人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案

用二分法求方程的近似解

[课程目标] 1.了解二分法的原理及其适用条件；2.掌握二分法的实施步骤；3.体会二分法中蕴含的逐步逼近思想和程序化思想．

知识点一　二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间__一分为二__，使所得区间的两个端点__逐步逼近零点__，进而得到零点__近似值__的方法叫做二分法．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，可以采用“取中点”的办法逐步缩小零点所在的区间．(　√　)

(2)对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)>0的函数y＝f(x)，不能用“二分法”求出零点．(　×　)

(3)用“二分法”求函数的零点只是求函数零点的方法之一.(　√　)

(4)函数y＝x(x－1)2有两个零点，用“二分法”只能求出其中一个零点．(　√　)

【解析】 (1)根据二分法的概念知此说法正确．

(2)如函数y＝x2－2满足f(－2)f(2)>0，但在(－2，2)上有两个零点，可根据图象将区间(－2，2)分为(－2，0)和(0，2)，分别用二分法求零点．故此说法不正确．

(3)求函数的零点有多种方法，如解方程，图象法，二分法等．

知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤：

(1)确定零点x0的初始区间__[a，b]__，验证f(a)·f(b)<0.这一步的关键在于：①使区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算；③f(a)，f(b)异号．

(2)求区间(a，b)的__中点c__，利用公式c＝即可．

(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

①若__f(c)＝0__(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c，这一步的目的在于缩小零点所在的区间，也就是所谓的“二分”．

(4)判断是否达到精确度ε：若__|a－b|<ε__，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤(2)～(4).

[研读]用二分法求方程的近似解，有两个关键点：一是确定区间[a，b]，要使所确定的区间尽可能小；二是确定精确度，精确度的高低决定了二分法的操作次数．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)用二分法求出的方程的解都是近似解．(　×　)

(2)若达到精确度后，则所得区间内的任意值均可作为零点的近似值．(　√　)

(3)用二分法求函数的零点的精确度取决于区间的长度．(　√　)

(4)用二分法求函数的零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　×　)

【解析】 (1)用二分法求出的方程的解可能是近似解，也可能是精确解．

(4)零点可能在右侧区间内，也可能在左侧区间内．

(1)以下每个图象表示的函数都有零点，其中不能用二分法求函数零点的是(　C　)

(2)在用二分法求函数f(x)的零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　D　)

A．[1，4]

B．[－2，1]

C．[－2，2.5]

D．[－0.5，1]

【解析】 (1)根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．

(2)因第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次的区间可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，只有选项D符合．

活学活用

已知函数f(x)＝x3－2x－5，f(2.5)>0，用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根的区间是__(2，2.5)__．

【解析】 因为f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，f(2.5)>0，f(3)＝33－2×3－5＝16>0，所以f(2)·f(2.5)<0，所以方程x3－2x－5＝0在(2，2.5)内有实根．

求方程lg x＝－1的近似解(精确度为0.1).

解：先作出函数y＝lg x和y＝－1的图象如图所示，估算出方程的解所在的一个区间，再用二分法求解．由图象知，方程lg x＝－1有唯一实数解，且在区间(0，1)内．设f(x)＝lg x－＋1，则f(1)＝>0.

下面用计算器计算，列表如下：

由于区间(0.5，0.562 5)的长度为0.062 5<0.1，所以函数f(x)的零点近似值可取0.5，

即方程lg x＝－1的近似解为x＝0.5.

活学活用

某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0.在以下过程中，使用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似值为x＝1.8，那么他所取的x的4个值中最后一个值是__1.812__5__．

【解析】 已知f(1)<0，f(2)>0，经计算f<0，f<0，f>0，所以四个值中的最后一个值为＝＝1.812 5.

[规律方法]

用二分法求方程的近似解的思路和方法：

(1)根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．

(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似值，可以通过移项化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．

1．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　B　)

A．|a－b|<0.1

B．|a－b|<0.001

C．|a－b|>0.001

D．|a－b|＝0.001

【解析】 根据二分法的步骤，知当区间长度|a－b|<0.001时，便可结束计算．

2．如图所示，用二分法求函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　C　)

A．x1    B．x2

C．x3    D．x4

【解析】 观察图象可知，x3的附近两边的函数值都为负值，所以x3不能用二分法求．

3．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，得f(0.64)<0，f(0.68)<0，f(0.72)>0，f(0.74)>0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可取(　C　)

A．0.64    B．0.74

C．0.7    D．0.6

【解析】 因为f(0.72)>0，f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68，0.72)内，又因为精确度为0.1，所以近似值可以为0.7.

4．用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据如下表．

解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0.列表如下：

∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，

∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.