高中数学5.4 三角函数的图象与性质学案

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知识点 正切函数y＝tan x的性质与图象
[研读]正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是单调递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)正切函数的定义域和值域都是R．( × )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( × )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( √ )
(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( × )
【解析】 (1)正切函数的定义域是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) ，值域为R．
(2)正切函数在每一个区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)) (k∈Z)上都单调递增，但在整个定义域上不单调．
(3)由图象可知，正切函数在定义域内无最大值和最小值．
(4)正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形．
eq \(\s\up7(),\s\d5( 正切函数的定义域与值域))
eq \a\vs4\al(例1) (1)函数y＝ eq \f(1,tan x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0)) 的值域是( B )

A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
【解析】 因为－ eq \f(π,4) ＜x＜ eq \f(π,4) 且x≠0，所以－1＜tan x＜1且tan x≠0，
所以 eq \f(1,tan x) ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.
(2)求下列函数的定义域．
①y＝ eq \f(1,1＋tan x) ；②y＝lg ( eq \r(3) －tan x).
解：①要使函数y＝ eq \f(1,1＋tan x) 有意义，需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)（k∈Z），))
所以该函数的定义域为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ－\f(π,4)，x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) .
②因为 eq \r(3) －tan x>0，所以tan x< eq \r(3) .
又因为tan x＝ eq \r(3) 时，x＝ eq \f(π,3) ＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－ eq \f(π,2) ＜x＜kπ＋ eq \f(π,3) (k∈Z)，
所以该函数的定义域是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)＜x＜kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) .
活学活用
1．函数y＝tan (cs x)的值域是( C )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
【解析】 ∵－1≤cs x≤1，且函数y＝tan x在[－1，1]上单调递增，∴tan (－1)≤tan x≤tan 1，即－tan 1≤tan x≤tan 1.
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(π,4))) ；(2)y＝ln (tan x).
解：(1)由6x＋ eq \f(π,4) ≠kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，得x≠ eq \f(kπ,6) ＋ eq \f(π,24) (k∈Z)，
故该函数的定义域为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R，x≠\f(kπ,6)＋\f(π,24)，k∈Z)))) .
(2)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tan x>0，))
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,kπ