2022届重庆市巴蜀中学校高三下学期高考适应性月考（九）数学试题含解析

2022届重庆市巴蜀中学校高三下学期高考适应性月考（九）数学试题

一、单选题

1．已知全集为，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意解得集合，，由集合补集运算得到，再由集合交集运算得到最后结果.

【详解】集合，解得，

，

，

由集合交集运算得到：.

故选：C.

2．已知a，，i是虚数单位，若与互为共轭复数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件可得，然后代入中化简计算即可

【详解】因为与互为共轭复数，

所以，

所以，

故选：D

3．已知三个不同的平面，，和两条不重合的直线，，则下列四个命题中正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】对于A选项，由线面平行的性质定理可知A的正误;对于B选项，构图举反例，可知B错误;对于C选项, 可举例说明, 如教室的墙角, 不妨设为东墙面, 为北墙面, 为地面, 满足已知, 从而可知C的正误;对于D选项，利用面面垂直的判定定理可知D的正误.

【详解】对于A,,则,错误,原因是不一定是经过直线的平面;故A错误

对于B,若，，,则错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否与一定垂直

对于C,若,则,错误,例如教室的墙角,不妨设为东墙面,为北墙面, 为地面,满足,但与相交,故C错误;

对于D,因为,由面面垂直的判定定理得:,故D正确.

故选: D

4．已知函数，向左移个单位所得函数为奇函数，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平移变换可得平移后的函数为，由函数为奇函数可得，从而可得出答案.

【详解】解：向左移个单位所得函数为，

因为函数为奇函数，

所以，则，

当时，取得最小值为.

故选：D.

5．已知：，分别交，轴于，两点，在圆：上运动，则面积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以为底边，则面积最大等价于点到距离最大，而点到距离最大值等于到的距离加半径，代面积公式即可求解

【详解】

如图所示，以为底边，则面积最大等价于点到距离最大，

而点到距离最大值等于到的距离加半径

到的距离，又圆的半径，

，，则

所以面积的最大值为

故选：C

6．已知函数，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，然后再比较的大小，再根据函数的单调性可得结果

【详解】的定义域为，

因为，

所以为偶函数，

所以，，

当时，，

因为，所以，

所以，，

所以，

所以在上单调递增，

因为在上单调递增，且，

所以，即，

因为在上为增函数，且，

所以，即，

所以，

所以，

即，

故选：A

7．已知，为平面的单位向量，且其夹角为，若，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的模的运算将原式化解，再利用基本不等式可得的最大值.

【详解】在等式两边平方得，，

所以，

得，当时，满足题意，

故选：B

8．设M是椭圆C：上位于第一象限内的一个动点，轴，N为垂足．当的面积最大时(O为坐标原点)，其内切圆的半径r等于(       )

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】设，根据二次函数求的最大值即可求的最大值，由此可求周长，根据即可求内切圆半径r．

【详解】设，

则，

，

，

，∴当时，，

，，，，

∴，

∴根据等面积法得：．

故选：A﹒

二、多选题

9．下列说法正确的是（       ）

A．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

B．事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小

C．方差和极差都是刻画一组数据离散程度的量

D．随机变量X服从二项分布，若，则

【答案】ACD

【分析】A选项，由定义可判断正确；

B选项，由特例可分析为错误命题；

C选项，由定义可判断正确；

D选项，由二项分布的计算公式可解得.

【详解】对于A，C选项，由定义可知正确；

对于B选项，事件A与事件B同时发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率小，比如 A，B 是相同的，且概率大于0的事件，那么A、B同时发生的概率就是P(A)，A、B恰有一个发生是一个不可能事件，概率是0，所以B选项错误；

对于D选项，因为，所以，，所以，所以D选项正确.

故选：ACD.

10．已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（       ）

A．是偶函数 B．

C．的图象关于点对称 D．

【答案】ABCD

【分析】由，得到，

得出是周期为4的周期函数.根据函数的图象变换，

得到函数的关于对称，得出函数为偶函数.

结合，根据.

进而求得，得到函数关于中心对称，

结合函数的单调性和周期性，进而得出.

【详解】对于选项A：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，

可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；

对于选项B：

由函数对任意都有，可得，

所以函数是周期为4的周期函数，

因为，可得，

则，所以B正确；

又因为函数为偶函数，即，所以，

可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；

由对任意的，且，都有，

可得函数在区间上为单调递增函数，

又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，所以D正确.

故选：ABCD

11．已知正四面体的棱长为，底面所在平面上一动点满足，下列说法正确的是（       ）

A．点运动轨迹长度为 B．直线与底面所成角的正弦值为

C．的最大值为 D．直线与直线所成角的取值范围为

【答案】AC

【分析】对于A选项，求出，从而判断出点轨迹的形状进而求出其轨迹的长度；对于B选项，即为所求，在中，，即可判断；对于C选项，数形结合即可判断；对于D选项建立空间直角坐标系，用空间向量求解

【详解】

对于A，如图，设点在平面上的射影为，连接，，则平面

取的中点，连接，

因为是正的中心，所以

在中，

在中，

在中，

所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

则的轨迹的长度为，故A正确

对于B，与底面所成角为，

在中，，故B错误

对于C，如图所示,

当，，三点共线时，最大，最大值为

故C正确

对于D，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，设（其中）

所以，

设直线与直线所成角的大小为

则

因为余弦函数在上单调递减

当时，最小，而，所以

故D错误

故选：AC

12．已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】对于A选项，只需判断；

对于B选项，通过通项公式可求得；

对于C选项，将条件转化为，可判断错误；

对于D选项，将数列放缩成等比数列求和，可判断正确.

