2022年全国中考数学压轴题

这是一份2022年全国中考数学压轴题，共9页。
已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．332B．532C．33D．732
【考点】勾股定理；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，易得S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC ，结合S1+S2+S3＝2S0，可得S1=S0=S△ABC，从而可得P到AB边的距离为定值，则P在与AB平行且距离为的定直线PM上运动，当OP⊥PM时，OP最小，此时OP=

【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，
∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2S0，∴S1=12S0，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0=34×62＝93，∴S1=932，
过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴12•AB•RT=932，CR＝33，OR=3，
∴RT=332，∴OT＝OR+TR=532，
∵OP≥OT，∴OP的最小值为532，故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．
2022年安徽中考--第14题（填空压轴题）
如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）∠FDG＝ °；（2）若DE＝1，DF＝22，则MN＝ ．
【考点】正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】矩形、菱形、正方形；应用意识．
【分析】（1）根据AAS证△ABE≌△GEF，得出EG＝AB，GF＝AE，推出DG＝GF即可得出∠FDG的度数；
（2）由（1）的结论得出CD的长度，GF的长度，根据相似三角形的性质分别求出DM，NC的值即可得出MN的值．

【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠AEB+∠GEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠GEF＝∠ABE，
在△ABE和△GEF中，
∠GEF=∠ABE∠A=∠G=90°BE=EF，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，
即DG+DE＝AE+DE，
∴DG＝AE＝GF，
即△DGF是等腰直角三角形，
∴∠FDG＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵DE＝1，DF＝22，
由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，
∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，
延长GF和BC交于点H，
∴CD∥GH，
∴△EDM∽△EGF，
∴MDGF=EDEG，即MD2=13，∴MD=23，
同理△BNC∽△BFH，∴NCFH=BCBH，即NCGH−GF=BCBC+CH，
∴NC3−2=33+2，∴NC=35，
∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3−23−35=2615，故答案为：2615．
【点评】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
2022年安徽中考--第22题（解答题）
已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）利用AAS证明△DOE≌△BOC，得DE＝BC，从而得出四边形BCDE是平行四边形，再根据CD＝CB，即可证明结论；
（2）（i）根据线段垂直平分线的性质得，AE＝EC，ED＝EB，则∠AED＝∠CED＝∠BEC，再根据平角的定义，可得答案；
（ii）利用AAS证明△ABF≌△ACE，可得AC＝AB，由AE＝AF，利用等式的性质，即可证明结论．
【解答】（1）证明：∵CB＝CD，CE⊥BD，
∴DO＝BO，
∵DE∥BC，
∴∠DEO＝∠BCO，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE≌△BOC（AAS），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵CD＝CB，
∴平行四边形BCDE是菱形；
（2）（i）解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC且DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED，
又∵CD＝CB且CE⊥BD，
∴CE垂直平分DB，
∴DE＝BE，
∴∠DEC＝∠BEC，
∴∠AED＝∠CED＝∠BEC，
又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°，
∴∠CED=13×180°=60°；
（ii）证明：由（i）得AE＝EC，
又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°，
∴∠ACE＝30°，
同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°，
∴∠ACE＝∠ABF＝30°，
在△ACE与△ABF中，
∠ACE=∠ABF∠CAE=∠BAFAE=AF，
∴△ABF≌△ACE（AAS），∴AC＝AB，
又∵AE＝AF，∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝CF．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2022年安徽中考--第23题（解答题压轴题）
如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；二次函数的应用；应用意识．
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，−16m2+8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，解得：a=−16，
∴抛物线对应的函数表达式为y=−16x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，−16m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN=−16m2+8，P2P3＝2m，
∴l＝3（−16m2+8）+2m=−12m2+2m+24=−12（m﹣2）2+26，
∵−12＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l=−12m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令−16x2+8＝3，解得：x＝±30，
∴此时P1的横坐标的取值范围为−30+9≤P1横坐标≤30，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3=18−2n2=9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+n＝﹣（n−92）2+814，
∵﹣1＜0，∴当n=92时，矩形面积有最大值为814，
此时P2P1=92，P2P3=92，
令−16x2+8=92，
解得：x＝±21，
∴此时P1的横坐标的取值范围为−21+92≤P1横坐标≤21．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．