2022届安徽省芜湖一中、安师大附中等皖江名校高三5月最后一卷理科数学试题含解析

  姓名             座位号           

芜湖市第一中学，安师大附中、芜湖第十二中学，安师大附属外国语学校、芜湖市第三中学

皖江名校高三5月最后一卷

（在此卷上答题无效）

数学（理科）

本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项；

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则下列说法正确的是（    ）

A．     B．              C．          D．

2．若复数，（i为虚数单位），则（    ）

A．                 B．              C．i                    D．

3．已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为（    ）

A．                B．14                   C．                 D．10

4．已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件       C．充要条件             D．既不充分也不必要条件

5．已知双曲线C的焦距为4，则C的渐近线方程为（    ）

A．          B．         C．         D．

6．在北京冬奥会期间，云顶滑雪公园的“冰嫩墩”凭借着“‘冰嫩墩’蹦迪‘冰墩墩’扫雪”等词条迅速出舞动肢体，做出各种可爱的造型，活跃现场气氮．云顶滑雪公园设置了3个“结束区”，共安排了甲、乙、丙、丁4名“冰墩墩”表演人员，每个“结束区”至少有1个“冰墩墩”表演，则可能的安排方式种数为（    ）

A．18                 B．36                   C．72                   D．576

7．正方体中，点M在棱上，过点C作平面的平行平面α，记平面α与平面的交线为l，则与l所成角的大小为（    ）

A．                 B．                  C．                  D．

8．已知，，，则（    ）

A．         B．          C．          D．

9．如图，在平面直角坐标系中，阿基米德曲线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，……，按这样的规律继续下去．则以下命题中，正确的特称命题是（    ）

A．对于任意正整数n，           B．存在正整数n，

C．存在正整数n，，为有理数             D．对于任意正整数n，为无理数

10．已知函数，以下结论错误的是（    ）

A．π是的一个周期                        B．在区间单调递减

C．是偶函数                        D．在区间恰有两个零点

11．一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为2π的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（    ）

A．             B．             C．              D．

12．已知函数，若存在零点，且满足，则（    ）

A．          B．              C．            D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，满足：，，则            ．

14．已知等差数列和公比的等比数列满足，，，则            ．

15．某校年度排球赛中，先进行小组赛，每组胜出的队伍进入决赛争夺冠军。小组赛规则为；每小组三支球队，首先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰出局，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛．若A，B，C三个班级的球队分在同一个小组，每局比赛是相互独立的且不会产生平局，A队战胜B队的概率为0.3，B队战胜C队的概率为0.5，C队战胜A队的概率为0.6，则A队进入决赛的概率为            （保留分数形式）．

16．如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，，，，，，则三棱锥外接球表面积为            ．

二、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．

（1）求∠C的大小；

（2）若△ABC的面积，求角A的最大值．

18．（12分）

某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：

用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．

（1）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；

（2）从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以表示这2人中使用AI作业的人数，求的分布列和数学期望；

（3）从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“”表示该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）

19．（12分）

如图，圆锥PO的母线长为，△ABC是⊙O的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．

（1）证明：；

（2）设点Q满足，其中，且二面角O-QB-C的大小C为，求的值．

20．（12分）

已知抛物线E：，点在抛物线E上．

（1）求抛物线E的准线方程；

（2）过点的直线l与抛物线E交于A，B两点，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N，记直线QM，QN的斜率分别为，，求证：为定值．

21．（12分）

已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且，证明．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．

