2022年广西贵港市港北区中考数学二模试卷（含解析）

2022年广西贵港市港北区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.
 

3. 将数化为小数是

A.  B.  C.  D.

4. 在今年的月的体育中考中，某校名学生的分数分别是：，，，，，，，则下列表述错误的是

A. 中位数是 B. 平均数是 C. 众数是 D. 极差是

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 已知点在第四象限，且到轴的距离为，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7. 不等式组的整数解是一个一元二次方程的两根，则该方程为

A.  B.
C.  D.

8. 下列命题中是真命题的是

A. 绝对值等于它本身的数是和
B. 等弦所对的圆周角相等
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等

9. 从、、三个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则关于的一元二次方程没有实数根的概率为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，与是的两条互相垂直的弦，交点为点，，点在圆上，则的度数为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，矩形纸片中，，是上一点，连结，沿直线翻折后点落到点，过点作，垂足为若，则的值为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、有以下结论：∽；；；当时，，则正确的结论有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 计算：______．
14. 因式分解：______．
15. 如图，为的平分线，于点，且，，点的距离为______．
    
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象第一象限上运动，且始终保持线段的长度不变．为线段的中点，连接则线段长度的最小值是______．
    
     

17. 如图，正方形的边长为，为对角线的四等分点，连接，将绕点顺时针旋转得到，则边扫过的阴影部分的面积为______．
    
    
     

18. 定义运算“”：，如：若函数的图象过点，将该函数图象向右平移，当它再次经过点时，所得的图象函数表达式为______．

三、解答题（本大题共8小题，共61.0分）

19. 计算：．
    解分式方程：．
20. 如图，中，，，
    请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；不要求写作法，保留作图痕迹
    在条件下，连接，则______．
    
     

21. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过作轴于点点为反比例函数图象上的一动点，过点作轴于点，直线与轴的负半轴交于点．
    求反比例函数的表达式；
    若，求的面积．

22. 为了响应市政府号召，某中学开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“：文明礼仪，：生态环境，：交通安全，：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图．
    本次随机调查的学生人数是______人；
    请你补全条形统计图；
    在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角等于______度；
    该市有中学生万人，请你估算该市中学生参加“：交通安全”活动的人数有多少？

23. 为提高教学质量，市教育局准备采购若干套投影设备升级各学校教学硬件，经考察，某公司有、两种型号的投影设备可供选择．
    该公司年年初每套型投影设备的售价为万元，经过连续两次降价，年底每套售价为万元，求每套型投影设备平均下降率；
    年年底市教育局经过招标，决定采购并安装该公司，两种型号的投影设备共套，采购专项经费总计不超过万元，采购合同规定：每套型投影设备售价为万元，每套型投影设备售价为万元，则型投影设备最多可购买多少套？
24. 如图，是的直径，点在直径上与，不重合，，且，连接，与交于点，在上取一点，使．
    求证：是的切线；
    若是的中点，，求的长．
25. 如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点．
    直接写出：______，______；
    过点且与轴平行的直线与直线，分别交于点，，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
    当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
26. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形如图，连接，，若，．
      试探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；
      把与剪去，将绕点顺时针旋转得，边交于点如图，设旋转角为，当为等腰三角形时，求的度数；
     若将沿方向平移得到如图，与交于点，与交于点，当时，求平移的距离．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
根据绝对值的性质即可得出答案．
本题考查了绝对值，掌握正数的绝对值等于它本身是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从正面看，是一个矩形，矩形内部有两条横向的虚线．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】

【解析】解：，
故选：．
根据为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定还原为小数．
本题考查了科学记数法原数、用科学记数法表示较小的数，掌握科学记数法的规律方法是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：排序后的数据为：，，，，，，，
中位数是，故A选项符合题意；
平均数，故B选项不合题意；
出现次数最多的数据为，即众数是，故选C选项不合题意；
极差，故D选项不合题意；
故选：．
依据平均数的算法，众数的定义，中位数的定义以及极差的公式进行计算，即可得到结论．
本题主要考查了平均数，众数，中位数以及极差，解题时注意：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式．
熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】
解： 、原式 ，不符合题意；
B 、原式 ，符合题意；
C 、原式 ，不符合题意；
D 、原式 ，不符合题意，
故选： ．   

6.【答案】

【解析】解：点在第四象限，且到轴的距离为，
，
解得，
，
，
点的坐标为．
故选：．
根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值列方程求出的值，然后求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的整数解为：，，
不等式组的整数解是一个一元二次方程的两根，
方程为，
化简得：，
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算求出不等式组的整数解，从而可得方程为，再进行化简整理，即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：、绝对值等于它本身的数是和正数，原命题是假命题；
B、在等圆或同圆中，等弦所对的圆周角相等，原命题是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；
故选：．
对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
 

9.【答案】

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中满足，即的结果有、这种结果，
关于的一元二次方程没有实数根的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，再找出满足的结果数，然后根据概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了根的判别式．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用垂直的定义和圆周角定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

11.【答案】

【解析】解：过点作于点．

则，，
，，
，
由翻折可得，，
，
，
在中，由勾股定理可得，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解得．
故选：．
过点作于点则，，，由翻折可得，，在中，由勾股定理可得，设，则，，在中，由勾股定理可得，求出，即可得出答案．
本题考查翻折变换折叠问题、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，，
，
又，
∽，
故正确；
由知∽，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故正确；
如图，将绕点顺时针旋转得到，

