数学第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数学案设计

方程的根与函数的零点

路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两幅图．

[问题]　推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？

知识点　函数零点存在定理

当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0在(a，b)内的一个解．

特别的，当f(x)在[a，b]上单调递增或单调递减且f(a)·f(b)<0，f(x)在(a，b)内恰有个零点．

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？

提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数．

2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0?

提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，则函数在区间(a，b)内有唯一的零点．(　　)

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)内一定没有零点．(　　)

(3)“f(a)f(b)<0”是“函数y＝f(x)(f(x)的图象在[a，b]上是连续不断的)在区间(a，b)内至少有一个零点”的充分不必要条件．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．

C.  D．

答案：B

[例1]　(1)求函数f(x)＝的零点；

(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．

[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；

当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.

所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.

(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，

故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．

令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，

解得x＝0或x＝－.

所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－.

函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)

A．－，－1　　　　　　 B．，1

C.，－1  D．－，1

解析：选B　方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.

2．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．

解析：求g(x)的零点即求f(x)＝x的根，

∴或

解得x＝1＋或x＝1.

∴g(x)的零点为1＋，1.

答案：1＋，1

角度一　判断函数零点个数

[例2]　(链接教科书第126页例1)求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

[解]　法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．

故函数f(x)有且只有一个零点．

法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．

由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

判断函数零点个数的4种常用方法

(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；

(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；

(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数；

(4)转化成两个函数图象的交点问题．　　　　

角度二　根据零点个数求参数范围

[例3]　已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)  B．(－∞，0)

C．(－1，0)  D．[－1，0)

[解析]　当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.

因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，

∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.

[答案]　D

已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．　　　　

[跟踪训练]

若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

解析：当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，

因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1，

所以实数a的取值范围是(0，1]．

答案：(0，1]

[例4]　(链接教科书第127页例2、例3)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)  B．(－1，0)

C．(0，1)  D．(1，2)

[解析]　法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，

∴f(x)在(0，1)内有零点．

法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1)．

[答案]　C　

确定函数f(x)零点(方程解)所在区间的常用方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；

(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；

(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　　　　

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝ln x＋x－3的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1)  B．(1，2)

C．(2，3)  D．(3，4)

解析：选C　∵f(1)＝ln 1＋1－3＝－2<0，

f(2)＝ln 2＋2－3＝ln 2－1<0，

f(3)＝ln 3＋3－3＝ln 3>0，且f(x)的图象是连续不断的，

∴f(x)在(2，3)内有零点，故选C.

2．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞)

C.  D．

解析：选D　由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，∴实数a的取值范围是.

1．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　　)

A.  B．－

C．2  D．－2

解析：选A　根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A.

2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)

A．2  B．－2

C．±2  D．3

解析：选C　因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.

3．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)

B．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1

C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点

D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标

解析：选BD　根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．因此B，D正确．

4．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：

则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)

A．2个  B．3个

C．4个  D．5个

解析：选B　由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．

5．方程2x＋2x＝0在下列区间内一定有解的是(　　)

A．[－1，0]  B．[－3，－2]

C．[1，2]  D．[3，4]

解析：选A　由于函数f(x)＝2x＋2x是单调递增函数，且f(－1)＝－2＝－<0，f(0)＝1>0，由函数零点存在定理可知，函数在区间[－1，0]上一定存在零点．故方程2x＋2x＝0在[－1，0]上一定存在解．