2022届福建省宁德一中（宁德市）高三5月份质量检测数学试题含解析

2022届福建省宁德市普通高中高三5月份质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=（       ）

A．[-1，4) B．[-1，2) C．(-2，-1) D．∅

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求集合M，再根据集合的交运算求.

【详解】由题设，，而，

所以.

故选：A

2．若，则的值为（       ）

A． B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】由题知，进而根据求解即可.

【详解】解：因为，所以，

故设，则，

所以.

故选：D

3．函数的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据各选项函数性质直接判断.

【详解】A函数为递减的，错误；C函数的值域大于等于0，错误；D函数为二次函数，错误，只有B符合.

故选：B.

4．函数的周期为2，下列说法正确的是（       ）

A．

B．是奇函数

C．f（x）在[，]上单调递增

D．的图像关于直线对称

【答案】C

【分析】分别利用正弦函数周期公式，余弦函数的奇偶性，正弦函数的单调性，正弦函数的对称轴的求法，依次判断即可.

【详解】由可知，,由此可知选项不正确；

由可知，，

即是偶函数，由此可知选项不正确；

由，解得,

当时，区间上为单调递增，由此可知选项正确；

由，解得，

则直线不是的对称轴，由此可知选项不正确；

故选：.

5．已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．9

【答案】C

【分析】先根据向量共线可知，表达出和的关系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即可.

【详解】解：由题意得：

点E是的中线上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知：

设

当且仅当，即时取等号，故的最小值为.

故选：C

6．从0，1，2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”.则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题得事件与事件互斥，进而，再根据题意，依次讨论求解即可.

【详解】解：由题知，从10个数中随机的抽取3个数，共有种可能情况，

对于A选项，“恰好抽的是2，4，6”和“恰好抽取的是6，7，8”为互斥事件，，故A选项错误；

对于B选项，，故B选项错误；

对于C选项，，故C选项错误；

对于D选项，由于，故由条件概率公式得，故D选项正确.

故选：D

7．贾宪是我国北宋著名的数学家，其创制的数字图式（如图）又称“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》所引用．维空间中的几何元素与之有巧妙的联系，使我们从现实空间进入了虚拟空间．例如，1维最简几何图形线段它有2个0维的端点，1个1维的线段：2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点，3个1维的线段，1个2维的三角形区域：．如下表所示．利用贾宪（       ）

A．120 B．165 C．219 D．240

【答案】B

【分析】找出1维线段数随着的变化规律，然后求和即可.

【详解】1维线段数为可观察出规律为，则维最简几何图形中，1维线段数，所以.

故选：B

8．若对恒成立，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．0

【答案】A

【分析】令，进而结合题意得有最大值，进而利用导数求得，进而得，再构造函数，求其最小值即可得答案.

【详解】解：令，则，

所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，无最小值，不满足题意；

当时，由得，由得，故函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，，

所以，，

故令，则得，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以，

所以的最小值为.

故选：A

二、多选题

9．某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．图中的

B．成绩不低于80分的职工约80人

C．200名职工的平均成绩是80分

D．若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A肯定能受到表扬

【答案】AB

【分析】根据频率分布直方图的性质特点进行分析计算可得答案.

【详解】对于A，，得，故A正确；

对于B，成绩不低于80分的职工人数为，故B正确；

对于C，平均成绩为，故C错误；

第分位数为，故D错误.

故选：AB.

10．数列{}中，设.若存在最大值，则可以是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据数列的单调性即可判断.

【详解】对于A， ，

当n趋于无穷大时， 也趋于无穷大，

故不存在最大值；

对于B， ，

当 为偶数时， ，当为奇数时， ，

故 的最大值为1；

对于C， ，

当 时， ，∴   时 是递增的数列，不存在最大值；

对于D， 即当 时， ， ，

即 时， ，所以 是递减的数列，

最大值为 ；

故选：BD.

11．已知正方体ABCD-的棱长为2，F是正方形的中心，则（       ）

A．三棱锥F-的外接球表面积为4π

B．平面

C．平面，且

D．若点E为BC中点，则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半.

【答案】BCD

【分析】可得的中点到三棱锥F-的各顶点距离相等，即可求出外接球半径，可判断A，可由面面平行得到线面平行，可判断B，由正方体的性质可判断C，通过转换顶点确定两个三棱锥底面与高的关系可判断D.

【详解】对于A，在中，设为的中点，则有，由中位线定理得，故三棱锥F-的外接球半径为，表面积为，故A错误；

对于B，可得，可得平面，故B正确；

对于C，平面即平面，在正方体ABCD-中，,可得平面，又，故C正确；

对于D，三棱锥即三棱锥，三棱锥即三棱锥，在正方体中，点E为BC中点，三棱锥和三棱锥底面积相等，三棱锥的高是三棱锥的一半，所以三棱锥的体积是三棱锥体积的一半，故D正确.

