04解答题（基础题）-四川省达州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共25题）

这是一份04解答题（基础题）-四川省达州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共25题），共41页。试卷主要包含了0+2sin60°﹣|1﹣|，0+，﹣2+﹣，，其中a＝﹣1，÷的值，其中x＝+1，化简代数式等内容，欢迎下载使用。

04解答题-四川省达州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
一．实数的运算（共4小题）
1．（2021•达州）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1﹣|．
2．（2020•达州）计算：﹣22+（）﹣2+（π﹣）0+．
3．（2019•达州）计算：（π﹣3.14）0﹣（）﹣2+﹣．
4．（2018•达州）计算：（﹣1）2018+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；
二．分式的化简求值（共5小题）
5．（2022•达州）化简求值：÷（+），其中a＝﹣1．
6．（2021•达州）化简求值：（1﹣）÷()，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．
7．（2020•达州）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
8．（2019•达州）先化简：（﹣）÷，再选取一个适当的x的值代入求值．
9．（2018•达州）化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．
三．分式方程的应用（共2小题）
10．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
11．（2019•达州）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？
四．一次函数的应用（共1小题）
12．（2020•达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
五．反比例函数综合题（共2小题）
13．（2022•达州）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2018•达州）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

六．二次函数的应用（共2小题）
15．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
16．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
七．二次函数综合题（共5小题）
17．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．


18．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+AE′的最小值；
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．

19．（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．

20．（2019•达州）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．

21．（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

八．三角形综合题（共1小题）
22．（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝　 　；
（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：　 　；
【深入探究】
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．

九．四边形综合题（共2小题）
23．（2020•达州）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．
①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　 　°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　 　°．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG＝　 　°；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　 　．
（3）[归纳与拓展]
如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　 　．

24．（2019•达州）箭头四角形
模型规律
如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．
因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　．
②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝　 　．
③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝　 　度．
（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．

一十．直线与圆的位置关系（共1小题）
25．（2019•达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共4小题）
1．（2021•达州）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1﹣|．
【解答】解：原式＝﹣1+1+2×﹣（﹣1）
＝﹣1+1+﹣+1
＝1．
2．（2020•达州）计算：﹣22+（）﹣2+（π﹣）0+．
【解答】解：原式＝﹣4+9+1﹣5
＝1．
3．（2019•达州）计算：（π﹣3.14）0﹣（）﹣2+﹣．
【解答】解：原式＝1﹣4+3﹣2
＝﹣2．
4．（2018•达州）计算：（﹣1）2018+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；
【解答】解：原式＝1+4﹣（2﹣2）+4×，
＝1+4﹣2+2+2，
＝7．
二．分式的化简求值（共5小题）
5．（2022•达州）化简求值：÷（+），其中a＝﹣1．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝，
把a＝﹣1代入．
6．（2021•达州）化简求值：（1﹣）÷()，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝﹣2(a﹣2)
＝﹣2a+4,
∵a与2，3构成三角形的三边，
∴3﹣2＜a＜3+2,
∴1＜a＜5,
∵a为整数，
∴a＝2,3或4，
又∵a﹣2≠0,a﹣4≠0,
∴a≠2且a≠4,
∴a＝3,
∴原式＝﹣2a+4
＝﹣2×3+4
＝﹣6+4
＝﹣2．
7．（2020•达州）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝÷
＝•
＝﹣x（x﹣1），
当x＝+1时，
原式＝﹣（+1）（+1﹣1）
＝﹣（+1）×
＝﹣2﹣．
8．（2019•达州）先化简：（﹣）÷，再选取一个适当的x的值代入求值．
【解答】解：
化简得，
原式＝
＝
＝﹣
取x＝1得，原式＝﹣＝﹣
9．（2018•达州）化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．
【解答】解：原式＝×﹣×
＝3（x+1）﹣（x﹣1）
＝2x+4，
，
解①得：x≤1，
解②得：x＞﹣3，
故不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
把x＝﹣2代入得：原式＝0．
三．分式方程的应用（共2小题）
10．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据题意可得：
，
解得：x＝40，
经检验x＝40是方程的解，
x+4＝40+4＝44，
答：该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解：（件），
设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意可得：（300﹣40）y+40×0.7y≥（4000+8800）×（1+80%），
解得：y≥80，
答：每件T恤衫的标价至少是80元．
11．（2019•达州）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？
【解答】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，
依题意，得：+＝27，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．
答：这种粽子的标价是8元/个．
四．一次函数的应用（共1小题）
12．（2020•达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得a＝260，
经检验，a＝260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260．

（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，
根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
设销售利润为y元，
根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×（260﹣140）]×x+（380﹣260）×x+[160﹣（260﹣140）]×（5x+20﹣4×x）＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
五．反比例函数综合题（共2小题）
13．（2022•达州）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），
∴m+1＝2，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y＝经过点（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）由题意，得，
解得或，
∴B（﹣2，﹣1），
∵C（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；

