2022年山东省淄博市周村区中考数学二模试卷（含答案解析）

2022年山东省淄博市周村区中考数学二模试卷

1. 若□，则“□”内应填的实数是

A.  B. 2022 C.  D.

2. 代数式可以表示

A. 3个相乘 B. 3个相加 C. 2个相加 D. 5个a相乘

3. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是

A.  B.  C.  D.

4. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是

A. 测量两组对边是否相等
B. 测量对角线是否相等
C. 测量对角线是否互相平分
D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

5. 一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而增大，则点A的坐标可以是

A.  B.  C.  D.

6. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在中，，，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点若，则

A. 4 B. 3 C. 2 D.

8. 如图，在锐角三角形ABC中，，的面积为10，BD平分，若M、N分别是BD、BC上的动点，则的最小值为
    

A. 4 B. 5 C.  D. 6

9. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是
    

A. 2：1 B. 1：2 C. 3：2 D. ：1

10. 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为

A. 4 B. 1 C.  D.

11. 如图，已知点M是线段AB的中点，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，则的面积为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

12. 将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线与图象只有四个交点，则m的取值范围是
     

A.  B.  C.  D.

13. 计算的结果为______.
14. 小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______.
15. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动．若，则______
16. 如图，在中，，，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若，则的值为______.
17. 如图，在中，，，，，则AD的长的最大值为______.

18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，，，
    求证：
    若，，求的度数．

20. 为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“垃圾分类，从我做起”的活动，志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其3月份垃圾分类投放次数进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
    信息1：垃圾分类投放次数分布表信息

信息2：垃圾分类投放次数占比统计图

信息3：C组包含的数据：12，12，10，12，13，10，11，13，12，11，
请结合以上信息完成下列问题：
统计表中的______，______.
统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
组数据的众数是______，抽取的50名居民3月份垃圾分类投放次数的中位数是______；
根据调查结果，请你估计该社区2000名居民中3月份垃圾分类投放次数不少于15次的人数．

21. 某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元．
    商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
    商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？
22. 中，，，是的外接圆．
    如图①，过A作，求证：MN与相切；
    如图②，的平分线交半径OA于点E，交于点求的半径和AE的长．
     

23. 问题发现
    如图1，在和中，，，，连接AC，BD交于点填空：
    ①的值为______；
    ②的度数为______.
    类比探究
    如图2，在和中，，，连接AC交BD的延长线于点请判断的值及的度数，并说明理由；
    拓展延伸
    在的条件下，将绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
     

24. 抛物线过点，，与y轴交于点对称轴与x轴交于点
    求抛物线的解析式及点D的坐标；
    如图，连接CD、CB，在直线BC上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标；
    点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
     

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：
故选：
根据乘除互逆运算的关系求解可得．
本题主要考查有理数的乘除法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则和乘除运算关系．
 

2.【答案】A

【解析】解：可以表示成3个相乘．
故选：
利用幂的乘方进行分析即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是掌握幂的乘方的运算法则．
 

3.【答案】B

【解析】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：
，
解得
故选：
根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
 

4.【答案】D

【解析】解：A、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题意；
故选：
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
 

5.【答案】C

【解析】解：随着x的增大而增大，

A.当点A的坐标为时，，
解得：，
点A的坐标不可以是，选项A不符合题意；
B.当点A的坐标为时，，
解得：，
点A的坐标不可以是，选项B不符合题意；
C.当点A的坐标为时，，
解得：，
点A的坐标可以是，选项C符合题意；
D.当点A的坐标为时，，
解得：，
点A的坐标不可以是，选项D不符合题意．
故选：
由y随着x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出，将各选项中的点的坐标代入一次函数解析式中求出k值，取k值为正的选项即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，代入各选项中点的坐标，求出k值是解题的关键．
 

6.【答案】D

【解析】解：根据正方体的展开图的11种情况可得，D选项中的图形不是正方体的展开图，
故选：
正方体的展开图的11种情况可分为“型”6种，“型”的3种，“型”的1种，“型”的1种，综合判断即可．
本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况判断也可．
 

7.【答案】A

【解析】解：连接CD，
垂直平分AC，
，
，，
，
，
，
，
，，
在中，
，
在中，
，
，
故选：
连接CD，根据等腰三角形的性质与判定以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质，本题属于基础题型．
 

8.【答案】B

【解析】解：过C作于点E，交BD于点，过点作于，如图：

平分，于点E，于，
，
是最小值，此时M与重合，N与重合，
三角形ABC的面积为10，，
，

即的最小值为
故选：
过C作于点E，交BD于点，过点作于，则CE即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值．
本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为最小值．
 

9.【答案】D

【解析】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
得到的两个矩形都和原矩形相似，
：：，
解得x：：
故选：
表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
 

10.【答案】C

【解析】解：，，
，，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
、b看作方程的两实数根，
，

故选：
先把已知条件变形得到，，则可把a、b看作方程的两实数根，利用根与系数的关系得到，从而得到的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
 

11.【答案】A

【解析】解：如图，过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，

点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
，，
轴，轴，轴，
，
点M是线段AB的中点，
，
设点A坐标为，则，



，
故选：
过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，用设参数的方法求出梯形BCDA的面积，再根据，即可得出答案．
本题考查了反比例函数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，用设参数的方法求出梯形BCDA的面积是解决问题的关键．
 

12.【答案】C

【解析】解：令，则，
解得或1，
，
平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于时，此时过点，
，即
②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点，
方程，
即有两个相等实根，
，
即
由①②知若直线与新图象只有四个交点，m的取值范围为
故选：
根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①直线经过点即左边的对折点，可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；
②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定m的取值．
此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．
 