故选：BCD.

12．已知椭圆C：，焦点（-c，0），，下顶点为B．过点的直线l与曲线C在第四象限交于点M，且与圆相切，若，则下列结论正确的是（       ）

A．椭圆C上不存在点Q，使得

B．圆A与椭圆C没有公共点

C．当时，椭圆的短轴长为2

D．

【答案】AC

【分析】设出直线l方程，利用直线l圆A相切可求出直线l的斜率，结合题中条件可确定之间的关系，然后就能判断选项的对错.

【详解】如下图，设直线l方程为， 圆心A到直线l距离，解得，则，且，得，根据椭圆定义可得，，可得，又，故A正确；圆心A到椭圆左顶点的距离，圆A与椭圆C有公共点，故B错误；当时，，椭圆的短轴长为2，故C正确；，，所以不垂直，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．若过点的双曲线的渐近线为，则该双曲线的标准方程是___________.

【答案】

【分析】由题设双曲线方程为，进而待定系数求解即可.

【详解】解：因为双曲线的渐近线为，

故设其方程为，

因为点在双曲线上，

所以，，即所求方程为.

故答案为：

14．在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分∠AOC，B（，），则点C的横坐标为___________.

【答案】

【分析】作图，用三角函数倍角公式即可求解.

【详解】

由题意可知圆O的半径为 ，

设 ，

由题意可知 ，∴点C的横坐标为 ；

故答案为： .

15．已知是定义在R上的偶函数，当时，.若的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.

【答案】2

【分析】根据偶函数的对称性知在、上各有一个零点且，讨论a值结合导数研究的零点情况，即可得结果.

【详解】由偶函数的对称性知：在、上各有一个零点且，

所以，则或，

当时，在上，则，

所以在上递增，，故无零点，不合要求；

当时，在上，则，

所以在上递减，在上递增，

则且，，故上有一个零点，符合要求；

综上，.

故答案为：2

四、双空题

16．如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥SO截去一小圆锥作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以O为顶点，以圆为底面的圆锥.若圆O半径为3，，不计损耗，当圆锥的体积最大时，圆的半径为___________，此时，去掉盖子的几何体的表面积为___________.

【答案】     2    

【分析】利用比例求解上底面半径与圆台高的关系，写出圆锥的体积的表达式，通过导数分析其单调性，即可求解体积最大时的半径值，再运用面积公式即可求解表面积．

【详解】设圆的半径为，， ，则，得

圆锥的体积为

由得

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减

则当，即时，取最大值；

圆台的母线长为

圆台的侧面积为

下底面的面积为，

被挖的圆锥的侧面积为

故去掉盖子的几何体的表面积为

故答案为：2，

五、解答题

17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

(1)求A；

(2)若，D是BC上的点，AD平分，求AD的长

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用正弦定理边化角即可；

（2）首先运用余弦定理求出b，根据角平分线的特点运用面积相等的方法即可求解.

【详解】(1)由正弦定理可得 ，

∵，

∴ ，

可得...

∵，∴；

(2)依题设，设，

由余弦定理得 ，

由题设知：   即，

又 ，

由 可得：

，

所以 ，

解得，即；

综上，，.

18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为线段上的点，且

(1)证明：；

(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成的角.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明平面得，再根据几何关系得，进而证明平面即可证明结论；

（2）根据题意，结合（1）的证明，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；

【详解】(1)证明：因为四边形为矩形，所以

又，

所以平面．

所以

又

所以

因为

所以平面

则.

(2)解法一：由（1）得，平面，且四边形为矩形

如图建立空间直角坐标系

易知，平面 的一个法向量为               

点在线段上，设，

则，，

设平面的一个法向量为

，即

令，得，则

因为二面角的余弦值为，

所以，即，解得或（舍去）

所以，，又

设直线与平面所成的角为θ，

.

所以直线与平面所成的角大小为.

解法二：由（1）得，平面，则平面

所以，又

所以即为二面角的平面角，即

因为

所以.即为的三等分点，

取中点，连接，

易知为等腰直角三角形

所以

又平面，所以

因为，

所以平面，

过作

则即为直线与平面所成角，

在中，，

所以，

直线与平面所成角大小为.

19．设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）先根据等比数列通项公式写出，然后根据成等差可以求出，即可求出数列的通项公式.

（2）先根据可知将n分奇偶性进行讨论，然后根据数列单调性求出取值范围即可知的最小值.

【详解】(1)解：由题意得：

设数列的公比为．由，得

，即

成等差数列

，即，解得，或（舍去）

．

(2)由，当时，，两式相减得，，对也成立

所以

设

当n为奇数时，可递减数列，所以

当n为偶数时，为递增数列，所以

所以的最小值为4．

20．某地为调查国家提出的乡村振兴战略目标实施情况，随机抽查了100件某乡村企业生产的产品，经检验，其中一等品80件，二等品15件，次品5件，若销售一件产品，一等品利润为30元，二等品利润为20元，次品直接销毁，亏损40元.