（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．

14．（2018•达州）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E．
（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
（2）连接EF，求∠EFC的正切值；
（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

【解答】解：（1）∵OA＝3，OB＝4，
∴B（4，0），C（4，3），
∵F是BC的中点，
∴F（4，），
∵F在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵E点的纵坐标为3，
∴E（2，3）；

（2）∵F点的横坐标为4，
∴F（4，），
∴CF＝BC﹣BF＝3﹣＝
∵E的纵坐标为3，
∴E（，3），
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝，
在Rt△CEF中，tan∠EFC＝＝，

（3）如图，由（2）知，CF＝，CE＝，，
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴∠EGH+∠HEG＝90°，
由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°，
∴∠EGH+∠BGF＝90°，
∴∠HEG＝∠BGF，
∵∠EHG＝∠GBF＝90°，
∴△EHG∽△GBF，
∴＝，
∴，
∴BG＝，
在Rt△FBG中，FG2﹣BF2＝BG2，
∴（）2﹣（）2＝，
∴k＝，
∴反比例函数解析式为y＝．

六．二次函数的应用（共2小题）
15．（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
【解答】解：（1）由题意得：
W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，
x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；
（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，
∵﹣50＜0，
∴x＝4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，
解得：x1＝3，x2＝5，
∵让利于民，
∴x1＝3不合题意，舍去，
∴定价应为48﹣5＝43（元），
答：定价应为43元．
16．（2018•达州）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：
1.5x×0.9×8﹣8x＝（1.5x﹣100）×7﹣7x，
解得：x＝1000，
1.5×1000＝1500（元），
答：进价为1000元，标价为1500元；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：
w＝（51+×3）（1500﹣1000﹣a），
＝﹣（a﹣80）2+26460，
∵﹣＜0，
∴当a＝80时，w最大＝26460，
答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．
七．二次函数综合题（共5小题）
17．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝x2+x+2；
（2）存在，理由如下：
如图1，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵y＝x2+x+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵C（0，2），
∴P（2，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），
则OD＝m，DB＝3﹣m，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，
∴22+m2＝（3﹣m）2，
解得：m＝，
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x+2，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴P（，﹣），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，﹣）；
（3）由（2）知：抛物线y＝x2+x+2的对称轴为直线x＝1，
∴E（1，0），
设Q（t，t2+t+2），且﹣1＜t＜3，
设直线AQ的解析式为y＝ex+f，则，
解得：，
∴直线AQ的解析式为y＝（t+2）x﹣t+2，
当x＝1时，y＝﹣t+4，
∴M（1，﹣t+4），
同理可得直线BQ的解析式为y＝（﹣t﹣）x+2t+2，
当x＝1时，y＝t+，
∴N（1，t+），
∴EM＝﹣t+4，EN＝t+，
∴EM+EN＝﹣t+4+t+＝，
故EM+EN的值为定值．

18．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+AE′的最小值；
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，
∴b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）在OE上取一点D，使得OD＝OE，
连接DE'，BD，

∵，对称轴x＝﹣1，
∴E（﹣1，0），OE＝1，
∴OE'＝OE＝1，OA＝3，
∴，
又∵∠DOE'＝∠E'OA，
△DOE'∽△E'OA，
∴，
∴，
当B，E'，D三点共线时，BE′+DE′最小为BD，
BD＝＝，
∴的最小值为；
（3）存在，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
设N（n，﹣n2﹣2n+3），
则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，
∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，
∴△ABN是直角三角形，
若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2，
即18＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，
解得：n1＝，，
∴N的横坐标为或，
若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，
即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+n2+（n2+2n）2，
解得n＝0（与点B重合，舍去）或n＝﹣1，
∴N的横坐标是﹣1，
若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，
即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，
解得n＝﹣3（与点A重合，舍去）或n＝2，
∴N的横坐标为2，
综上N的横坐标为，，﹣1，2．
19．（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．

【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△AP''B＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y＝x﹣4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），
∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN+ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝+，
∴MN+ON的最小值为+．
20．（2019•达州）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．

【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）∵抛物线顶点C（﹣1，4），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则H（﹣1，0），
在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，
∴tan∠COH＝＝4，
∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO＝∠CDO时，
tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，
∴△AOC∽△ACD，
∴＝，
∵AC＝＝2，AO＝1，
∴＝，
∴AD＝20，
∴OD＝19，
∴D（﹣19，0）；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝﹣1的对称点D'的坐标为（17，0），
∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；

（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），
将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，
∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3，
当x＝0时，y＝a+3，
∴N（0，a+3），
如图2，
∵S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，
∴S△BPM﹣S△EMN
＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON
＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）
＝﹣2a2﹣a
＝﹣2（a+）2+，
由二次函数的性质知，当a＝﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，
∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，
∴m﹣n的最大值为．


