05解答题（中档）-四川省达州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共20题）

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05解答题-四川省达州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
一．切线的判定与性质（共2小题）
1. （2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

2. （2018•达州）已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．

二．圆的综合题（共2小题）
3. （2022•达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD＝3，tan∠CAD＝，求⊙O的半径．

4. （2018•达州）阅读下列材料：
已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2＝PA3，从而得到：是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；
证明：如图1，作∠PA1M＝60°，A1M交A2P的延长线于点M．
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2＝60°，
∴∠A3A1P＝∠A2A1M
又A3A1＝A2A1，∠A1A3P＝∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3＝MA2＝PA2+PM＝PA2+PA1．
∴，是定值．
（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？
（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则＝　 　（只写出结果）．
三．作图—复杂作图（共2小题）
5. （2020•达州）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．

6. （2019•达州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．

四．中心对称（共1小题）
7. （2020•达州）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．

五．作图-旋转变换（共1小题）
8. （2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．

六．相似形综合题（共2小题）
9. （2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　 　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　 　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．
10. （2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：
当BC＝6cm时，得表1：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
…
CE/cm
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
当BC＝8cm时，得表2：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
6
7
…
CE/cm
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，　 　的长度为自变量，　 　的长度为因变量；
②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．

七．特殊角的三角函数值（共1小题）
11. （2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
12. （2022•达州）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（AB）上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
13. （2021•达州）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）

14. （2019•达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，≈1.73）

15. （2018•达州）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）

十．扇形统计图（共1小题）
16. （2022•达州）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？

十一．众数（共1小题）
17. （2019•达州）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
540
680
640
640
780
1110
1070
5460
（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是　 　元，中位数是　 　元，众数是　 　元．
（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：
①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？
答（填“合适”或“不合适”）：　 　．
②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．
十二．列表法与树状图法（共3小题）
18. （2021•达州）为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）这次抽样调查的总人数为 　 　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为 　 　；
（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？
（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．

19. （2020•达州）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
a
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90
5
D
80≤x＜85
4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

20. （2018•达州）为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中，一共调查了　 　名市民；扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是　 　度；补全条形统计图；
（2）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．

参考答案与试题解析
一．切线的判定与性质（共2小题）
1． （2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG＝OA＝1，AG＝，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝2，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，
∴CD＝OC＝1，OD＝，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF
＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22
＝2﹣﹣π．


2． （2018•达州）已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．

【解答】解：（1）如图，连接CD、OD，

∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AD＝BD，
∵BO＝CO，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OE、作OG⊥AC于点G，
∴∠OGF＝∠DFG＝∠ODF＝90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴FG＝OD＝4，
∵OC＝OE＝OD＝OB，且∠COE＝∠B＝60°，
∴△OBD和△OCE均为等边三角形，
∴∠BOD＝∠COE＝60°，CE＝OC＝4，
∴EG＝CE＝2、DF＝OG＝OCsin60°＝2，∠DOE＝60°，
∴EF＝FG﹣EG＝2，
则阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE
＝×（2+4）×2﹣
＝6﹣．
二．圆的综合题（共2小题）
3． （2022•达州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB边上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，AC边于点E，F．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD＝3，tan∠CAD＝，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OD．
∵BC是⊙O的切线，OD是⊙半径，D是切点，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：连接DE，过点D作DT⊥AB于点T，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵tan∠CAD＝tan∠DAE＝，
∴＝，
设DE＝k，AD＝2k，则AE＝k，
∵•DE•AD＝•AE•DT，
∴DT＝k，
∴OT＝＝＝k，
∵tan∠DOT＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴OD＝k＝，
∴⊙O的半径为．

4． （2018•达州）阅读下列材料：
已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2＝PA3，从而得到：是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；
证明：如图1，作∠PA1M＝60°，A1M交A2P的延长线于点M．
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2＝60°，
∴∠A3A1P＝∠A2A1M
又A3A1＝A2A1，∠A1A3P＝∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3＝MA2＝PA2+PM＝PA2+PA1．
∴，是定值．
（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？
（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则＝　　（只写出结果）．
【解答】解：（1）如图1，作∠PA1M＝60°，A1M交A2P的延长线于点M．

