2022年贵州省贵阳市南明区中考数学二模试卷（含解析）

2022年贵州省贵阳市南明区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共15小题，共45分）

1. 的相反数的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 年国民经济和社会发展统计公报显示，年我国经济规模突破万亿元，达到万亿元，稳居全球第二大经济体．将万亿用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列关于的方程，是分式方程的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示的正五棱柱的主视图是

A.
B.
C.
D.

5. 下列现象中属于平移的是
   投篮时篮球的运动
   打气筒打气时，活塞的运动
   钟摆的摆动
   汽车雨刷的运动

A.  B.  C.  D.

6. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 若代数式与代数式的值相等，则的值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，直线，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 为了解某校九年级学生的视力情况，学校随机抽查了名九年级学生的视力情况，到的数据如下表，则本次调查中视力的众数和中位数分别是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

10. 如图，已知，若使≌，则不能添加下列选项中的

A.
B.
C.
D.
 

11. 解分式方程时，去分母后变形为

A.  B.
C.  D.

12. 如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则下列结论：；；；≌其中正确的有

A.  B.  C.  D.

13. 已知点，，都在二次函数的图象上，当时，，则，，的大小比较正确的是

A.  B.  C.  D.

14. 如图，线段是的直径，弦，，的长等于

A.
B.
C.
D.

15. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点给出下列结论：；∽；；其中正确的结论有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

16. 分解因式：______．
17. 已知直线向右平移个单位后经过点，则______．
18. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为______．

19. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，并使边与旗杆顶点在同一直线上，且与在同一个平面内．已知米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，则旗杆的高度为______米．

20. 如图，直线交双曲线于、两点，交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，连接，若：：，，则的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共80分）

21. 计算：
    计算：．
    解不等式组：．
22. 先化简再求值：，然后选取一个你认为合适的整数作为的值代入求值．
23. 如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连．
    求证：矩形为正方形；
    求证：．

24. 某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图；根据图中信息，解答下列问题：
    
    在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为______，请补全条形统计图；
    该校共有学生人，请你估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数；
    对视力“非常重视“的人有，两名男生，其中是七年级，是八年级；，是两名女生，其中是八年级，是九年级．若从中随机抽取两人向全校做视力保护经验交流，请用画树状图或列表法求恰好抽到不同年级、不同性别的学生的概率．
25. 如图，为上一点，点在直径的延长线上，且．
    求证：是的切线；
    求证：；
    若，，求的值．

26. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系，部分数据如表：

求出与之间的函数表达式；不需要求自变量的取值范围
该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设销售这种衬衫每月的总利润为元，求与之间的函数关系式，为多少时，有最大值，最大利润是多少？

27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点为、，与轴交于点，为抛物线上一点，过点作于．

求抛物线的解析式；
如图，若在直线上方，轴于，交于．
求的值；
求线段的最大值．
如图，连接，当与相似时，直接写出点的坐标．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，的倒数是．
故选：．
根据相反数和倒数的定义解答即可．
本题考查了相反数和倒数，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：万亿亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C.方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程；
D.方程分母中含未知数，故是分式方程．
故选：．
根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
本题主要考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．
 

4.【答案】

【解析】解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线，两侧有分别有一条纵向的实线．
故选：．
主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据正五棱柱的特点作答．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

5.【答案】

【解析】解：投篮时篮球的运动是旋转，不属于平移；
打气筒打气时，活塞的运动，属于平移；
钟摆的摆动是旋转，不属于平移；
汽车雨刷的运动是旋转，不属于平移．
故选：．
根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解．
本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
 

6.【答案】

【解析】解：：不能合并同类项，不合题意；
：原式，不合题意；
：原式，符合题意；
：原式，不合题意；
故选：．
，不能合并同类项；
，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算；
，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算；
，根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方再把所的幂相乘计算．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：根据题意，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得：，
则的值为．
故选：．
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
根据三角形外角的性质，可求得的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求解．
此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
 

9.【答案】

【解析】解：在这个数据中，出现了次，出现的次数最多，即这组数据的众数是；
将这个数据按从小到大的顺序排列，其中第、个数均为，即这组数据的中位数是．
故选：．
根据众数和中位数的定义求解．
此题考查中位数、众数的求法：
给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数，但中位数不一定是这组数据里的数．
给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
 

10.【答案】

【解析】解：，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，
，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
C.，，
，
，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．
根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
 

11.【答案】

【解析】解：分式方程变形得：，
去分母得：．
故选：．
找出分式方程的最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

