山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

2019-2020学年下学期高一质量检测

数 学 试 题

2020.07

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；
2. 将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足为虚数单位），则在复平面上对应的点的坐标为　　

A．        B．          C．          D．

2.从分别写有 ，，，， 的 张卡片中随机抽取 张，放回后再随机抽取 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

A.               B.               C.              D.

3.如图所示的直观图中，，则其平面 

图形的面积是

A.               B.       

C.            D.

4.已知非零向量，，若，且，  

则与的夹角为　　

A．             B．             C．             D．

5.设是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是

A．若，，则         B．若，，则

C．若，，则       D．若，，则

6.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为　　

A．          B．           C．           D．

7.已知数据，，，的方差为4，若，2，，，

则新数据，，，的方差为　　

A．16             B．13             C．               D．

8.已知 的三个内角 ，， 所对的边分别为 ，，，

，则 等于

A.           B.             C.               D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分.

9．若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是（   ）

A.“甲站排头”与“乙站排头”          B.“甲站排头”与“乙不站排尾”

C.“甲站排头”与“乙站排尾”          D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”

10．下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（    ）

A．甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数

B．甲同学的成绩的中位数在115到120之间

C．甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差

D．甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数

11．已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题正确的是（   ）

A.    

B.若且，则 

C.两个非零向量，，若，则与共线且反向 

D.已知，，且与的夹角为锐角， 则实数的取值范围是，

12．在四棱锥中，底面是正方形，底 

面，，截面与直线平行，与  

交于点，则下列判断正确的是　　

A．为的中点    

B．与所成的角为 

C．平面    

D．三棱锥与四棱锥的体积之比等于

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若复数 满足方程 ，则                   .

14.如图，在中，已知是延长线上一点，点为线段的中点，若 ，且 ，则              .

15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于            .

16．如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则的最小值      ，最大值           . 

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程

17.（本小题满分10分）

如图所示，是的重心，， 分别是边 ， 上的动点，且 ，， 三点共线． 

（1）设 ，将 用 ，， 表示；

（2）设 ，，求的值．

18.（本小题满分12分）

已知函数，且当 时，的最小值为 ，

（1）求的值，并求 的单调递增区间；

（2）先将函数 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再将所得的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，当时，求的的集合．

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，,底面，

（1）求证：平面平面；

（2）若,,是的中点，求与平面所成角的正切值.

20.（本小题满分12分）

某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 名学生中随机抽取 名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 分到 分之间（满分 分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．

（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

（2）用样本数据估计该校的 名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 名，求他们的分差的绝对值小于分的概率．

21. （本小题满分12分）

     的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知．

（1）求 的值；

（2）若 ，，求 的面积．

22.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱 中，是正方形的中心，，平面 ，且 ． 

（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；

（2）求二面角 的正弦值；

（3）设为棱的中点，在上，并且,点在平面内，且平面，证明：ME∥平面．

2019-2020学年下学期高一质量检测

                   数学试题参考答案            2020.07

一、单项选择题： CDABC   CAD  

二、多项选择题： 9.BCD   10.BD    11.AC   12.ACD

二、填空题：13.    14.    15.   16.，

三、解答题：

17. 解：（1）

。…………………………5分

 （2）由（1）得 ，……①  ……7分

另一方面，因为 是 的重心，

所以，           ……②  ……9分

由①②得 ，

∴．……………………………………………………10分

18.解：（1）函数，…2分

∵，∴ ，

，得 ，………………………………………3分

即 ．

令 ，

得 ，………………………………………………5分

∴函数 的单调递增区间为 ．………………6分

（2）由（1）得 ，由的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，得，…………………………7分

再将图象向右平移 个单位，

得，……………………………9分

又∵．即，…………………………………………………10分

∴，

即．…………………………………………………11分

∵ ，∴不等式的解集。    …………………………12分

19.（1）证明：在三棱锥中，

∵底面，∴。………2分

又∵,即，，    …………………………3分

∴平面,               ………………………………………………5分

平面∴平面平面。         …………………………6分

（2）解：在平面内，过点 作，连结，    ……………7分

∵平面平面，

∴平面,                     ………………………………………8分

∴是直线与平面所成的角。 ………9分

在中，∵，,

∴为的中点，且，

又∵是的中点，在中，…………………………10分

∵平面,平面，

∴，………………………11分

在直角三角形中，。……………12分

20. 解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：

．……2分

完成频率分布直方图如下：

       ………………4分

  （2） 用样本数据估计该校的 名学生这次考试成绩的平均分为：

。  ………………8分

  （3）样本成绩属于第六组的有 人，样本成绩属于第八组的有 人，            ………………………………………………9分

记第六组的3人为，，；第八组的2人为，。

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名，基本事件，，，，，，，，，，基本事件总数为。                                     ………………………………10分

他们的分差的绝对值小于分包含的基本事件个数，，，， ．                                      ………………………………11分

故他们的分差的绝对值小于分的概率 ．……………12分

21. 解：（1）∵，

∴由正弦定理可知 ，………………2分

即 ，

∴ ，…………………………………………………3分

∵ ，∴ ，

∵ ，∴，∵，……………………………………5分

∴ ．…………………………………………………6分

  （2）∵ ，，

∴由余弦定理 ，可得，

∴ ，…………………………………………………………9分

∵ ，∴解得 ，…………………………………………………11分

∴ ．…………………………12分

22.解：(1）∵ ，∴ 是异面直线与所成的角．……1分

∵平面，又为正方形的中心，，．可得

∴      …………………………3分

∴异面直线与 所成角的余弦值为．      …………………………4分

（2）连接 ，易知 ，

又由于 ，，

∴ ，…………5分

过点作于点，连接，

得，

故为二面角的平面角．

在中，。

连接 ，在 中，，，

，………………………………7分

 从而

∴二面角 的正弦值为 ．……………………………………8分

（3）∵平面 ，∴．

取 中点 ，则，连接 ，由于 是棱 中点，

∴ ,又 平面，

∴ 平面，…………………9分

故．又 ，

∴ 平面，∴，

∵是正方形，∴，………10分

连接，由，得，

∴三点共线，，………………………………………………………………………11分

平面，

∴平面。…………………………………………………………12分