点P在线段AD上（不与点A，点D重合），则∠B＜90°；③若点P在射线DN上（不与点D重合），则∠B＞90°．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二.填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）使二次根式有意义的a可以是 （只需填一个）．
12．（4分）某项比赛对专业和才艺两方面评分的权重分别设为80%和20%．A同学专业得分为90分，才艺得分为80分，A同学的平均分是 分．
13．（4分）若点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，则a b（填“＞”、“＜”中的一个）．
14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 ．
15．（4分）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流强度I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．若当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，则当电阻为50Ω时，通过灯泡的电流强度为 A．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处．若AD＝6，且5（BF﹣DF）＝3AB，则矩形ABCD的面积＝ ．
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）设一元二次方程x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值；
（2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
18．（8分）圆圆同学前十次数学测试的成绩（单位：分）分别是90，95，95，100，100，100，105，105，105，105．
（1）圆圆下次测试的成绩需要超过多少分，才能使这十一次测试的平均分超过100分？
（2）点点同学对圆圆说：“不论你下次测试得多少分，这十一次测试成绩的中位数都是100．”点点的说法正确吗？说明理由．
19．（8分）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
20．（10分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．
（1）分别计算当t＝1，t＝3时，足球的高度；
（2）当足球回到地面时；
①直接写出此时h的值；
②计算此时t的值．
21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由．
22．（12分）在直角坐标系中，设反比例函数y1＝（k1≠0）与正比例函数y2＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．
（1）求函数y1和函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若当x＝m时，函数y1和y2的值分别为P1和Q1，当x＝n时，函数y1和y2的值分别为P2和Q2．写出一对m和n的值，满足P1＞P2且Q1＜Q2，说明理由．
23．（12分）在正方形ABCD中，AC是对角线，点E在AD边上（不与点A重合），点F在CD边上，连接BE，BF，EF，已知∠DEF＝45°．
（1）求证：BE＝BF．
（2）设AE＝k•AD（0＜k＜1），△ABE的面积为S1，△DEF的面积为S2．
①当k＝时，求证：S1＝2S2；
②当S2＝2S1时，求k的值．
2020-2021学年浙江省杭州市下城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2．（3分）×＝（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．
【解答】解：×＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单．
3．（3分）方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】由已知等式知这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，再分别求解可得．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x＝1或x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
4．（3分）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．
【解答】解：当x＝1时，原式＝，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的化简，题目比较简单，理解二次根式的性质是解题关键．
5．（3分）在四边形ABCD中，设∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β（ ）
A．若α＝60°，则β＝60° B．若α＝70°，则β＝70°
C．若α＝80°，则β＝80° D．若α＝90°，则β＝90°
【分析】根据四边形的内角和为360°求解即可．
【解答】解：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β，
A．若α＝60°，则β＝180°，故本选项不合题意；
B．若α＝70°，则β＝150°，故本选项不合题意；
C．若α＝80°，则β＝120°，故本选项不合题意；
D．若α＝90°，则β＝90°，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了四边形的内角和公式，n边形内角和公式是（n﹣2）×180°．
6．（3分）将正方形的一边长增加4，另一边长保持不变，所得的矩形的面积是原来的2倍．设正方形的边长为x，则（ ）
A．（x+4）•x＝2 B．（x+4）•x＝2x
C．（x+4）•x＝2x2 D．（x+4）•x＝4x2
【分析】设这个正方形的边长为xcm，根据把一个正方形的一边增加4cm，另一边不变，得到的矩形面积的2倍，建立方程．
【解答】解：设这个正方形的边长为xcm，根据题意得
x（x+4）＝2x2．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是表示出矩形的长和宽，然后根据面积列方程．
7．（3分）若反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b） B．（a，b﹣a） C．（a﹣b，a） D．（a﹣b，b）
【分析】将（a，a﹣b）代入y＝，即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），
∴k＝a（a﹣b）＝a2﹣ab，
只有C选项中（a﹣b）×a＝a2﹣ab＝k．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
8．（3分）甲、乙两人各射击5次，成绩如表．根据数据分析，在两人的这5次成绩中（ ）
成绩（单位：环）
甲
3
7
8
8
10
乙
7
7
8
9
10
A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的中位数小于乙的中位数
C．甲的众数大于乙的众数
D．甲的方差小于乙的方差
【分析】计算甲乙的平均数可对A进行判断；计算甲乙的中位数可对B进行判断；计算甲乙的众数可对C进行判断；计算甲乙的方差可对D进行判断．
【解答】解：A、甲的成绩的平均数＝（3+7+8+8+10）＝7.2（环），乙的成绩的平均数＝（7+7+8+9+10）＝8.2（环），所以A选项说法错误，不符合题意；