12.【答案】

【解析】解：，，，
是的角平分线，
，故正确；
在和中，
，
≌，
，
故正确；
根据题意无法证明，故不正确；
在和中，缺少全等条件，故不正确；
故选：．
由，，，得出是的角平分线，则；由证得≌，得出；根据题意无法证明，故不正确；在和中，缺少全等条件，故不正确．
本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
图象的对称轴是直线，
当时，，
抛物线开口向上，时，随的增大而增大，
点关于直线的对称点是，
，
，
故选：．
根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线，根据当时，，得出抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，即可得出答案．
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：记与交于点，
弦直径，
，，
连接，则，

为等边三角形，
，
，
，，
．
故选：．
记与交于点，先根据弦可得，，再连接，则可得为等边三角形，即可计算出、，长，即可得出答案．
本题主要考查垂径定理，解题关键是掌握垂径定理的内容．
 

15.【答案】

【解析】解：为等边三角形，
，，
四边形为正方形，
，，，
，
，，
，
，故正确；
，，
∽，故正确；
如图，作于，交于，在上截取，过点作于，

，
，
，
设，则，，
在中，，
，
在中，，
，
，故正确，
，
，，
，，
，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，故错误；
故选：．
由正方形的性质和等边三角形的性质可求，故正确，由相似三角形的判定方法可证∽，故正确；设，则，，由直角三角形的性质可求，可判断正确，分别求出，，可判断错误，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
找到公因式，提取公因式即可．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：直线向右平移个单位得到的新直线的解析式为．
直线经过，
，
．
故答案为：．
得到新直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化平移，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：由平移的性质知，，，
，
．
故答案为：．
根据平移的性质得出，，则，则阴影部分面积，根据梯形的面积公式即可求解．
本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形的面积相等是解题的关键．
 

19.【答案】

【解析】解：，，
∽，
，
，
，
四边形是矩形，
米，
米．
故旗杆的高度为米，
故答案为：．
利用相似三角形的性质求出，利用矩形的性质求出，可得结论．
本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】

【解析】解：设，则，
则，
将点坐标代入，
得，
解得，
，
轴于点，
点横坐标为，代入，
，

将点代入反比例函数解析式，
得，
联立，
解得或，
，
，
，
．
故答案为：．
设，则，求出点坐标，联立反比例函数解析式和一次函数解析式，求出点坐标，再根据的面积列方程，即可求出的值．
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，涉及待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，联立反比例函数与一次函数求出交点坐标是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：原式

；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．

【解析】先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：



，
当时，原式．

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，作于，于，

，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
证明：正方形和正方形，
，，
，
，
≌，
．
，

【解析】作出辅助线，得到，然后判断，得到≌，则有即可；
同的方法判断出≌得到，即：．
主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等．
 

24.【答案】

【解析】解：调查的学生人数为人，
“非常重视”所占的圆心角的度数为，
“重视”的人数为人，
补全条形统计图如图：

故答案为：；

由题意得：人，
即估计该校对视力保护“比较重视”的学生人数为人；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有个，
所以恰好抽到不同年级、不同性别的学生的概率是．
先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由乘以“非常重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
由该校共有学生人数乘以“比较重视”的学生所占比例即可；
画树状图，共有个等可能的结果，恰好抽到不同年级、不同性别的学生的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
 

25.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；

证明：是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
又，
，
，
又，
∽，
，
；

，
在中，，
又，
，，
．

【解析】连接，先判断出，再判断出，进而得出，即可得出结论；
先判断出，再判断出，再判断出，进而得出∽，即可得出结论；
用锐角三角函数，即可求出答案．
此题圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键．
 

26.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
则，
解得：，
即与之间的函数表达式是；
，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，


，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，
解得：，
，抛物线开口向下，
当时，取得最大值，此时，
售价定为元时，可获得最大利润，最大利润是元．

【解析】根据题意和表格中的数据可以得到与之间的函数表达式；
根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
根据题意，可以得到与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
 

27.【答案】解：抛物线与轴交点为、，与轴交于点，
令，则，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，，
解得：，
，
抛物线的解析式为；
轴，
，
又，
，
，
，，
，，
．
；
设过的直线解析式为，
则，
解得：，
直线解析式为，
设，则，
，
当时，有最大值，
，
取最大值时，取最大值，
最大值为；
设，则，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
与相似，有以下两种情形，
当∽时，
，
即，
整理得：，
解得：与点重合，舍去，，
当时，，
；
当∽时，，
即，
整理得，
解得：，，舍去，
当时，，
，
当时，，

综上所述，当与相似时，点的坐标或或

【解析】根据待定系数法求解析式即可；
根据对顶角性质，平行线的性质可得，进而可得，根据勾股定理求得，进而根据正弦的定义求解即可；
待定系数法求得直线的解析式为，设则．，求得，根据的结论求得，当取得最大值时，取得最大值，进而根据二次函数
的性质求得的最大值；
分别表示出，，求得，，的长，根据，与相似时，有以下种情形，当∽时，当∽时，进而根据相似三角形的性质列出方程解方程求解即可．
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．