2022届安徽省合肥168中、巢湖一中等江淮名校高三下学期5月联考理科数学试题含解析

  绝密★启用前（全国卷）

江淮名校2022届高三下学期5月联考

理科数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合，则集合（    ）

A.    B.    C.    D.

2.复数（    ）

A.    B.1    C.    D.

3.已知是公差为2的等差数列，其前项和为，且，则（    ）

A.36    B.40    C.48    D.52

4.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

5.如图，实心正方体的棱长为2，其中上､下底面的中心分别为.若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.直线与轴的交点分别是与函数的图象交点分别是，其中，若是线段的三等分点，则（    ）

A.    B.1    C.    D.2

7.已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，离心率，过的直线与的两条渐近线的交点分别为为直角三角形，，则的方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

9.居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出，包括食品烟酒､衣着､居住､生活用品及服务､交通通信､教育文化娱乐､医疗保健以及其他用品及服务八大类.如图分别是我国2020年和2021年全国居民人均消费支出及构成的饼图，则下列结论错误的是（    ）

A.2021年全国居民人均食品烟酒消费支出比2020年增长约

B.2021年有三类全国居民人均焇费支出占人均消费支出的比重比2020年有所下降

C.2020年和2021年全国居民人均食品烟酒､居住两类消费支出之和占居民人均消费支出的比重都超过

D.2021年全国居民人均教育文化娱乐消费支出比2020年增加了567元

10.在自然界中，遍布着优美的几何曲线.曲线是一个四叶玫瑰线，在平面直角坐标系中把横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点，则（    ）

A.曲线有2条对称轴，曲线恰好经过3个整点

B.曲线有4条对称轴，曲线恰好经过3个整点

C.曲线有2条对称轴，曲线恰好经过5个整点

D.曲线有4条对称轴，曲线恰好经过5个整点

11.已知数列满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

12.正方体的棱长为2，正方形的心分别是，，且分别是棱上的动点（含端点），其中关于点对称，关于点对称，，则下列结论错误的是（    ）

A.若四点都在球上，则球表面积的最大值为

B.若四点都在球上，则球体积的最小值为

C.四面体的所有棱长都相等

D.直线与所成角的余弦值的取值范围是

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若满足约束条件则的最小值为__________.

14.已知向量满足（为非零的实数），设向量的夹角为，有下列四个命题.其中正确的命题有__________（填写所有正确结论的编号）.

①存在，使得

②不存在，使得

③当变化时，的最大值为1

④当变化时，的最小值为

15.如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时__________.秒

16.已知数列是公差不为0的等差数列，是公比不为1的等比数列，数列满足，且的前4项分别是，则__________.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

在锐角中，角所对的边分别为.

（1）求的值；

（2）点分别在边上，的面积是面积的2倍.求的最小值.

18.（12分）

如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，.

（1）证明：平面平面；

（2）设平面平面，若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.

19.（12分）

某围棋学校选拔参加围棋大赛选手的规则如下：

①每位参加者都要依次和四位大师进行四场比赛；②每场比赛参赛选手只有获胜和失败两种结果，若获胜，则该场比赛依次得1分，1分，1分，3分；若失败，则该场得0分；③四场比赛结束后，累计得分大于或等于5分，则成为围棋大赛选手；小于5分时，则不能成为围棋大赛选手.学生甲和四位大师进行比赛，获胜的概率依次为，且各场比赛相互之间没有影响.

（1）求学生甲成为围棋大赛选手的概率；

（2）设学生甲最后累计得分为，求的分布列和数学期望.

20.（12分）

已知是椭圆的左､右焦点，是的上顶点.到直线的距离为.

（1）求的方程；

（2）设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点与交于点，直线与分别交于两点，求证：.

21.（12分）

已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个不同零点，证明：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设与相交于两点，与轴相交于点，求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

理科数学解析版

1.【答案】C

【解析】，且，故选C.

2.【答案】B

【解析】，故选B.

3.【答案】B

【解析】由题意，，故选B.

4.【答案】B

【解析】，则，故选B.

5.【答案】D

【解析】剩余几何体的体积为，故选D.

6.【答案】C

【解析】直线与轴的交点分别是是线段的三等分点，则，即，解得

故选C.

7.【答案】D

【解析】函数在区间不存在极值点，

，且对任意的都成立，

，且，

，且，或，故选D.

