人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案，共7页。
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
[研读]“五点法”作图中的“五点”是指函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数y＝sin x的图象与y轴只有一个交点．( √ )
(2)正弦曲线和余弦曲线有无数个交点．( √ )
(3)将余弦曲线向右平移 eq \f(π,2) 个单位长度就得到正弦曲线.( √ )
(4)当x∈R时，函数y＝sin x的图象与函数y＝cs x 的图象的形状完全一致．( √ )
【解析】 根据正弦函数和余弦函数的图象可知，以上说法都正确．
eq \(\s\up7(),\s\d5( “五点法”作图))
eq \a\vs4\al(例1) 用“五点法”作出函数y＝sin x＋2，x∈[0，2π]的简图．
解：列表：
在坐标系中描出五点：(0，2)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)) ，(π，2)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，1)) ，(2π，2)，
用光滑的曲线连接五点，得到y＝sin x＋2，x∈[0，2π]的图象，如图所示．
活学活用
用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①y＞1；②y＜1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
解： 列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图，
(1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y＞1，在直线y＝1下方部分时y＜1，所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3).
[规律方法]
用“五点法”作函数y＝A sin x＋b(A≠0)或y＝A cs x＋b(A≠0)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2π)) 上的简图的步骤如下：
(1)列表：
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，y2)) ，(π，y3)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，y4)) ，(2π，y5)，这里的yi(i＝1，2，3，4，5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
eq \(\s\up7(),\s\d5( 正弦、余弦函数图象的应用))
eq \a\vs4\al(例2) 利用正弦函数的图象，求满足sin x≥ eq \f(1,2) 的x的集合．
解：作出正弦函数y＝sin x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2π)) 的图象，如图所示，由图象可以得到在[0，2π]上满足条件的x的集合为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))) ，所以满足条件的x的集合为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ)) ，k∈Z．
活学活用
在(0，2π)内使sin x＞|cs x|成立的x的取值范围是( A )

A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))
【解析】 ∵sin x＞|cs x|≥0，∴sin x＞0，∴x∈(0，π).在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cs x|，x∈(0，π)的图象，如图．
观察图象易得使sin x＞|cs x|成立的x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) ，故选A.
eq \a\vs4\al(例3) 函数y＝lg2(2sin x＋1)的定义域为__ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ－ eq \f(1,2) .结合正弦曲线，如图所示，可知函数y＝lg2(2sin x＋1)的定义域为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπ0得－4