(1)用频率估计概率，求从中随机抽取一件产品的利润的期望值.

(2)根据统计，由该乡村企业的产量y（万只）与月份编号x（记年份2021年10月，2021年11月，…分别为，…，依此类推）的散点图，得到如下判断：产量y（万只）与月份编号x可近似满足关系式（c，b为大于0的常数），相关统计量的值如下表所示：

根据所给统计量，求y关于x的回归方程；并估计该企业今年6月份的利润为多少万元（估算取 ，精确到0.1）？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为

【答案】(1)25元；

(2) ，万元.

【分析】（1）用频率作为概率，按照数学期望的定义计算即可；

（2）对题目所提供的数学模型取对数，按照求线性回归方程的方法计算相应的参数即可.

【详解】(1)设一件产品的利润为，由题意可得：

，

所以从中随机抽取一件利润的期望值为25元.

(2)因为，

所以，.

令，得，且

依题设数据可得

根据所给统计量及最小二乘估计公式有：

，

所以 ，即，

所以 ，

所求y关于x的回归方程为 ，

因为今年6月份即，

所以 （万只），

估计该企业今年6月份的利润约为 万.

21．已知抛物线C：上的一点M（，4）到C的焦点F的距离为5.

(1)求p的值；

(2)若，点A，B在抛物线C上，且，N为垂足，当|MN|最大时，求直线AB的方程.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）根据抛物线定义，结合点在抛物线上求p值.

（2）由题设可得，根据点在抛物线上设A、B坐标，法一：设直线AB联立抛物线，由及韦达定理求得，进而确定直线AB所过的定点坐标，根据|MN|最大确定m值，即得方程；法二：及得到，应用点斜式写出直线AB判断定点，由|MN|最大写出直线方程；

【详解】(1)把M(x0,4)代入抛物线C得则，

由得：，

所以，解得或.

(2)当时，故舍去；当时，则M(4，4)且，

设，

法一：直线AB为，与抛物线C联立得，则，

由，得.

由且，故，即，

所以，即

从而直线AB为，即直线AB过定点Q(8,-4).

又，当|MN|最大时即，

所以，直线AB为

法二： .

由，得.

由且，故，即①，

直线AB为，整理得，

将①代入，即直线AB过定点Q(8,-4),

又，当|MN|最大时即，

所以，直线AB为.

22．已知函数

(1)若，判断f（x）在（，0）的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，求a的取值范围.

①f（x）在[0，]上有且只有2个零点；

②当时，.

【答案】(1)f（x）在（，0）上单调递增

(2)选择①：；选择②：.

【分析】（1）求导，通过判定导函数在（，0）上的正负确定单调性；

（2）选择①：易得，则因此f（x）在上有且只有1个零点，求导通过讨论找出符合条件的a的取值范围；

选择②：构造函数，此时，可通过端点效应或隐零点等思路求a的取值范围.

【详解】(1)当时，

.

当时，，

所以，

又，

故，从而，

所以，f（x）在（，0）上单调递增；

(2)选择①

由函数，可知

因此f（x）在上有且只有1个零点.

，令，

则在[0.]上恒成立.

即在[0，]上单调递，

当时，，f（x）在[0.]上单调递增.

则f（x）在（0，]上无零点，不合题意，舍去，

当时，，在[0，]上单调递减，

则在（0，]上无零点，不合题意，舍去，

当时，

则在（0，）上只有1个零点，设为.

且当时，；当时，

所以当时，在（0，）上单调递减，在（x0，）上单调递增，

又

因此只需即可，即

缩上所述       

选择②

构造函数

此时

则

易知

令

令，

令，则

所以在（0，）上单调递减..

又

在（0，）上存在唯一实数使得，且满足当时，

当时.

即p（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，）上单调递减.

又，

所以在上存在一实数使得

且满足当时，；当时，

即在（0，x2）上单调递增，在（，）上单调递减，

当时，即，函数在[0，]上单调递增，又，因此恒成立，符合题意

当，即，在上必存在实数，使得当时，，又，因此在上存在实数不合题意，舍去

综上所述.

【点睛】(1)通过导数确定函数单调区间的，如果无法直接解不等式，有时可以根据函数特点直接判断正负；

(2)零点个数问题，首选方法是分离画图确定参数范围，若不能分离画图的，可通过导数确定函数的单调性极值最值等进行分类讨论，找到符合条件的参数范围；

(2)恒成立问题，可通过参变分离求最值的方法确定参数范围，若不能分离的，端点值为0的可通过端点效应的方法或者隐零点的方法求最值，从而确定参数范围.