B、甲的成绩的中位数为8环．乙的成绩的中位数为8环，所以B选项说法错误，不符合题意；
C、甲的成绩的众数为8环，乙的成绩的极差为7环；所以C选项说法正确，符合题意；
D、＝[（3﹣7.2）2+（7﹣7.2）2+2×（8﹣7.2）2+（10﹣7.2）2]＝5.68（环2），＝[2×（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.36（环2），所以D选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．掌握定义是解题的关键．
9．（3分）在直角坐标系中，设一次函数y1＝﹣kx+b（k≠0），反比例函数y2＝（k≠0）．若函数y1和y2的图象仅有一个交点，则称函数y1和y2具有性质P．以下k，b的取值，使函数y1和y2具有性质P的是（ ）
A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4 C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4
【分析】联立函数方程，由函数只有一交点可得一元二次方程判别式为0，从而求解．
【解答】解：整理方程﹣kx+b＝得﹣kx2+bx﹣k＝0，
∵函数图象只有一个交点，
∴﹣kx2+bx﹣k＝0中b2﹣4k2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是把函数图象仅有一交点问题转化为一元二次方程判别式为0．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD的两个顶点A，D在直线MN上，连接AC．设点P是直线MN上的一点，且满足PB＝AC，下列结论：①若点P在射线AM上（不与点A重合），则∠B＜90°；②若点P在线段AD上（不与点A，点D重合），则∠B＜90°；③若点P在射线DN上（不与点D重合），则∠B＞90°．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据平行四边形的性质和矩形的判定判断即可．
【解答】解：①若点P在射线AM上（不与点A重合），如图1，
此时∠ABC＜90°或≥90°，故①错误；
②若点P在线段AD上（不与点A，点D重合），如图2，
则∠ABP＜90°，故②正确；
③若点P在射线DN上（不与点D重合），如图3，
则∠ABC＞90°，故③正确；
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
二.填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分
11．（4分）使二次根式有意义的a可以是 3（答案不唯一） （只需填一个）．
【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a可以是3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）某项比赛对专业和才艺两方面评分的权重分别设为80%和20%．A同学专业得分为90分，才艺得分为80分，A同学的平均分是 88 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
90×80%+80×20%＝88（分），
答：A同学的平均分是88分．
故答案为：88．
【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13．（4分）若点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，则a ＞ b（填“＞”、“＜”中的一个）．
【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，
∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝的图象上，1＜2，
∴a＞b，
故答案为：＞．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 16 ．
【分析】由菱形的性质得AB＝10，OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△ABO中，由勾股定理求出OB，即可得出答案．
【解答】解：设菱形ABCD的两条对角线交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，边长是10，
∴AB＝10，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴OB＝＝＝8，
∴BD＝2OB＝16；
故答案为16．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
15．（4分）一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流强度I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．若当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，则当电阻为50Ω时，通过灯泡的电流强度为 0.24 A．
【分析】直接根据已知数据得出I＝，进而代入求出答案．
【解答】解：由题意可得：I＝，
∵当电阻为30Ω时，通过灯泡的电流强度为0.40A，
∴U＝30×0.40＝12（V），
∴I＝，
当电阻为50Ω时，
I＝＝0.24（A）．
故答案为：0.24．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
16．（4分）如图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处．若AD＝6，且5（BF﹣DF）＝3AB，则矩形ABCD的面积＝ 15 ．
【分析】由图形翻折的性质，得：△DEF≌DCE．，故DF＝CD．由四边形ABCD是矩形，得：∠A＝90°，AB＝CD，故AB＝DF．那么，由5（BF﹣DF）＝3AB，得BF＝，故BD＝．由勾股定理，得AB2+AD2＝BD2，故，进而求得AB＝．那么，S矩形ABCD＝AB•CD＝15．
【解答】解：由题意得：△DEF≌DCE．
∴DF＝CD．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝90°．
∴DF＝AB．
又∵5（BF﹣DF）＝3AB，
∴5（BF﹣AB）＝3AB．
∴BF＝．
∴BD＝BF+DF＝＝．
在△ABD中，∠A＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2．
∴．
∴AB＝．
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝6×＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查图形翻折的性质、矩形的性质以及勾股定理，推断出AB＝DF是解题的关键．
三.解答题:本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）设一元二次方程x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值；
（2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
【分析】（1）把x＝2代入已知方程，得到22+2a﹣2＝0，易得a的值；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝a2﹣4×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】（1）解：把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0，得到22+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1；