（1）求C与坐标轴交点的直角坐标；

（2）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由

23．（10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）当，，求不等式的解集；

（2）当时，证明．

理科数学参考答案

一、选择题

1．【解析】

由，故排除选项A；由，，故排除选项B；由，，故，排除选项C；由，，故正确选项为D．

2．【解析】

（方法一）．故正确选项为C．

（方法二）．故正确选项为C．

3．【解析】

解得，，，由图可知，目标函数在点处取得最大值14．故选B．

4．【解析】

若，满足，但，故“”是“”的不充分条件；若，满足，但，故“”是“”的不必要条件．故正确选项为D．

5．【解析】

由题，，由，且，得，故C的渐近线方程为，故正确选项为A．

6．【解析】

先分3组，有种分组的方案；再分配，有种分配的方案，则可能的安排方式种数为，故正确选项为B．

7．【解析】

因为平面平面α，平面平面，平面平面，则，易证平面，故，所以即与l所成角的大小为，故正确选项为D．

8．【解析】

方法一：

由题，，，，为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，由图可知，．

方法二：

设函数，易知在R上递增，

，，即，由零点存在定理可知．；

设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知，；

设函数，易知在上递减，，，因为，由函数单调性可知，，即，故正确选项为A．

9．【解析】

选项A，D的命题为全称命题，故排除由可知，为奇数，

因为2022为偶数，故排除选项B；当，易知，故正确选项为C．

10．【解析】

，故选项A正确；

当，，

，

则在上递减，在上递增，故选项B错误；

又，故是偶函数，选项C正确；

又当，．即在区间无零点，因为在上单调递减，且，，由零点存在定理可知在上有且仅有一个零点，同理可证在上有且仅有一个零点，综上，在区间恰有两个零点，故选项D正确．

11．【解析】

当液面倾斜至如图所示位置时，设，，因为圆柱底面积为π，故液体体积为，解得，即，，故，所以，，即，，离心率，即树N圆离心率的取值范围是，故选B．

12．【解析】

易知图象过定点．因为是奇函数，所以图象关于点中心对称．又因为存在零点使，故是三次函数，．，若，则有且仅有满足，不合题意：若，，则，不合题意；若，，则，不合题意；故，排除选项B．的解为，，即，若，，在上单调递减，，因为，故，由题意知，矛盾；若，，则在上单调递增，在，上单调递减，因为零点，所以，即，故排除选项C；由单调性可知，，即，故排除选项D．又因为且，所以，故正确选项为A．

二、填空题

13．    14．1409    15．    16．14π

13．【解析】

由得，即，∴．

14．【解析】

设公差为d，由题可知，，，，因为，解得，

所以．

15．【解析】

当第一局A，B两队比赛，A队进入决赛的概率为，

当第一局A，C两队比赛，A队进入决赛的概率为，

当第一局B，C两队比赛，A队进入决赛的概率为，

综上，A队进入决赛的概率为．

16．【解析】

由题意可知，，，，，在△BCF中，，则，因为，所以，在三棱锥P-ABC外接球的球心为O，，，记PA中点为O，，即三棱锥P-ABC外接球的球心为点O，半径，外接球表面积为14π．

三、解答题

17．【解析】

（1）由条件得，

整理得，

即，因为，所以．

（2）因为，所以△ABC的面积，

即，

由正弦定理，得，

故，因为，解得，即，

故A的最大值为．

18．【解析】

（1）在两所学校被调查的200名学生中，

对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，

所以估计从两校高一学生中随机抽取1人．

该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为

（2）依题意，，1，2，

且，，，

所以

故

（3）

易知，，

，．故

19．【解析】

（1）∵，，，

∴

∵平面PAC⊥平面PBC且平面PACO平面，平面PBC，，

∴PB⊥平面PAC，又平面PAC，

∴，

∴，

∴，

∴△ABC是正三角形，，

∵，

∴；

（2）在平面ABC内作交BC于M，以O为坐标原点，OM，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，

易知，，

所以，，，，

，，

设平面OBC的法向量，

依题意，即，

不妨令，得，

易知平面OQB的法向量，

由可知，

即，解得．

20．【解析】

（1）将代入E：，解得，

E：的准线方程为；

（2）设，，直线l：，，，

联立，整理得，

由题意，，即或，

且，，

因为P，A，M三点共线，由，整理得，

同理得，

21．【解析】

（1）显然，函数的定义域为，且，

①若，显然有单调递增．

②若，令，有，

易知，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

③若，则，单调递增，

④若，令，有，

易知，

当，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

综上所述，

若，的增区间为，减区间为；

若，的增区间为；

若，的增区间为，，

减区间为．

（2）由（1）知，且

，，

（方法一）

记其中，

则，显然有，

所以时，单调递增，，单调递减，

故．

（方法二）

令

则

由，证毕！

（方法三）

．

设，，

则，

当，，单调递增；

当，，单调递减；

故，即，

所以，

故得证．

22．【解析】

（1）令，解得或，

当，，交点，

当，，交点，

令，解得或，

当，，交点，

当，，交点

即C与坐标轴交点的直角坐标分别为，，；

（2）设圆M：，

由，

解得，

即过曲线C与坐标轴交点的圆的方程为．

由，，得

所求圆的极坐标方程为．

23．【解析】

（1）当，，即，

的解集为；

（2）当，

当且仅当与异号，且，

即时，等号成立．