04解答题-山东省滨州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共30题）

这是一份04解答题-山东省滨州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编（共30题），共41页。试卷主要包含了﹣1﹣π0，÷，其中x是不等式组的整数解，﹣1，﹣1，y＝2sin45°﹣等内容，欢迎下载使用。

04解答题-山东省滨州市五年（2018-2022）中考数学真题分类汇编
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2021•滨州）计算：（﹣）÷．
二．分式的化简求值（共4小题）
2．（2022•滨州）先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
3．（2019•滨州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．
4．（2020•滨州）先化简，再求值：1﹣÷；其中x＝cos30°×，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1．
5．（2018•滨州）先化简，再求值：（xy2+x2y）×÷，其中x＝π0﹣（）﹣1，y＝2sin45°﹣．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
7．（2019•滨州）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
五．两条直线相交或平行问题（共1小题）
8．（2020•滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．

六．一次函数的应用（共1小题）
9．（2021•滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题：
（1）当x＝50（秒）时，两车相距多少米？当x＝150（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．

七．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
10．（2018•滨州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．

八．二次函数的应用（共3小题）
11．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
12．（2020•滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
13．（2018•滨州）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

九．二次函数综合题（共4小题）
14．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．

15．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

16．（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

17．（2019•滨州）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．

一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2018•滨州）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．

一十一．菱形的性质（共1小题）
19．（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证AE＝EF．

一十二．菱形的判定（共1小题）
20．（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．

一十三．菱形的判定与性质（共1小题）
21．（2021•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．

一十四．圆的综合题（共2小题）
22．（2018•滨州）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x＝2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　 　的距离等于到　 　的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

23．（2019•滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．

一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
24．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

一十六．相似三角形的判定与性质（共4小题）
25．（2022•滨州）如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M．
求证：（1）PD是⊙O的切线；
（2）AM2＝OM•PM．

26．（2020•滨州）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）求证：OA2＝DE•CE．

27．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．

28．（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2＝2AD•AO．

一十七．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2022•滨州）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为 　 　；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．
30．（2019•滨州）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．

请根据图中信息，解决下列问题：
（1）两个班共有女生多少人？
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数；
（4）身高在170≤x＜175（cm）的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．

参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共1小题）
1．（2021•滨州）计算：（﹣）÷．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•
＝•
＝
＝
＝﹣
＝﹣．
二．分式的化简求值（共4小题）
2．（2022•滨州）先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝tan45°+（）﹣1﹣π0．
【解答】解：原式＝
＝•
＝•
＝，
∵a＝tan45°+（）﹣1﹣π0
＝1+2﹣1
＝2，
∴当a＝2时，原式＝＝0．
3．（2019•滨州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
解不等式组得1≤x＜3，
则不等式组的整数解为1、2，
又x≠±1且x≠0，
∴x＝2，
∴原式＝．
4．（2020•滨州）先化简，再求值：1﹣÷；其中x＝cos30°×，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣÷
＝1+•
＝1+
＝
＝，
∵x＝cos30°×＝×2＝3，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1＝1﹣3＝﹣2，
∴原式＝＝0．
5．（2018•滨州）先化简，再求值：（xy2+x2y）×÷，其中x＝π0﹣（）﹣1，y＝2sin45°﹣．
【解答】解：原式＝xy（x+y）••＝x﹣y，
当x＝1﹣2＝﹣1，y＝﹣2＝﹣时，原式＝﹣1．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【解答】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1﹣x）2＝48.6，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20﹣a）件，
由题意可得，[60（1﹣10%）﹣40]a+（48.6﹣40）×（20﹣a）≥200，
解得a≥5，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
7．（2019•滨州）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【解答】解：（1）设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人，y人，
，
解得：，
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；
（2）设租用甲种客车a辆，依题意有：，
解得：6＞a≥4，
因为a取整数，
所以a＝4或5，
∵5×400+1×280＞4×400+2×280，
∴a＝4时，租车费用最低，为4×400+2×280＝2160．
五．两条直线相交或平行问题（共1小题）
8．（2020•滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y＝﹣x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．

