04解答题（基础题）-四川省凉山州五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共25题）

这是一份04解答题（基础题）-四川省凉山州五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共25题），共29页。试卷主要包含了﹣2+|﹣2|，阅读以下材料，，其中x＝，，其中a＝﹣等内容，欢迎下载使用。
04解答题-四川省凉山州五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
一．实数的运算（共2小题）
1．（2019•凉山州）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．
2．（2018•凉山州）计算：（）﹣1﹣|﹣2+tan45°|+（﹣2018）0﹣（﹣）（+）．
二．同底数幂的乘法（共1小题）
3．（2021•凉山州）阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴loga（M•N）＝logaM+logaN．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①log232＝　 　，②log327＝　 　，③log71＝　 　；
（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．
三．整式的混合运算—化简求值（共3小题）
4．（2020•凉山州）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．
5．（2019•凉山州）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．
6．（2018•凉山州）先化简，再求值：﹣3x2﹣[x（2x+1）+（4x3﹣5x）÷2x]，其中x是不等式组的整数解．
四．因式分解的应用（共1小题）
7．（2021•凉山州）已知x﹣y＝2，＝1，求x2y﹣xy2的值．
五．分式的化简求值（共1小题）
8．（2022•凉山州）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．
六．解一元一次方程（共1小题）
9．（2020•凉山州）解方程：x﹣＝1+．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
10．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
八．根与系数的关系（共1小题）
11．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　．x1x2＝　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
九．不等式的性质（共1小题）
12．（2018•凉山州）阅读材料：基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中我们把叫做正数a、b的算术平均数，叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具．
例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？
解：∵x＞0，＞0∴≥即是x+≥2
∴x+≥2
当且仅当x＝即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题
（1）若x＞0，函数y＝2x+，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值．
（2）当x＞0时，式子x2+1+≥2成立吗？请说明理由．
一十．解一元一次不等式（共1小题）
13．（2021•凉山州）解不等式：﹣x＜3﹣．
一十一．解一元一次不等式组（共1小题）
14．（2019•凉山州）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab＞0（或＞0），则或；
②若ab＜0（或＜0），则或．
根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，x＞2，
由（2）得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为　 　．
（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）
一十二．一次函数的应用（共1小题）
15．（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
16．（2021•凉山州）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．

17．（2020•凉山州）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．
（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．

18．（2018•凉山州）▱ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线y1＝kx+b与双曲线y2＝（m＞0）在第一象限的图象相交于A、E两点，且A（3，4），E是BC的中点．
（1）连接OE，若△ABE的面积为S1，△OCE的面积为S2，则S1　 　S2（直接填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求y1和y2的解析式；
（3）请直接写出当x取何值时y1＞y2．

一十四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
19．（2019•凉山州）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+＝1，求a的值．
一十五．二次函数的应用（共1小题）
20．（2018•凉山州）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为xm．
（1）用含x的代数式表示出口的宽度；
（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．
（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2．