∵∠MPA1＝∠A2A3A1＝60°，∴△PMA1是等边三角形，
∴PM＝PA1，
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2＝60°，
∴∠A3A1P＝∠A2A1M
又A3A1＝A2A1，∠A1A3P＝∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3＝MA2，
∵PM＝PA1，
∴PA3＝MA2＝PA2+PM＝PA2+PA1．
∴，是定值．

（2）结论：是定值．
理由：在A4P上截取AH＝A2P，连接HA1．

∵四边形A1A2A3A4是正方形，
∴A4A1＝A2A1，
∵∠A1A4H＝∠A1A2P，A4H＝A2P，
∴△A1A4H≌△A1A2P，
∴A1H＝PA1，∠A4A1H＝∠A2A1P，
∴∠HA1P＝∠A4A1A2＝90°
∴△HA1P的等腰直角三角形，
∴PA4＝HA4+PH＝PA2+PA1，
同法可证：PA3＝PA1+PA2，
∴（+1）（PA1+PA2）＝PA3+PA4，
∴PA1+PA2＝（﹣1）（PA3+PA4），
∴＝．
（3）结论：则＝．
理由：如图3﹣1中，延长PA1到H，使得A1H＝PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．

由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，
∴PH＝PA4，即PA1+PA2＝PA4，
如图3﹣2中，延长PA5到H，使得A5H＝PA3．

同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，
∴PH＝PA4，即PA5+PA3＝PA4，
∴＝．
故答案为．
三．作图—复杂作图（共2小题）
5． （2020•达州）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．

【解答】解：（1）如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．

（2）直线DE与⊙O相切，交点只有一个．
理由：∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线，
∴⊙O与直线DE只有一个交点．
6． （2019•达州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．

【解答】解：（1）如图，DE为所作；

（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴DE＝CE，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝．
四．中心对称（共1小题）
7． （2020•达州）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．

【解答】解：（1）结论：四边形ABDF是菱形．
∵CD＝DB，CE＝EA，
∴DE∥AB，AB＝2DE，
由旋转的性质可知，DE＝EF，
∴AB＝DF，AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵BC＝2AB，BD＝DC，
∴BA＝BD，
∴平行四边形ABDF是菱形．

（2）连接BF，AD交于点O．
∵四边形ABDF是菱形，
∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，设OA＝x，OB＝y，
则有，
∴x+y＝4，
∴x2+2xy+y2＝16，
∴2xy＝7，
∴S菱形ABDF＝×BF×AD＝2xy＝7．

五．作图-旋转变换（共1小题）
8． （2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝4×8﹣×3×2﹣×2×8﹣×4×5＝11．

六．相似形综合题（共2小题）
9． （2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 　1　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 　　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．
【解答】解：（1）如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，
∴，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，
∴AB＝3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，
∴，
设AH＝a，则DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝92，
∴a＝（负值舍去），
∴AH＝，DH＝，
∴AC＝2AH＝，
∵S△ADC＝AD•CG，
∴×9CG，
∴CG＝，
∴；
②∵AC＝，CG＝，∠AGC＝90°，
∴AG＝＝＝，
由①得△DEA∽△CFG，
∴，
又∵，AE＝1，
∴FG＝，
∴AF＝AG﹣FG＝＝，
∴BF＝＝＝．
10． （2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：
当BC＝6cm时，得表1：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
…
CE/cm
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
当BC＝8cm时，得表2：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
6
7
…
CE/cm
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，　BP　的长度为自变量，　EC　的长度为因变量；
②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴∠APB+∠EPC＝90°，
∵∠EPC+∠PEC＝90°，
∴∠APB＝∠PEC，
∴△ABP∽△PCE．

（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，
故答案为：BP，EC．

②设BP＝xcm，CE＝ycm．
∵△ABP∽△PCE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣x2+mx＝﹣（x﹣m）2+，
∵﹣＜0，
∴x＝m时，y有最大值，
∵点E在线段CD上，CD＝2cm，
∴≤2，
∴m≤4，
∴0＜m≤4．

