高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第三课时学案

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第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式[课程目标] 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 知识点　二倍角的正弦、余弦和正切公式 名称公式简记符号使用条件二倍角的正弦公式sin 2α＝__2sin__αcos__α__S2αα是任意角二倍角的余弦公式cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α－1__＝__1－2sin2α__C2αα是任意角二倍角的正切公式tan2α＝____T2αα≠kπ＋且α≠＋(k∈Z)　　[研读]在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α，即得二倍角的正弦、余弦、正切公式．判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．(　√　)(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　√　)(3)对任意角α，总有tan 2α＝.(　×　)(4)sin2－cos2＝.(　×　)【解析】(1)二倍角的正弦、余弦公式中，角的取值范围是任意实数．(2)取α＝kπ(k∈Z)，则等式成立．(3)在二倍角的正切公式中，α≠kπ＋且α≠＋(k∈Z). (4)sin2－cos2＝－＝－cos＝－. 求下列各式的值．(1)2cos2930°－1；(2)；(3)2sincos cos .解：(1)2cos2930°－1＝cos (2×930°)＝cos (5×360°＋60°)＝cos 60°＝.(2)＝tan(2×75°)＝tan (180°－30°)＝－tan 30°＝－.(3)2sin cos cos ＝sin cos ＝sin cos ＝sin ＝sin ＝. 活学活用求下列各式的值．(1)sin sin ；(2)cos275°－cos215°；(3).解：(1)sinsin ＝sin sin ＝sin cos ＝sin ＝sin ＝.(2)cos275°－cos215°＝cos2(90°－15°)－cos215°＝sin215°－cos215°＝－cos(2×15°)＝－cos 30°＝－.(3)＝×＝tan(2×255°)＝tan 510°＝tan (360°＋150°)＝tan 150°＝－. 化简：.解：原式＝＝＝＝. 活学活用化简：(1)－；(2).解：(1)原式＝＝＝tan2θ.(2)原式＝＝＝＝＝1.[规律方法](1)化简三角函数式的常用方法：①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次．(2)化简三角函数式的常用技巧：①特殊角的三角函数与特殊值的互化；②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用；④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．已知cos ＝，≤α<，求cos 2α和sin 2α的值．解：因为≤α<，所以≤α＋<，π≤2α<3π.又因为cos ＝>0，所以sin ＝－＝－，所以cos2α＝sin ＝2sin cos ＝2××＝－，sin 2α＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×＝.活学活用已知sin sin ＝，θ∈，求tan 4θ的值.解：因为sin sin ＝sin ·sin ＝sin cos ＝sin ＝，所以cos 2θ＝.因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，则sin 2θ＝，所以tan 2θ＝＝，所以tan 4θ＝＝＝－4.[规律方法]解决给值求值问题的方法：寻找已知式与未知式之间的联系；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．计算cos275°－sin275°等于(　C　)A．    B．C．－    D．【解析】cos275°－sin275°＝cos150°＝－.2．cos sin  等于(　A　)A．    B．C．    D． 【解析】 cos sin  ＝×2cos sin  ＝sin  ＝sin  ＝ .3．的值是(　D　)A．sin 2    B．－cos 2C．－sin 2    D．－cos 2 【解析】 原式＝＝＝－cos2.4．＝____．【解析】＝＝3tan (2×15°)＝3tan 30°＝.5．已知函数f(x)＝2cos ，x∈R．(1)求f(π)的值；(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．解：(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2×＝－.(2)因为f＝2cos ＝－2sin α＝，所以sin α＝－.又α∈，所以cos α＝＝＝，所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，所以f(2α)＝2cos＝2cos 2αcos ＋2sin 2αsin ＝2××＋2××＝.