【解答】解：（1）由解得，
∴P（2，﹣2）；
（2）直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则﹣x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣2与x＝1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
∴AB＝3，
∴S△PAB＝＝＝3；
（3）如图所示：

自变量x的取值范围是x＜2．
六．一次函数的应用（共1小题）
9．（2021•滨州）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题：
（1）当x＝50（秒）时，两车相距多少米？当x＝150（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．

【解答】解：（1）∵500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），
∴当x＝50时，两车相距：20×50+500﹣25×50＝1000+500﹣1250＝250（米），
当x＝150时，两车相距：25×150﹣（20×150+500）＝3750﹣（3000+500）＝3750﹣3500＝250（米），
答：当x＝50（秒）时，两车相距250米，当x＝150（秒）时，两车相距250米；
（2）由题意可得，乙车追上甲车用的时间为：500÷（25﹣20）＝500÷5＝100（秒），
∴当0≤x≤100时，y＝20x+500﹣25x＝﹣5x+500，
当x＞100时，y＝25x﹣（20x+500）＝25x﹣20x﹣500＝5x﹣500，
由上可得，y与x的函数关系式是y＝；
（3）在函数y＝﹣5x+500中，当x＝0时，y＝﹣5×0+500＝500，当x＝100时，y＝﹣5×100+500＝0，
即函数y＝﹣5x+500的图象过点（0，500），（100，0）；
在函数y＝5x﹣500中，当x＝150时，y＝250，当x＝200时，y＝500，
即函数y＝5x﹣500的图象过点（150，250），（200，500），
画出（2）中所求函数的图象如右图所示．

七．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
10．（2018•滨州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．
（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；
（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；
（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．

【解答】解：（1）由C的坐标为（1，），得到OC＝2，
∵菱形OABC，
∴BC＝OC＝OA＝2，BC∥x轴，
∴B（3，），
设反比例函数解析式为y＝，
把B坐标代入得：k＝3，
则反比例解析式为y＝；
（2）设直线AB解析式为y＝mx+n，
把A（2，0），B（3，）代入得：，
解得：，
则直线AB解析式为y＝x﹣2；
（3）由题意得：一次函数与反比例函数在第一象限交点坐标为（3，），
则在第一象限内，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为2＜x＜3．
八．二次函数的应用（共3小题）
11．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，
解得：，
∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）设每月所获的利润为W元，
∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）
＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）
＝﹣30（x2﹣42x+320）
＝﹣30（x﹣21）2+3630．
∴当x＝21时，W有最大值，最大值为3630．
12．（2020•滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【解答】解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
13．（2018•滨州）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

【解答】解：（1）当y＝15时，
15＝﹣5x2+20x，
解得，x1＝1，x2＝3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；
（2）当y＝0时，
0＝﹣5x2+20x，
解得，x1＝0，x2＝4，
∵4﹣0＝4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；
（3）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．
九．二次函数综合题（共4小题）
14．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．

【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；

（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∵PA＝PC，
∴＝，
∴p＝﹣1，
∴P（1，﹣1）；

（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
Ⅰ、当点M在第四象限时，

过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．

15．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线经过B（0，﹣），
∴﹣＝4a﹣1，
∴a＝
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）证明：过点P作PJ⊥AF于J．
∵P（m，n），
∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，
∴P（m，m2﹣m﹣），
∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+，
∵F（2，1），
∴PF＝＝＝，
∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，
∴d2＝PF2，
∴PF＝d．

（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
由（2）可知QF＝QH，
∴DQ+QF＝DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为2+6，此时Q（4，﹣）．