（2）证明：∵Δ＝a2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
18．（8分）圆圆同学前十次数学测试的成绩（单位：分）分别是90，95，95，100，100，100，105，105，105，105．
（1）圆圆下次测试的成绩需要超过多少分，才能使这十一次测试的平均分超过100分？
（2）点点同学对圆圆说：“不论你下次测试得多少分，这十一次测试成绩的中位数都是100．”点点的说法正确吗？说明理由．
【分析】（1）设圆圆下次测试的成绩为x分，根据“这十一次测试的平均分超过100分”列出×（90+95+95+100+100+100+105+105+105+105+x）＞100，解之即可；
（2）分圆圆的分数小于100分或大于100分和圆圆的分数等于100分，根据中位数的概念判断即可．
【解答】解：（1）设圆圆下次测试的成绩为x分，
根据题意，得：×（90+95+95+100+100+100+105+105+105+105+x）＞100，
解得x＞100，
所以圆圆下次测试的成绩需要超过100分，才能使这十一次测试的平均分超过100分．
（2）点点的说法正确，
若圆圆的分数小于100分或大于100分，此时最中间的数是100分，此时中位数是100；
若圆圆的分数等于100分，此时最中间的数是100分，此时中位数是100；
所以不论圆圆下次测试得多少分，这十一次测试成绩的中位数都是100．
【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和中位数的定义，并根据算术平均数列出关于x的不等式．
19．（8分）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
【分析】（1）证出AB∥CD，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的面积得BC×AE＝CD×AF，再由AF＝2AE，得BC＝2CD＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证出AB∥CD是解题的关键．
20．（10分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．
（1）分别计算当t＝1，t＝3时，足球的高度；
（2）当足球回到地面时；
①直接写出此时h的值；
②计算此时t的值．
【分析】（1）分别将t＝1和t＝3代入公式h＝20t﹣5t2中计算即可得；
（2）①此时h＝0；
②将h＝0代入计算即可得．
【解答】解：（1）当t＝1时，h＝20﹣5＝15，
当t＝3时，h＝20×3﹣5×32＝60﹣45＝15；
答：当t＝1和t＝3时，足球的高度都是15米；
（2）①当足球回到地面时，h＝0；
②当h＝0时，20t﹣5t2＝0，
解得：t1＝0（舍），t2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由．
【分析】（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，求出OE＝OF，再根据菱形的判定得出即可；
（2）根据菱形的性质求出AO＝2，BO＝DO＝4，求出OE和DE，根据勾股定理求出AD2＝20，AE2＝5，求出AD2+AE2＝DE2，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，BO＝DO，
∴BO﹣BE＝DO﹣DF，
即OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：△ADE是直角三角形，
理由是：∵AC＝4，BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝2，BO＝DO＝4，
∵BE＝3，
∴OE＝4﹣3＝1，DE＝DO+OE＝4+1＝5，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+DO2＝22+42＝20，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝22+12＝5，
∵DE2＝52＝25，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
即△ADE是直角三角形．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．
22．（12分）在直角坐标系中，设反比例函数y1＝（k1≠0）与正比例函数y2＝k2x（k2≠0）的图象都经过点A和点B，点A的坐标为（1，2）．
（1）求函数y1和函数y2的表达式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）若当x＝m时，函数y1和y2的值分别为P1和Q1，当x＝n时，函数y1和y2的值分别为P2和Q2．写出一对m和n的值，满足P1＞P2且Q1＜Q2，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解，
（2）利用函数图象直接求解．
（3）利用函数图象直接求解．
【解答】（1）将点A（1，2）代入反比例函数，
得，k1＝2，
∴，
将点A（1，2）代入正比例函数y2＝k2x，
得2＝1×k2，k2＝2，
∴y2＝2x．
（2）x＜﹣1或0＜x＜1，
（3）当m＝﹣4，n＝﹣时，P1＝﹣，P2＝﹣4，Q1＝﹣8，Q2＝﹣1，满足P1＞P2且Q1＜Q2．
【点评】本题主要考查待定系数法求解函数表达式，第二三问关键是函数图形比较函数值的大小．
23．（12分）在正方形ABCD中，AC是对角线，点E在AD边上（不与点A重合），点F在CD边上，连接BE，BF，EF，已知∠DEF＝45°．
（1）求证：BE＝BF．
（2）设AE＝k•AD（0＜k＜1），△ABE的面积为S1，△DEF的面积为S2．
①当k＝时，求证：S1＝2S2；
②当S2＝2S1时，求k的值．
【分析】（1）先判断出DE＝DF，进而判断出AE＝CF，进而判断出△ABE≌△CBF（SAS），即可得出结论；
（2）设AD＝x，则AB＝AD＝x，进而得出AE＝kx，DE＝DF＝（1﹣k）x，进而得出S1＝kx2，S2＝（1﹣k）2x2，
①将k＝代入S1和S2中，求解即可得出结论；
②利用S2＝2S1建立方程求解，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
在Rt△DEF中，∠DEF＝45°，
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝45°＝∠DEF，
∴DE＝DF，
∴AD﹣DE＝CD﹣DF，
∴AE＝CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF；
（2）解：设AD＝x，则AB＝AD＝x，
∵AE＝k•AD，
∴AE＝kx，
∴DE＝DF＝AD﹣AE＝x﹣kx＝（1﹣k）x，
∴S1＝AE•AB＝kx•x＝kx2，
S2＝DE•DF＝[（1﹣k）x]2＝（1﹣k）2x2，
①当k＝时，S1＝kx2＝x2，
S2＝（1﹣k）2x2＝（1﹣）2x2＝x2，
∴S1＝2S2；
②当S2＝2S1时，2×kx2＝（1﹣k）2x2，
∴k＝2+（由于0＜k＜1，所以，舍去）或k＝2﹣，
即k＝2﹣．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了正方形的旋转，三角形的面积公式，相似三角形的判定，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
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日期：2021/8/31 22:00:08；用户：初中数学；邮箱：hzjf555@xyh.com；学号：24117474
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