2022届安徽省合肥168中、巢湖一中等江淮名校高三下学期5月联考文科数学试题含解析

  绝密★启用前（全国卷）

江淮名校2022届高三下学期5月联考

文科数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数满足，则在复平面内表示复数的点在（    ）

A.第一象限    B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

3.已知等差数列满足，则的公差为（    ）

A.    B.2    C.4    D.6

4.从中任取2个不同的数，则的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.如图，实心正方体的棱长为2，其中上､下底面的中心分别为.若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知函数则方程的解的个数是（    ）

A.0    B.1    C.2    D.3

8.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，离心率，过的直线与的两条渐近线的交点分别为为直角三角形，，则的方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

9.一个棱长为4的正方体截去一个直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱）后，剩余部分的三视图如图所示，则乘余部分的体积为（    ）

A.24    B.32    C.48    D.64

10.已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是（    ）

A.    B.

c.    D.

11.居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出，包括食品烟酒､衣着､居住､生活用品及服务､交通通信､教育文化娱乐､医疗保健以及其他用品及服务八大类.如图分别是我国2020年和2021年全国居民人均消费支出及构成的饼图，则下列结论错误的是（    ）

A.2021年全国居民人均食品烟酒消费支出比2020年增长约

B.2021年有三类全国居民人均焇费支出占人均消费支出的比重比2020年有所下降

C.2020年和2021年全国居民人均食品烟酒､居住两类消费支出之和占居民人均消费支出的比重都超过

D.2021年全国居民人均教育文化娱乐消费支出比2020年增加了567元

12.在自然界中，遍布着优美的几何曲线，如图，曲线是一个优美的几何曲线，它是一个四叶玫瑰线，在平面直角坐标系中把横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点，则（    ）

A.曲线有2条对称轴，曲线恰好经过4个整点

B.曲线有4条对称轴，曲线恰好经过4个整点

C.曲线有2条对称轴，曲线恰好经过5个整点

D.曲线有4条对称轴，曲线恰好经过5个整点

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量满足，则的取值范围为__________.

14.在中，.点分别在边上，的面积是面积的2倍.当时，的大小为__________.

15.若直线是曲线的切线，切点为，也是曲线的切线，切点为，则__________.

16.如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，已知与的离心率之比为.现一光线从右焦点发出，依次经与的反射，又回到了点，历时秒.将装置中的去掉，如图④，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；则__________.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第18~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

已知是等差数列，是等比数列，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和，并求不等式解的最大值.

18.（12分）

如图，四棱锥的底面是平行四边形，设平面与平面的交线为直线.

（1）证明：平面；

（2）若平面，证明：平面平面.

19.（12分）

某小区IT公司为了解该公司男女程序员对python语言的喜欢程度，随机选取了100名程序员进行抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）将列联表补充完整；

（2）根据表中的数据，是否有的把握认为男程序员和女序员在喜欢python语言方面有差异；

（3）已知在被调查的女程序员中有6名爱好电子游戏，这名6女程序员中恰有2名喜欢瑜伽，现在从这6名女程序员中随机抽取3人，求至多有1人喜欢瑜伽运动的概率.

附参考公式，参考数据：

20.（12分）

已知点，动点满足，记的轨迹为曲线.

（1）求的方程，并说明是什么曲线；

（2）设直线与轴的交点为，过的两条直线都不垂直于轴，与交于点，，与交于点，直线与分别交于两点，证明：.

21.（12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，且方程有两个不同的解，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设与相交于两点，与轴相交于点，求的值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

文科数学解析版

1.【答案】C

【解析】

.故选C.

2.【答案】A

【解析】，所以在复平面内表示复数的点在第一象限，故选A.

3.【答案】B

【解析】设公差为，由题意，，故选B.

4.【答案】B

【解析】从中任取2个不同的数，共有种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为4有种结果，所以所求概率为，故选B.

5.【答案】B

【解析】，则，故选B.

6.【答案】D

【解析】剩余几何体的体积为，故选D.

7.【答案】C

【解析】令，得，则函数零点的个数即函数与函数的图象的交点的个数.作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个.