8.【答案】B

【解析】双曲线的离心率的渐近线方程为：，两渐近线的夹角为，不妨设与直线垂直，垂足为的则故选B.

9.【答案】B

【解析】2021年全国居民人均食品烟洒消费支出比2020年增长为正确；

2021年有食品烟洒､居住两类全国居民人均消费支出占人均消费支出的比重比2020年下降了，B错误；

2020年和2021年全国居民人均食品烟洒､居住两类消费支出之和占居民人均消费支出的比重分别是，都超过，C正确；

2021年全国居民人均教育文化娱乐消费支出比2020年增加2599-2032=567元，D正确，故选B.

10.【答案】D

【解析】曲线关于轴，轴，四条直线对称，有四条对称轴.

如果，为整数，只能为，经检验曲线恰好经过五个整点，故选D.

11.【答案】D

【解析】由得，，

将代入上式，得，……，

所以数列为周期数列，且，

所以，故选D.

12.【答案】C

【解析】以线段的中点为坐标原点，如图建立直角坐标系，

其中轴，轴分别与平面，平面垂直，

不妨设，

，

，

根据条件可知是线段的中点，球的半径，球表面积当时，取最大值，选项A正确；当时，球的半径，最小，最小值为，

球体积的最小值为，选项B正确；

，当时，，当时，，选项错误；设直线与所成角，

选项D正确.

13.【答案】1

【解析】由约束条件画出可行域（如图所示的以为边界的阴影区域），

当直线过点时，取得最小值，最小值为1.

14.【答案】①③

【解析】由题意，则向量的夹角为如图，当时，四边形为菱形，，①正确；

当时，，即，②错误；

当变化时，向量的夹角的范围为的最大值为1，无最小值，③正确，④错误.

15.【答案】

【解析】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，

而与的离心率之比为，即，即，

在图③，

两式相减得：，即.

在图④中，，

由题意可知：，则，故（秒）.

16.【答案】

【解析】设数列的公差为的公比为.

由题意得

，

解得，或（舍）.

即，

17.【解析】（1）是锐角三角形，.

在中，，由正弦定理得，

.

，

.

（2）由（1）知，.

由题意得.

由余弦定理得，，

当且仅当时“”成立.

所以的最小值为.

18.【解析】（1）证明：，

在中，由余弦定理得：

，

，

.

平面平面.

是平面内两相交直线，平面.

平面，

平面，

平面平面.

（2）以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

，

设，

设平面的一个法向量为，则.

令，得

.

直线与平面所成角为，

，解得，或（舍），

.

平面的一个法向量为，

由于二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.

19.【解析】（1）用表示学生甲第场比赛获胜，用表示学生甲第场比赛失败，则与是对立事件.由题意得，

记“学生甲成为围棋大赛选手”为事件，

由于每次比赛及比赛结果都相互独立，

因此

，

所以学生甲成为围棋大赛选手的概率为.

（2）由题意可知随机变量可能的取值为.

，

，

.

因此随机变量的分布列为

所以.

20.【解析】（1）是的上顶点，点的坐标为.

点的坐标为直线的方程为，即.

到直线的距离为.

.

所以的方程为.

（2）直线与轴的交点为，设.

设直线，

则，

联立直线和曲线的方程，得方程组，消去得

则.

同理.

三点共线，，得，

同理.

.

21.【解析】（1）定义域为.

是区间上的增函数，

当时，，当时，，

在是减函数，在上增函数.

（2）函数的定义域为.

若，则没有零点，.

令，得.令，则.当.

时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减.

是的两个不同零点，是的两个不同零点.不妨设，则，.

因等价于，

所以只需证明，

即只证，

因，

所以只需证

令，则

是区间上的减函数，

当时，，即

所以.

22.【解析】（1）曲线的参数方程为

曲线的普通方程为.

直线的极坐标方程为，即，

直线的直角坐标方程为.

（2）的倾斜角为，参数方程为（为参数），

将代入的直角坐标方程，得.

整理得，此时.

设两点对应的参数分别为，则.

由的参数方程的几何意义可知，.

23.【解析】（1）当时，

当时，令，解得.

当时，不等式无解.

当时，令，解得.

因此，不等式的解集为，或.

（2）因为恒成立，所以.

因为

所以，解得，或.

所以实数的取值范围是.