则，，
，
，
，，共线，
在与中，
，
≌，
，
故正确；
在与中，
，
≌，
，，
，
，
假设正方形边长为，设，则，
如图，连接，交于
，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
故错误，
故选：．
根据已知和正方形的性质知，可判断正确；证明∽，则有，可知是等腰直角三角形，从而判断正确；将绕点顺时针旋转得到，利用说明≌得，，可知正确；首先可知≌，则，可说明是的垂直平分线，则，，假设正方形边长为，设，则，利用角平分线的性质可得，则，从而判断错误．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的逻辑思维和识图能力．
 

13.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
根据有理数的减法法则计算即可．
本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：原式
，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，过作于，
为的平分线，于点，
，
在中，，
，，
，
，
点的距离为．
故答案为：．
首先过作于，然后利用角平分线的性质得到，接着在中利用勾股定理求出即可解决问题．
本题主要考查了角平分线的性质，也利用勾股定理进行计算，有一定的综合性．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，因为反比例函数关于直线对称，观察图象可知：当线段与直线垂直时，垂足为，此时，由垂线段最短可知此时的值最小，
为线段的中点，
，
点，在反比例函数图象上，
点与点关于直线对称，
，
可以假设，则，
，
整理得，
解得：负值舍去，
，，
，
，
线段的长度最小值为．
故答案为：．
如图，当时，线段长度的最小．首先证明点与点关于直线对称，因为点，在反比例函数图象上，，所以可以假设，则，则，整理得，推出，，可得，求出最小值即可解决问题．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：绕点顺时针旋转得到，
和的面积相等，
正方形的边长为，
，即，

故答案为：
根据旋转可得和的面积相等，再根据计算即可．
本题考查扇形面积的求法，利用旋转的性质得到和的面积相等是解题关键．
 

18.【答案】

【解析】解：由新定义得函数解析式为．
把代入，得，
，
设平移后的抛物线解析式为：．
把代入，得．
解得舍去或．
所以将该函数图象向右平移，当它再次经过点时，所得的图象函数表达式为：．
故答案为：．
由新定义得函数解析式为将点代入可得，然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：如图所示：

，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
根据线段垂直平分线的作法即可解决问题；
根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数；
轴，，
，
，
，
轴，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为，
，
，
．

【解析】利用待定系数法即可解决问题．
求出直线的解析式，可得点坐标，求出，即可解决问题．
本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法、一次函数与坐标轴的交点特征，梯形面积等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：本次随机调查的学生人数为人；
故答案为：；
人，补全条形统计图如图所示：

在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角，
故答案为：；
人，
答：该市中学生参加“：交通安全”活动的人数为人．
由主题人数及其所占百分比可得总人数；
根据四个主题人数之和等于总人数求出主题人数，据此可补全图形；
用乘以主题人数所占百分比可得答案；
用总人数乘以主题人数所占比例即可．
本题主要考查读条形统计图与扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

23.【答案】解：依题意得：，
则，
所以，
所以，不合题意，舍去．
答：每套型投影设备年平均下降率为；
设型投影设备可购买套，则型投影设备可购买套，
依题意得：，
整理，得，
解得，
即型投影设备最多可购买套．

【解析】该每套型投影设备年平均下降率，则第一次降价后的单价是原价的，第二次降价后的单价是原价的，根据题意列方程解答即可．
设型投影设备可购买套，则型投影设备可购买套，根据采购专项经费总计不超过万元列出不等式并解答；
本题考查了一元一次不等式的应用和一元二次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找到题中的等量关系，列出方程或不等式，解答即可得到答案．
 

24.【答案】证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：连接，如图所示：
是的直径，
，
是的中点，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
，，
∽，
，
，
．

【解析】连接，易证，由等腰三角形的性质得，，推出，则，即可得出结论；
连接，则，求出，，，证明∽，得出，求出，由即可得出结果．
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：将点 ，代入，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
，，
故答案为：，；
 轴，，
，
，，
 ，
，，
直线  的解析式为 ，
设点 ，则 ，
，
，，






，
，
当  时，四边形  的面积的最大值是 ，
此时点 ；
存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
，
，
，，
，
．
同理可得：，
，
在直线  上存在满足条件的 ，
设 ，
，， ，
，，，
以 ，， 为顶点的三角形与相似，
当∽时，
，
，
，
；
当∽时，
，
，
，
；
综上所述：点坐标为或．
将点 ，代入，即可求解析式；
设点 ，则 ，，当  时，四边形  的面积的最大值是 ，此时点 ；
求出，则，设 且 ，，，分两种情况讨论：当∽ 时，；当∽时，．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
 

26.【答案】解：结论：，理由：
如图，延长交于点，

由题意得：≌．
，．
又，
，
，
．

如图，

当时，，
则，
即；
当时，，
，
即；
综上所述，的度数为或；

如图，

由题意得矩形A.设，则，
在中，，，
，，
．
，，
，

，
．
，
∽，
，
，
解得，即，
平移的距离是．

【解析】有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形如图，得，≌，推出，，进而可得的大小．
分两种情形讨论当时，当时，根据旋转的性质得出结论．
求平移的距离是的长度．在矩形中，，只要求出的长度就行．用∽得出对应线段成比例，即可得到的大小．
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．