16．（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．

【解答】解：（1）∵点A、B在抛物线y＝x2上，点A、B的横坐标分别为﹣3、，
∴当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）2＝×9＝，当x＝时，y＝×（）2＝×＝，
即点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（，），
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，作PE⊥x轴于点E，如右图1所示，
则AC∥BD∥PE，
∵点P为线段AB的中点，
∴PA＝PB，
由平行线分线段成比例，可得EC＝ED，
设点P的坐标为（x，y），
则x﹣（﹣3）＝﹣x，
∴x＝＝﹣，
同理可得，y＝＝，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（2）∵点B在抛物线y＝x2上，点B的横坐标为4，
∴点B的纵坐标为：y＝×42＝8，
∴点B的坐标为（4，8），
∴OD＝4，DB＝8，
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图2所示，
∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠OBD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
设点A的坐标为（a，a2），
∴CO＝﹣a，AC＝a2，
∴，
解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，），
∴中点P的横坐标为：＝，纵坐标为＝，
∴线段AB中点P的坐标为（，）；
（3）作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图3所示，
由（2）知，△AOC∽△OBD，
∴，
设点A的坐标为（a，a2），点B的坐标为（b，b2），
∴，
解得，ab＝﹣4，
∵点P（x，y）是线段AB的中点，
∴x＝，y＝＝＝，
∴a+b＝2x，
∴y＝＝x2+2，
即y关于x的函数解析式是y＝x2+2；
（4）当y＝6时，6＝x2+2，
∴x2＝4，
∵OP＝＝＝2，△AOB是直角三角形，点P时斜边AB的中点，
∴AB＝2OP＝4，
即线段AB的长是4．



17．（2019•滨州）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），
当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），
∴OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAD＝45°，
∴∠ODA＝45°，
∴OA＝OD，
∴点D的坐标为（4，0），
设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，
设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），
∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠OAD＝∠PNH＝45°，
作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，
∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，
∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），
即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；
②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，
则t＝，
解得，t1＝2，t2＝10，
则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），
当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，
∴sin∠P1AD＝＝；
当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，
∴sin∠P2AD＝＝；
由上可得，sin∠PAD的值是或．


一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2018•滨州）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．

【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示．
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°．
∵点D为BC的中点，
∴AD＝BC＝BD，∠FAD＝45°．
∵∠BDE+∠EDA＝90°，∠EDA+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF．
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF；
（2）BE＝AF，证明如下：
连接AD，如图②所示．
∵∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴∠EBD＝∠FAD＝135°．
∵∠EDB+∠BDF＝90°，∠BDF+∠FDA＝90°，
∴∠EDB＝∠FDA．
在△EDB和△FDA中，，
∴△EDB≌△FDA（ASA），
∴BE＝AF．


一十一．菱形的性质（共1小题）
19．（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证AE＝EF．

【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×＝5，
∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5＝50，
即菱形ABCD的面积是50；
（2）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．

一十二．菱形的判定（共1小题）
20．（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，
，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）如图所示：
由（1）得：△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴平行四边形PMQN是菱形．

一十三．菱形的判定与性质（共1小题）
21．（2021•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．

【解答】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC＝4，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴BF＝OB•sin∠AOB＝2×＝，
∴菱形AOBE的面积是：OA•BF＝2×＝2．

一十四．圆的综合题（共2小题）
22．（2018•滨州）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x＝2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　点A　的距离等于到　x轴　的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

【解答】解：（1）由x＝2，得到P（2，y），
连接AP，PB，
∵圆P与x轴相切，
∴PB⊥x轴，即PB＝y，
由AP＝PB，得到＝y，
解得：y＝，
则圆P的半径为；
（2）同（1），由AP＝PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2＝y2，
整理得：y＝（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图②所示；
（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；
故答案为：点A；x轴；
（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点B，CD与AB交于点E，
由对称性及切线的性质可得：CD⊥AB，
设PE＝a，则有EB＝a+1，ED＝，
∴D坐标为（1+，a+1），
代入抛物线解析式得：a+1＝（1﹣a2）+1，
解得：a＝﹣2+或a＝﹣2﹣（舍去），即PE＝﹣2+，
在Rt△PED中，PE＝﹣2，PD＝1，
则cos∠APD＝＝﹣2．