【详解】由条件，两边同时除以，得，

∴∴，∴，

对于A选项，∵，∴，∴，故A选项正确；

，，所以B选项错误；

对于C选项，，等价于，由极限思想知，当时，，故C选项错误；

对于D选项，，

∴

，又∵，所以D选项正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查了数列由递推公式求通项公式，以及关键对通项公式的形式进行分析，放缩，判断.属于较难题.

三、填空题

13．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．

【答案】

【分析】根据题意求出即可得出离心率.

【详解】由题可得，所以，

所以离心率.

故答案为：.

14．的展开式中系数最小项为第______项．

【答案】6

【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项

【详解】的展开式的通项公式为，其中系数与二项式系数只有符号差异，

又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.

故答案为：.

15．知乎从1~10的十个小球，从盒子中同时取出3个小球，这三个小球的最小编号大于4且小于7的概率为______．

【答案】

【分析】满足三个小球的最小编号大于4且小于7有两种可能：5、6两数二选一或5和6均有，分类讨论处理．

【详解】三个小球的最小编号大于4且小于7有两种可能：5、6，

两数二选一或5和6均有，则.

故答案为：

16．设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则______．

【答案】

【分析】根据条件，由两条切线重合解得的解析式，进而得到的值.

【详解】由题知：，∴，

在处的切线为，即，

∵，，

∴在处的切线方程为：

又因为两条切线重合，∴，∴，

又∵，

∴，∴解得

∴，，

∴.

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列中，公差d为整数，其前n项和为．满足，且是和的等比中项．

(1)求的通项公式；

(2)设的前n项和为，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列前n项和公式与等比中项公式列方程即可求解公差与首项，从而求出通项公式；

（2）化简，利用分组求和公式求解即可．

【详解】(1)由题：，∴

由于是和的等比中项，故

则，又d为整数，解得，所以

∴，；

(2)；

∴．

18．如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且，F是EB的中点；

(1)求证：平面ABC；

(2)若，，求平面CDF与平面ABE所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取AB中点G，连FG，即可得到且，从而可得且，则四边形为平行四边形，即，即可得证；

（2）作面，以，，分别为，，建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出锐二面角的余弦值；

【详解】(1)证明：取AB中点G，连FG

易知：，

因为EA，DC均垂直面ABC

∴

∵

∴且

∴四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面

(2)解：作面，以，，分别为，，建立平面直角坐标系，

∴，，，，，，，，

设面法向量，面的法向量可以为，

∴，令，则，

∴．

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为；

19．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．

(1)求角A的大小；

(2)若，求的面积的取值范围．

【答案】(1)；

(2)﹒

【分析】(1)利用正弦定理角化边，再结合余弦定理cosA，由此即可求A的大小；

(2)根据三角形内角和与A的大小求出B的范围，利用正弦定理表示出b，根据三角形面积公式将三角形面积表示为关于B的三角函数并利用三角恒等变换公式化简，根据三角函数值域即可求三角形面积．

【详解】(1)∵，

∴由正弦定理得：，即，即，

∴由余弦定理得：，

∵，∴；

(2)∵，，∴，，

∵，

由正弦定理得：，

∴

，

∵，∴，∴，

∴．

20．已知抛物线C；，F为抛物线的焦点，直线和抛物线交于不同两点A，B，直线和x轴交于点N，直线AF和直线BN交于点．

(1)若，求三角形AMN的面积（用p表示）；

(2)求证：点M在抛物线C上

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分别求出直线AF和直线BN及其交点M,进而求出；

（2）分别求出直线AF和直线BN交点M，进而可得点M坐标符合抛物线方程，即证.

【详解】(1)∵

∴，

，

(2)，，

：          ①

：        ②

联立①②：

点M满足：

∴M在抛物线C上．

21．精准扶贫、精准脱贫是扶贫工作的战略部署，是全面建成小康社会、实现民族复兴的重要保障在当地党和政府的支持和帮助下，某贫困户开始种植一种夏季生长的经济作物．该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，下图是该经济作物的质量指标值t关于昼夜温差x（单位：℃）的散点图．

（参考数据：，）

(1)根据散点图可以认为x与t之间存在线性相关关系，且相关系数，试用最小二乘法求出线性回归方程；

(2)经过市场调查，按质量指标值t可将该类经济作物分成三级，对应的每公斤售价如下表所示：

经统计分析，该类经济作物的质量指标值，其中μ近似为散点图中质量指标值的样本均值，近似为散点图中质量指标值的样本标准差s，若在种植过程中，每公斤产出需要的成本约为10元，且今年产出了2000公斤，求该贫困户种植该经济作物的年纯收入为多少？

（附：①对于-组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．样本相关系数为．

②若，则，，，）

【答案】(1)

(2)元

【分析】(1)本题考查回归直线与相关系数的理解与运算，同时注意公式的区别与联系；(2)理解正态分布，结合题意计算相关概率．

【详解】(1)由已知：，，

∴，

∵，∴ ，

，

∴．

(2)，   即，则可知：，，

∴，，，

∴该贫困户种植该经济作物的年纯收入为：元．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，且恰好有两个零点，求实数a的值．

【答案】(1)见解析

(2)或

【分析】（1）求出函数的导函数，然后分，，，四种情况讨论，根据导数的符号即可求出答案；

（2）由（1）可得出当时，函数的单调性，再根据函数的单调性结合恰好有两个零点，从而可得出答案.

【详解】(1)解：，

①，当时，，当时，

所以在上递增，上递减；

②时，，在上递增；

③时，当或时，，当时，，

所以在，上递增，上递减；

④时，当或时，，当时，，

在，上递增，上递减；

(2)解：由（1）可得，当时，在上递增，

则函数最多一个零点，则不符合题意；

当时，在，上递增，上递减，

当时，，当时，，

因为恰好有两个零点，所以或，

即或，

解得或.