21．（2018•达州）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣），
把A（1，1）代入得a•1（1﹣）＝1，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x（x﹣），
即y＝﹣x2+x；
（2）延长CA交y轴于D，如图1，
∵A（1，1），
∴OA＝，∠DOA＝45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∵OA⊥AC，
∴OD＝OA＝2，
∴D（0，2），
易得直线AD的解析式为y＝﹣x+2，
解方程组得或，则C（5，﹣3），
∴S△AOC＝S△COD﹣S△AOD
＝×2×5﹣×2×1
＝4；
（3）存在．
如图2，作MH⊥x轴于H，AC＝＝4，OA＝，
设M（x，﹣x2+x）（x＞0），
∵∠OHM＝∠OAC，
∴当＝时，△OHM∽△OAC，即＝，
解方程﹣x2+x＝4x得x1＝0（舍去），x2＝﹣（舍去），
解方程﹣x2+x＝﹣4x得x1＝0（舍去），x2＝，此时M点坐标为（，﹣54）；
当＝时，△OHM∽△CAO，即＝，
解方程﹣x2+x＝x得x1＝0（舍去），x2＝，此时M点的坐标为（，），
解方程﹣x2+x＝﹣x得x1＝0（舍去），x2＝，此时M点坐标为（，﹣）；
∵MN⊥OM，
∴∠OMN＝90°，
∴∠MON＝∠HOM，
∴△OMH∽△ONM，
∴当M点的坐标为（，﹣54）或（，）或（，﹣）时，以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．

八．三角形综合题（共1小题）
22．（2022•达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝　45°　；
（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：　BF＝AF+CF　；
【深入探究】
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．


【解答】解：（1）∵△CED是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，
∵ED∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°，
故答案为：45°；
（2）BF＝AF+CF，理由如下：
如图3，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF＝CF，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AF＝BD，
∵BF＝DF+BD，
∴BF＝AF+CF；
故答案为：BF＝AF+CF；
（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：

由（2）知，△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAF＝∠CBD，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF（ASA），
∴GC＝FC，BG＝AF，
∴△GCF为等腰直角三角形，
∴GF＝CF，
∴BF＝BG+GF＝AF+CF；
（4）BF＝mAF+•FC．理由如下：
由（2）知，∠ACE＝∠BCD，
而BC＝mAC，CD＝mEC，
即＝＝m，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，如图6所示：

由（3）知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝＝＝m，
∴BG＝mAF，GC＝mFC，
在Rt△CGF中，GF＝＝＝•CF，
∴BF＝BG+GF＝mAF+•FC．
九．四边形综合题（共2小题）
23．（2020•达州）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．
①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　60　°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　30　°．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG＝　45　°；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　BF＝AF+FG　．
（3）[归纳与拓展]
如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　BF＝2AF•sinα+　．

【解答】（1）①解：如图1中，∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠3＝60°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，
∴∠FEG＝30°．
故答案为60，30．

②证明：如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．

∵C，E关于AM对称，
∴AM垂直平分线段EC，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，
∵FC＝FT，
∴△CFT是等边三角形，
∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，
∴∠BCT＝∠ACF，
∵CB＝CA，
∴△BCT≌△ACF（SAS），
∴BT＝AF，
∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．

（2）解：①如图2中，∵AB＝AC＝AE，
∴点A是△ECB的外接圆的圆心，
∴∠BEC＝∠BAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FEG＝45°．
故答案为45．

②结论：BF＝AF+FG．
理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．

∵AM⊥EC，CG＝GE，
∴FC＝EF，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF＝FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，
∵CF＝FT，
∴△CFT是等腰直角三角形，
∴CT＝CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，
∴＝，
∵∠BCA＝∠TCF＝45°，
∴∠BCT＝∠ACF，
∴△BCT∽△ACF，
∴＝＝，
∴BT＝AF，
∴BF＝BT+TF＝AF+FG．

（3）如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF．

∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴＝sinα，
∴＝2•sinα，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠BEC＝∠BAC＝α，EF＝，
∵FC＝FE，
∴∠FEC＝∠FCE＝α，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，
同法可证，△BCT∽△ACF，
∴＝＝2•sinα，
∴BT＝2AF•sinα，
∴BF＝BT+FT＝2AF•sinα+EF．即BF＝2AF•sinα+．
故答案为：BF＝2AF•sinα+．
24．（2019•达州）箭头四角形
模型规律
如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．
因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　2α　．
②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝　85°　．
③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝　（m+n）　度．
（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．

【解答】解：（1）①如图2，

在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，
在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；
②如图3，

∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，
∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，
∴∠F＝，
∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，
∴∠F＝85°；
③如图3，

由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，
∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，
∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，
∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，
则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），
代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，
解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，
∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，
∴∠BO1000C＝m°+n°；
故答案为：①2α；②85°；③（m+n）；

（2）如图5，连接OC，

∵OA＝OB＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，
∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝∠BOD，
∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，
∴△OBC≌△ODC（SSS），
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，
∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴BO＝BC，
又OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
一十．直线与圆的位置关系（共1小题）
25．（2019•达州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．

【解答】解：（1）DF与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴＝，
∴BD＝．