一十六．二次函数综合题（共5小题）
21．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．

24．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（2018•凉山州）已知直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒
（1）求抛物线解析式；
（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；
（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2019•凉山州）计算：tan45°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．
【解答】解：原式＝1+1﹣4+（2﹣）＝．
2．（2018•凉山州）计算：（）﹣1﹣|﹣2+tan45°|+（﹣2018）0﹣（﹣）（+）．
【解答】解：原式＝3﹣2++1﹣（﹣1）＝3+．
二．同底数幂的乘法（共1小题）
3．（2021•凉山州）阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴loga（M•N）＝logaM+logaN．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①log232＝　5　，②log327＝　3　，③log71＝　0　；
（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．
【解答】解：（1）log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0；
故答案为：5，3，0；
（2）证明：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，
又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，
∴loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）原式＝log5（125×6÷30）
＝log525
＝2．
三．整式的混合运算—化简求值（共3小题）
4．（2020•凉山州）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．
【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12
＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12
＝3x2﹣1，
当x＝时，
原式＝3×（）2﹣1
＝3×2﹣1
＝6﹣1
＝5．
5．（2019•凉山州）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．
【解答】解：
原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8
＝2a+2
将a＝﹣代入原式＝2×（﹣）+2＝1
6．（2018•凉山州）先化简，再求值：﹣3x2﹣[x（2x+1）+（4x3﹣5x）÷2x]，其中x是不等式组的整数解．
【解答】解：原式＝﹣3x2﹣（2x2+x+2x2﹣2.5）
＝﹣3x2﹣2x2﹣x﹣2x2+2.5
＝﹣7x2﹣x+2.5，
解不等式组得：1≤x＜2，
则不等式组的整数解为x＝1，
所以原式＝﹣7﹣1+2.5＝﹣5.5．
四．因式分解的应用（共1小题）
7．（2021•凉山州）已知x﹣y＝2，＝1，求x2y﹣xy2的值．
【解答】解：∵＝1，
∴y﹣x＝xy．
∵x﹣y＝2,
∴y﹣x＝xy＝﹣2．
∴原式＝xy(x﹣y)＝﹣2×2＝﹣4．
五．分式的化简求值（共1小题）
8．（2022•凉山州）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．
【解答】解：（m+2+）•
＝•
＝•
＝•
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
∵m≠2，m≠3，
∴当m＝1时，原式＝﹣2×1﹣6
＝﹣2﹣6
＝﹣8．
六．解一元一次方程（共1小题）
9．（2020•凉山州）解方程：x﹣＝1+．
【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
10．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
八．根与系数的关系（共1小题）
11．（2022•凉山州）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　．x1x2＝　﹣　．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，
故答案为：，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣，
∴
＝
＝
＝
＝；
（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s，与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝，st＝﹣，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），
（s﹣t）2＝，
∴s﹣t＝，
∴
＝
＝
＝
＝．
九．不等式的性质（共1小题）
12．（2018•凉山州）阅读材料：基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中我们把叫做正数a、b的算术平均数，叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具．
例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？
解：∵x＞0，＞0∴≥即是x+≥2
∴x+≥2
当且仅当x＝即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题
（1）若x＞0，函数y＝2x+，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值．
（2）当x＞0时，式子x2+1+≥2成立吗？请说明理由．
【解答】解：（1）∵x＞0，
∴2x＞0，
∴2x+≥2＝2，
当且仅当2x＝即x＝时，2x+有最小值，最小值为2．

（2）不等式不成立．
理由：∵x＞0，
∴x2+1＞0，＞0，
∴x2+1+≥2＝2，
当x2+1＝时，等号成立，解得x＝0，不符合题意，
∴不等式不成立．
一十．解一元一次不等式（共1小题）
13．（2021•凉山州）解不等式：﹣x＜3﹣．
【解答】解：去分母，得：4（1﹣x）﹣12x＜36﹣3（x+2），
去括号，得：4﹣4x﹣12x＜36﹣3x﹣6，
移项、合并，得：﹣13x＜26，
系数化为1，得：x＞﹣2．
一十一．解一元一次不等式组（共1小题）
14．（2019•凉山州）根据有理数乘法（除法）法则可知：
①若ab＞0（或＞0），则或；
②若ab＜0（或＜0），则或．
根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，x＞2，
由（2）得，x＜﹣3，
∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为　﹣1＜x＜3　．
（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）
【解答】解：（1）原不等式可化为：①或②．
由①得，空集，
由②得，﹣1＜x＜3，
∴原不等式的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
（2）由＜0知①或②，
解不等式组①，得：x＞1；
解不等式组②，得：x＜﹣4；
所以不等式＜0的解集为x＞1或x＜﹣4．
一十二．一次函数的应用（共1小题）
15．（2022•凉山州）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．
（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．
（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
【解答】解：（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，
，
解得，
答：A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；
（2）设购买B型球拍a副，总费用w元，
依题意得30﹣a≥2a，
解得a≤10，
w＝40（30﹣a）+32a＝﹣8a+1200，
∵﹣8＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝10时，w最小，w最小＝﹣8×10+1200＝1120（元），
此时30﹣10＝20（副），
答：费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
16．（2021•凉山州）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．