七．特殊角的三角函数值（共1小题）
11． （2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．
【解答】解：原式＝1+2﹣1﹣2×1
＝1+2﹣1﹣2
＝0．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
12． （2022•达州）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（AB）上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（AD）以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18；sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）

【解答】解：作DF⊥CE交CE于点F，
∵EC∥AD，∠CDG＝63.4°，
∴∠FCD＝∠CDG＝63.4°，
∵tan∠FCD＝，tan63.4°≈2.00，
∴＝2，
∴DF＝2CF，
设CF＝xm，则DF＝2xm，BE＝（3﹣2x）m，
∵AD＝2m，AD＝EF，
∴EF＝2m，
∴EC＝（2+x）m，
∵tan∠BCE＝，tan10°≈0.18，
∴0.18＝，
解得x≈1.2，
∴BE＝3﹣2x＝3﹣2×1.2＝0.6（m），
∵sin∠BCE＝，
∴BC＝＝≈3.5（m），
即此遮阳篷BC的长度约为3.5m．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
13． （2021•达州）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）

【解答】解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，

在Rt△CEB中，∠CBE＝30°，BC＝48米，
∴CE＝BC•sin30°＝×48＝24（米），BE＝BC•cos30°＝48×≈24×1.73＝41.52（米），
∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16≈41.52+27.68＝69.2（米），
在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.2×0.70＝48.44（米），
∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），
答：桥墩AB的高约为72.4米．
14． （2019•达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，≈1.73）

【解答】解：作BF⊥CE于F，
在Rt△BFC中，BF＝BC•sin∠BCF≈3.20，
CF＝BC•cos∠BCF≈3.85，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝≈1.73，
∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，
由勾股定理得，AB＝≈0.6（m），
答：AB的长约为0.6m．

15． （2018•达州）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，

设CD＝x米，
∵∠CBD＝45°，∠BDC＝90°，
∴BD＝CD＝x米，
∵∠A＝30°，AD＝AB+BD＝4+x，
∴tanA＝，即＝，
解得：x＝2+2，
答：该雕塑的高度为（2+2）米．
二十．扇形统计图（共1小题）
16． （2022•达州）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　30　，b＝　96　，m＝　93　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？

【解答】解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝30，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴m＝＝93；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴b＝96，
故答案为：30，96，93；

（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；

（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200×＝540（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人．
二十一．众数（共1小题）
17． （2019•达州）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
540
680
640
640
780
1110
1070
5460
（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是　780　元，中位数是　680　元，众数是　640　元．
（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：
①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？
答（填“合适”或“不合适”）：　不合适　．
②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．
【解答】解：（1）这组数据的平均数＝＝780（元）；
按照从小到大排列为540、640、640、680、780、1070、1110，
中位数为680元，众数为640元；
故答案为：780，680，640；
（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，
所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，
故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适；
故答案为：不合适；
②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，
当月的营业额为30×780＝23400（元）．
二十二．列表法与树状图法（共3小题）
18． （2021•达州）为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）这次抽样调查的总人数为 　200　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为 　108°　；
（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？
（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．

【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：36÷18%＝200（人），
则参加舞蹈”的学生人数为：200﹣36﹣80﹣24＝60（人），
∴扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：360°×＝108°，
故答案为：200，108°；
（2）1400×＝560（人），
即估计选择参加书法有560人；
（3）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，
∴恰为一男一女的概率为＝．
19． （2020•达州）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
a
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90
5
D
80≤x＜85
4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝　3　，b＝　40　；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

【解答】解：（1）由题意知a＝20﹣（8+5+4）＝3，b%＝×100%＝40%，即b＝40；
故答案为：3，40；
（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为1200×＝660（人）；
（3）列表如下：

男
女
女
男

（男，女）
（男，女）
女
（男，女）

（女，女）
女
（男，女）
（女，女）

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
∴恰好抽到一男一女的概率为＝．
20． （2018•达州）为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中，一共调查了　2000　名市民；扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是　54　度；补全条形统计图；
（2）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为500÷25%＝2000人，扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是360°×＝54°，
C选项的人数为2000﹣（100+300+500+300）＝800，
补全条形图如下：

故答案为：2000、54；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的结果有4种，
所以甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为＝．