13.【答案】3

【解析】解：


，
故答案为：
利用分式的减法的法则进行运算即可．
本题主要考查分式的减法，解答的关键是熟记分式的减法的法则．
 

14.【答案】11

【解析】解：，
，
故答案为：
根据题目中的式子，可以得到该组数据中的各个数据，根据算术平均数的公式计算的值，从而可以解答本题．
本题考查方差、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数．
 

15.【答案】80

【解析】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：在中，，，
，
由折叠的性质得到：≌，
，
，
，

又，
，
在直角中，，

故答案为：
由折叠可得≌，即可得到；由三角形的内角和定理及平角的知识即可得到，最后根据进行计算，即可解决问题．
主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

17.【答案】

【解析】解：过点D作，交AC延长线于E，如图所示：
，，
，
，
设，，
则，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
当时，取等号，
，
当时，AD最大，
，
最大时，为等边三角形，
此时，，
，
，
，
故答案为：
过点D作，交AC延长线于E，由含角的直角三角形的性质得，设，，则，，再由勾股定理得，当时，AD最大，此时，为等边三角形，则，，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及最值问题等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为
将不等式的解集表示在数轴上如下：
.

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
在和中，，
≌，
；
，，
，
，
，
 

【解析】根据同角的余角相等可得到，结合条件可得到，再加上，可证得结论；
根据，，得到，根据等腰三角形的性质得到，由平角的定义得到
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和
 

20.【答案】5 10 72 12 13

【解析】解：，，
故答案为：5、10；
统计图中B组对应扇形的圆心角为，
故答案为：72；
组数据的众数是12，抽取的50名居民3月份垃圾分类投放次数的中位数是，
故答案为：12、13；
估计该社区2000名居民中3月份垃圾分类投放次数不少于15次的人数为人
总人数乘以A组对应百分比可得其人数，根据各组人数之和等于总人数可得E组人数；
用乘以B组人数所占比例即可；
根据众数和中位数的定义求解即可；
用总人数乘以样本中D、E组人数所占比例即可．
本题考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解．
 

21.【答案】解：
设商场第一次购入的空调每台进价是x元，由题意列方程得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，
答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元；
设将y台空调打折出售，根据题意，得：
，
解得：，
答：最多将8台空调打折出售．

【解析】设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，每台的售价也上调了200元”列出分式方程解答即可；
设最多将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．解答分式方程时，还要一定要注意验根．
 

22.【答案】解：如图①，作直径AD，连接DC，
，且，
，
，
，
是直径，
，
，
，
又点A 在上，
与相切；
如图②作直径AF，，连接OB、OC，
，，
、A在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC，
平分，，，
，，
在中，，，
由勾股定理得，
设的半径为x，在中
由勾股定理得：，
，
即的半径为，
，，
，
由∽得：，
代入解得：

【解析】如图①，作直径AD，连接DC，根据等腰三角形和平行线的性质得到，求得，根据圆周角定理得到，于是得到结论；
如图②作直径AF，，连接OB、OC，根据线段垂直平分线的判定定理得到O、A在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC，根据角平分线的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】①1；②
类比探究
如图2，，，理由是：
中，，，
，
同理得：，
，
，
，
∽，
，，
在中，；
拓展延伸
AC的长为或

【解析】解：问题发现
①如图1，，
，
，，
≌，
，
，
②≌，
，
，
，
在中，，
故答案为：①1；②；
见答案
拓展延伸
①点C与点M重合时，如图3，同理得：∽，
，，
设，则，
中，，，
，，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
②点C与点M重合时，如图4，同理得：，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，

，
，
，，
；
综上所述，AC的长为或
①证明≌，得，比值为1；
②由≌，得，根据三角形的内角和定理得：；
根据两边的比相等且夹角相等可得∽，则，由全等三角形的性质得的度数；
正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：∽，则，，可得AC的长．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：∽，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
 

24.【答案】解：抛物线过点，，
，
解得
抛物线的解析式为：
抛物线的对称轴为直线

如图1，过点C作轴交抛物线于点E，过点E作轴交CP于点F，

令，解得，
，
，
，
，
，
，
令，则，
解得舍去或，

，
，
，
，
，即，
，

设直线CF的解析式为：，
，解得，
直线CF的解析式为：，
令，解得舍去或

存在，理由如下：
根据菱形的对称性可知是等腰三角形，需要分三种情况：
①当点C为顶点，如图2，分别记为和；
由可知，，，，
，

过点作轴于点G，过点作轴于点H，
则，，
，
，
②当点D为顶点，如图3，记为，过点作轴于点J，

，
，
，
设，
，，
，解得舍或，
，，

③当点M为顶点，如图4，取CD的中点K，作交y轴于点P，交直线BC于点
，，
，
，，
∽，
：：CO，即CP：：3，
，
，

直线PK的解析式为：
，，
直线BC的解析式为：，
令，解得，


综上，符合题意的点M的坐标为：或或或

【解析】把点A和点B代入抛物线解析式，求解，并根据对称轴公式求出对称轴，进而可得出点D的坐标；
过点C作轴交抛物线于点E，过点E作轴交CP于点F，由可得，则若，则，根据正切值可得点F的坐标，求出直线CF的解析式，联立即可得出点P的坐标；
根据菱形的对称性可知是等腰三角形，需要分三种情况：当点C为顶点；当点D为顶点；当点M为顶点等，画出图形，求解即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、菱形的性质，利用菱形的对称性将问题转化为等腰三角形的存在性是解题的关键．