【解答】解：（1）设N（a,b),则OB＝a,BN＝b,
∵AN＝,
∴AB＝b+,
∴A(a,b+),
∵M为OA中点，
∴M(a,b+)，
而反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，
∴k＝a•(b+)＝ab,
解得：b＝,
∵S△AOB＝12，∠ABO＝90°，
∴OB•AB＝12,即a(b+)＝12,
将b＝代入得：,
解得a＝4,
∴N(4,),M(2，3),
∴k＝4×＝6；
（2）由（1）知：M(2，3),N(4，),
设直线MN解析式为y＝mx+n,
∴,解得,
∴直线MN解析式为y＝﹣x+．
17．（2020•凉山州）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．
（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．

【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，
由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，
故k的取值范围0＜k≤；

（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），
点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，
故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，
观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．
18．（2018•凉山州）▱ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线y1＝kx+b与双曲线y2＝（m＞0）在第一象限的图象相交于A、E两点，且A（3，4），E是BC的中点．
（1）连接OE，若△ABE的面积为S1，△OCE的面积为S2，则S1　＝　S2（直接填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求y1和y2的解析式；
（3）请直接写出当x取何值时y1＞y2．

【解答】解：（1）由图形可知△ABE和△OCE底边相等，高相等
故答案为：＝
（2）∵A（3，4）在双曲线上
∴m＝xy＝12
∴双曲线y2＝
∵A（3，4），E是BC的中点
∴点E纵坐标为2
∵点E在双曲线y2＝
∴点E坐标为（6，2）
把点E（6，2），A（3，4）代入y1＝kx+b得

解得

∴y1的解析式为：y1＝﹣
（3）当y1＞y2时，y1的图象高于y2的图象．
则对应x的取值范围为：3＜x＜6
一十四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
19．（2019•凉山州）已知二次函数y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且+＝1，求a的值．
【解答】解：y＝x2+x+a的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝a，
∵+＝＝＝1，
∴a＝﹣1+或a＝﹣1﹣；
∵△＝1﹣4a＞0，
∴a＜，
∴a＝﹣1﹣；
一十五．二次函数的应用（共1小题）
20．（2018•凉山州）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元/m2，绿化区造价50元/m2，设绿化区域较长直角边为xm．
（1）用含x的代数式表示出口的宽度；
（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．
（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2．

【解答】解：（1）由题意可得，
出口的宽度为（80﹣2x）cm；
（2）由题意可得，BC＝EF＝80﹣2x，
∴AB＝CD＝＝x﹣10，
y＝50×4×x（x﹣10）+60×[60×80﹣4×x（x﹣10）]＝﹣20x2+200x+288000，
∵36≤80﹣2x≤44，
∴18≤x≤22，
（3）﹣20x2+200x+288000≤284000，
x2﹣10x﹣200≥0，
设m＝x2﹣10x﹣200＝（x﹣5）2﹣225，
当m＝0时，x2﹣10x﹣200＝0，x＝20或﹣10，
∴当m≥0时，x≤﹣10或x≥20
由（2）知：18≤x≤22，
∴20≤x≤22，
所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程，
所有工程方案如下：①较长直角边为20m，短直角边为10m，出口宽度为40m；
②较长直角边为21m，短直角边为11m，出口宽度为38m；
③较长直角边为22m，短直角边为12m，出口宽度为36m；
（4）y＝﹣20x2+200x+288000＝﹣20（x﹣5）2+288500，
在20≤x≤22中y随x的增大而减小，
∴当x＝22时，y有最小值，
绿化面积＝4××22×（22﹣10）＝528，
设原计划每天绿化xm2，则在实际施工中，每天绿化（x+11）m2，
则﹣＝4，
解得：x＝33或﹣44（舍），
经检验x＝33是原方程的解，
答：原计划每天绿化33m2．