8.【答案】B

【解析】双曲线的离心率的渐近线方程为：，两渐近线的夹角为，不妨设与直线垂直，垂足为，则.故选B.

9.【答案】C

【解析】由已知可知，该几何体的直观图如图所示，

其体积为，故选.

10.【答案】D

【解析】函数在区间上不存在极值点，

，且对任意的都成立，

，且，

，且，或.故选D.

11.【答案】B

【解析】2021年全国居民人均食品烟洒消费支出比2020年增长为正确；

2021年有食品烟洒､居住两类全国居民人均消费支出占人均消费支出的比重比2020年下降了，B错误；2020年和2021年全国居民人均食品烟酒､居住两类消费支出之和占居民人均消费支出的比重分别是

，都超过，C正确；

2021年全国居民人均教育文化娱乐消费支出比2020年增加2599-2032=567元，D正确，故选B.

12.【答案】D

【解析】曲线关于轴，轴，四条直线对称，有四条对称轴.

.如果，为整数，只能为，经检验曲线恰好经过五个整点，故选D.

13.【答案】

【解析】，所以的取值范围是.

14.【答案】

【解析】，又.

15.【答案】1

【解析】直线是曲线的切线，切点为，直线的方程是，即

直线是曲线的切线，切点为，直线的方程是，即.

所以，所以，

因为，所以.

16.【答案】

【解析】设，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，光速为，

而与的离心率之比为，即，即，

在图③中，，

两式相减得：，即.

在图④中，，

由题意可知：，则，故（秒）.

17.【解析】（1）设数列的公差为的公比为.

解得.

所以.

（2）由（1）知，

，

两式相减得，

，

（或）.

由得，.当时，；当时，

所以，所求是大值为4.

18.【解析】（1）因为四边形是平行四边形，

所以，

因为平面平面，

所以平面，

又因为平面平面平面，

所以，

因为平面平面，

所以平面.

（2）证明：，

在中，由余弦定理得：

，

平面平面.

是平面两相交直线，平面.

平面，

平面，

平面平面.

19.【解析】（1）列联表如下：

（2）由题意得.

所以有的把握认为男程序员和女程序员在喜欢python语言方面有差异.

（3）在这6名爱好电子游戏的女程序员中，用表示喜欢瑜伽运动的女程序员，表示不喜欢瑜伽的女程序员，.

从6名爱好电子游戏的女程序员中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间，

由20个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的.

用表示“3人中至多有1人喜欢瑜伽运动”这一事件，则，

事件是由16个基本事件组成的，因而，所以至多有1人喜欢瑜伽运动的概率为.

20.【解析】（1），

因为，

所以，

化简得：.

所以曲线的方程为，

是以点为圆心，半径为2的圆.

（2）直线与轴的交点为，设.

设直线，

则.

联立直线和曲线的方程，得方程组，消去得，

则.

同理

三点共线，，

，得，

同理.

，

21.【解析】（1）函数的定义域为.

.

当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减.

当时在单调递增.

当时，，若或，则；若，则.

所以在区间单调递增，在区间单调递减.

当时，，若或，则；若，则.

所以在单调递增，在单调递减.

综上所述，时，在单调递增，在单调递减.时，在单调递增.

时，在单调递增，在单调递减.时，在，单调递增，在单调递减.

（2）首先证明，令函数，

时，时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立.

方程有两个不同的解等价于函数有两个零点，

时，在单调递增，在单调递减.

由题意，应有，即

当时，，即，所以

，

所以函数在各有一个零点，方程有两个不同的解.

所以的取值范围为

22.【解析】（1）曲线的参数方程为

曲线的普通方程为.

直线的极坐标方程为，即，

直线的直角坐标方程为.

（2）的倾斜角为，参数方程为（为参数），

将代入的直角坐标方程，得.

整理得，此时.

设两点对应的参数分别为，则.

由的参数方程的几何意义可知，.

23.【解析】（1）当时，

当时，令，解得.

当时，不等式无解.

当时，令，解得.

因此，不等式的解集为，或.

（2）因为恒成立，所以.

因为

所以，解得，或.

所以实数的取值范围是.