人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案，共12页。
知识点一 常见的函数模型
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
用函数模型解应用题的四个步骤．
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
eq \a\vs4\al(【思辨】) 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有数据完全符合该函数模型．( × )
(2)利用函数模型求实际问题的最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( √ )
(3)用函数模型预测的结果必须和实际结果相符合.( √ )
(4)数据拟合时，得到的函数必须要进行检验．( √ )
【解析】 (1)在选择实际问题的函数模型时，允许少量数据不符合该函数模型．
eq \(\s\up7(),\s\d5( （见学生用书P69）))
eq \(\s\up7(),\s\d5( 指数函数模型))
eq \a\vs4\al(例1) 某城市2020年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算经过多少年以后，该城市人口总数将达到120万人(精确到1年).
(参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301，lg 1.012≈0.005)
解：(1)2020年底人口总数为100万人，
经过1年，2021年底人口总数为
100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，
经过2年，2022年底人口总数为
100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝
100×(1＋1.2%)2(万人)，
经过3年，2023年底人口总数为
100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝
100×(1＋1.2%)3(万人)，
……
所以经过x年后，该城市人口总数为
100×(1＋1.2%)x(万人)，
所以y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为
100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人).
(3)由题意得100×(1＋1.2%)x＝120，
即lg[100×(1＋1.2%)x]＝lg 120，
整理得，2＋x lg 1.012＝2＋lg 1.2，
解得x≈16.
所以经过16年以后，该城市人口总数将达到120万人．
[规律方法]
有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可用公式y＝N(1＋p)x来表示．解决平均增长率的问题，常用到这个函数模型．
活学活用
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数解析式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
解：(1)当t∈[0，1]时，函数的解析式为y＝kt.
将M(1，4)代入，得k＝4，所以y＝4t；
当t∈(1，＋∞)时，因为函数的解析式为y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(t－a) .
将(3，1)代入，得a＝3，所以y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(t－3) .
综上，y＝f(t)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t>1.))
(2)当0≤t≤1时，
由f(t)≥0.25得4t≥0.25，得 eq \f(1,16) ≤t≤1；
当t>1时，
由f(t)≥0.25得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(t－3) ≥0.25，解得1