一十六．二次函数综合题（共5小题）
21．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（1+t，4﹣t），
把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得：
﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t，
整理得t2﹣t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝1，
∴P（2，3）；

（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为（1，﹣1），
∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，

设直线PF的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线PF的解析式为y＝x+，
∴点M的坐标为（0，）．
22．（2021•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OA2+OC2＝AC2，即OA2+（3OA）2＝（）2，
解得：OA＝1，
∴OC＝3，
∴A（1，0），C（0，3），
∵OB＝OC＝3，
∴B（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，3）代入，
得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•（t+3）+PK•（0﹣t）＝PK＝（﹣t2﹣3t），
S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝（﹣t2﹣3t）+6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，四边形PBAC的面积最大，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）存在．如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．
①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，
∴﹣x2﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），
∴Q1（﹣，），
②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，
∴﹣x2﹣2x+3＝﹣，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣），
综上所述，Q点的坐标为Q1（﹣，），Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣）．


23．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；
（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，
∵BO⊥AD，
则∠BOA+∠BOC＝90°，∠BOC+∠OCA＝90°，
∴∠OCA＝∠BOA＝30°，
则CD与x轴负半轴的夹角为60°，
故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），
将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，
故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；

（3）设点P（x，x2﹣x），则点Q（x，﹣x+），

则PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，
∵＜0，
∴当x＝﹣时，PQ有最大值，
此时点P的坐标为（﹣，）．
24．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）
∴可设交点式y＝a（x+1）（x﹣3）
把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3
∴a＝﹣1
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小．
如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称
∴PA＝PB
∴C△PAC＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB
∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小
∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）
∴AC＝，BC＝
∴C△PAC＝AC+CB＝最小
设直线BC解析式为y＝kx+3
把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1
∴直线BC：y＝﹣x+3
∴yP＝﹣1+3＝2
∴点P（1，2）使△PAC的周长最小，最小值为．

（3）存在满足条件的点M，使得S△PAM＝S△PAC．
∵S△PAM＝S△PAC
∴当以PA为底时，两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
①若点M在点P上方，如图2，
∴CM∥PA
∵A（﹣1，0），P（1，2），设直线AP解析式为y＝px+d
∴ 解得：
∴直线AP：y＝x+1
∴直线CM解析式为：y＝x+3
∵ 解得：（即点C），
∴点M坐标为（1，4）
②若点M在点P下方，如图3，
则点M所在的直线l∥PA，且直线l到PA的距离等于直线y＝x+3到PA的距离
∴直线AP：y＝x+1向下平移2个单位得y＝x﹣1即为直线l的解析式
∵ 解得：
∵点M在x轴上方
∴y＞0
∴点M坐标为（，）
综上所述，点M坐标为（1，4）或（，）时，S△PAM＝S△PAC．



25．（2018•凉山州）已知直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒
（1）求抛物线解析式；
（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；
（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，3）．
将A（﹣3，0）、B（0，3）代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．
（2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），
∴AM＝3﹣t，AN＝t．
∵△AMN为直角三角形，∠MAN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形（如图1）．
当∠ANM＝90°时，有AM＝AN，即3﹣t＝2t，
解得：t＝1；
当∠AMN＝90°时，有t﹣3＝﹣t，
解得：t＝．
综上所述：当t为1秒或秒时，△AMN为直角三角形．
（3）设NH与x轴交于点E，如图2所示．
当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），
∴点E的坐标为（t﹣3，0），点H的坐标为（t﹣3，t2﹣2t）．
∵MH∥AB，
∴∠EMH＝45°，
∴△EMH为等腰直角三角形，
∴ME＝HE，即|2t﹣3|＝|t2﹣2t|，
解得：t1＝1，t2＝3（舍去），t3＝，t4＝﹣（舍去）．
当t＝时，点E在点M的右边，点H在x轴下方，
∴此时MH⊥AB，
∴t＝1．
∴存在点H使MH∥AB，点H的坐标为（﹣2，﹣1）．