23．（2019•滨州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）如图所示，连接OD，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，则AD⊥BC，又AB＝AC，
则DB＝DC＝，
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，
而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；
（3）连接OE，
∵∠CDF＝15°，
∴∠C＝75°，
∵△CFD∽△CDA，
∴∠CDF＝∠CAD，
∴∠OAE＝30°＝∠OEA，
∴∠AOE＝120°，
S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，
S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．
一十五．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
24．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

【解答】（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．
一十六．相似三角形的判定与性质（共4小题）
25．（2022•滨州）如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连接OP交AB于点M．
求证：（1）PD是⊙O的切线；
（2）AM2＝OM•PM．

【解答】证明：（1）连接OB，如图所示，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠CAB+∠OCB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD+∠OCB＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴PD是⊙O的切线；
（2）由（1）知PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMP＝∠ANO＝90°，
∴∠APM+∠PAM＝90°，
∵∠OAP＝90°，
∴∠PAM+∠OAM＝90°，
∴∠APM＝∠OAM，
∴△OAM∽△APM，
∴，
∴AM2＝OM•PM．

26．（2020•滨州）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）求证：OA2＝DE•CE．

【解答】解：（1）连接OD，OE，如图1，
在△OAD和△OED中，
，
∴△OAD≌△OED（SSS），
∴∠OAD＝∠OED，
∵AM是⊙O的切线，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OED＝90°，
∴直线CD是⊙O的切线；


（2）过D作DF⊥BC于点F，如图2，则∠DFB＝∠DFC＝90°，
∵AM、BN都是⊙O的切线，
∴∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF＝AB＝2OA，AD＝BF，
∵CD是⊙O的切线，
∴DE＝DA，CE＝CB，
∴CF＝CB﹣BF＝CE﹣DE，
∵DF2＝CD2﹣CF2，
∴4OA2＝（CE+DE）2﹣（CE﹣DE）2，
即4OA2＝4DE•CE，
∴OA2＝DE•CE．

27．（2021•滨州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．

【解答】（1）证明：连接OD，如右图1所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°，
∴∠ODE+∠DEA＝180°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）方法一：证明：连接BD，如右图1所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF＝∠ADB＝90°，
∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，
∴∠EFD＝∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB•DF＝EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠DAB，
∴DF＝DB，
∴DF2＝EF•AB．
方法二：作OM⊥DF于点M，连接OF、OD，如右图2所示，
∵OD＝OF，OM⊥DF，
∴DM＝MF＝DF，
∵∠ODE＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ODM+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝∠OMD，
又∵∠DEF＝∠OMD，
∴△DEF∽△OMD，
∴，
∴EF•OD＝DF•MD，
∵OD＝AB，DM＝DF，
∴EF•AB＝DF•DF，
∴DF2＝EF•AB．


28．（2018•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2＝2AD•AO．

【解答】解：（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；

（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB＝2AO，∠ACB＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
又∵∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即AC2＝AB•AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD•AO．
一十七．列表法与树状图法（共2小题）
29．（2022•滨州）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为 　54°　；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．
【解答】解：（1）10÷10%＝100（名），
所以此次调查共抽取了100名学生；
（2）C项目的人数为：100﹣20﹣30﹣15﹣10＝25（名），
条形统计图补充为：

（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角为：360°×＝54°；
故答案为：54°；
（4）画树状图为：

共有25种等可能的结果，其中相同项目的结果数为5，
所以他俩选择相同项目的概率＝＝．
30．（2019•滨州）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．

请根据图中信息，解决下列问题：
（1）两个班共有女生多少人？
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）求扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数；
（4）身高在170≤x＜175（cm）的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．
【解答】解：（1）总人数为13÷26%＝50人，
答：两个班共有女生50人；
（2）C部分对应的人数为50×28%＝14人，E部分所对应的人数为50﹣2﹣6﹣13﹣14﹣5＝10；
频数分布直方图补充如下：

（3）扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角度数为×360°＝72°；
（4）画树状图：

共有20种等可能的结果数，其中这两人来自同一班级的情况占8种，
所以这两人来自同一班级的概率是＝．