2022届浙江省宁波市慈溪中学高三下学期5月模拟数学试题含解析

这是一份2022届浙江省宁波市慈溪中学高三下学期5月模拟数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市慈溪中学2022届高三下学期5月模拟数学试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．2．已知复数满足（其中为实数，为虚数单位）.若，则实数（       ）A． B． C． D．23．已知两个不同平面，，直线满足，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（       ）A． B． C． D．5．已知实数x，y满足，则的最小值为（       ）A．4 B．6 C．8 D．106．已知函数，则图像为下列图示的函数可能是（       ）A． B．C． D．7．在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（       ）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线8．已知，且，则的最大值为（       ）A． B．1 C． D．9．已知点M是棱长为4的正方体的棱的中点.过直线作平面，记平面与棱的交点为K，当平面与底面所成的锐二面角最小时，（       ）A．3 B． C． D．110．已知数列满足：，且，则下列关于数列的叙述正确的是（       ）A． B． C． D． 二、双空题11．已知，则___________；___________.12．若的二项展开式中各项的二项式系数和为64，则___________；展开式中常数项为___________.13．如图，在重，点D是线段上靠近点C的三等分点.若，，，则___________；___________.14．林锋家所在小区原本是开放式小区，停车难问题一直困扰着该小区居民.今年当地政府积极进行老小区改造，通过竭力协调将闲置的空间改造成了绿色车位，受到居民的广泛称赞，如今林锋家楼下原本堆满废墟的地方已经改造成了7个绿色车位.某天中午林锋家来了四位客人，这四位客人各自驾驶一辆车，其中三辆黑色，一辆白色.此时这7个车位恰好均未使用，于是这四辆车随机规范停入这7个车位.则恰好三辆黑色车相邻停放的概率为___________；记剩余的3个空车位中相邻的车位数最大者为（若3个空车位均相邻则，若3个空车位有且仅有两个相邻则，若3个空车位均不相邻则），则的数学期望为___________. 三、填空题15．已知函数，则______．16．如图，已知点A，B是椭圆上关于原点对称的两点.过点A作垂直于的直线交椭圆C于另一点D，直线交x轴于点E.若轴，则椭圆C的离心率为___________.17．已知平面向量满足，若，且，则的最小值为___________. 四、解答题18．已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)当时，求函数的取值范围.19．如图，在三棱柱中，，，.点M，N分别为线段的中点.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20．己知数列是等比数列，，且成等差数列.数列满足：.(1)求数列和的通项公式；(2)求证：.21．已知椭圆的离心率为，且过点.点P到抛物线的准线的距离为.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)如图过抛物线的焦点F作斜率为的直线交抛物线于A，B两点（点A在x轴下方），直线交椭圆于另一点Q.记，的面积分别记为，当恰好平分时，求的值.22．已知函数.(1)若函数在上单调递增，求实数a的最小值；(2)若函数在上有两个极值点，.（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：.   
参考答案：1．A【解析】求得集合，再求集合的交集即可得到结果.【详解】集合，，．故选：A．【点睛】本题考查集合的交运算，涉及一元二次不等式的求解，属综合简单题.2．A【解析】【分析】根据题意得，又，求解即可.【详解】由于，因为，则，解得.故选：A.3．A【解析】【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论.【详解】充分性：根据面面平行的性质定理知充分性成立；必要性：设，当，且，，此时，但是与相交，故必要性不成立.综上，故选A．4．D【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体是由底面边长为4，高为4的正三棱柱去掉一个三棱锥，利用椎体和柱体的公式代入即可得出答案.【详解】该几何体是由底面边长为4，高为4的正三棱柱切割而成，因此该几何体的体积为：，故选：D.5．B【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解在轴截距的最小值；通过平移直线可知当直线过时，截距取最小值；求出点坐标后代入即可得到所求结果.【详解】解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：设，当取最小值时，在轴截距最小由平移可知，当过图中点时，在轴截距最小由得       故选：B6．C【解析】【分析】由函数图形可知，函数为偶函数，利用排除法即可判断；【详解】解：依题意图示对应的函数为偶函数，考虑到为偶函数，为奇函数，为奇函数.因为为奇函数，故排除A，又为奇函数，故排除B，对于D：定义域为，故排除D；因为在定义域上单调递增，在上单调递增，又函数图象在的右侧部分函数为单调递增的，符合条件的只有，故选：C.7．C【解析】【分析】设，由于的面积为定值，可得出为定值，设，设线段的中点为M，因为，即可得出线段的中点的轨迹为双曲线.【详解】设，则.由于的面积为定值且为定值，从而为定值，设.设线段的中点为M，则，，故为定值，从而线段的中点的轨迹为双曲线.故选：C.8．C【解析】【分析】由变形，利用积化和差得到，进而得到，然后展开，利用商数关系求解.【详解】因为，由积化和差公式可知，则，所以，即，即，即，解得，所以的最大值为，故选：C.9．B【解析】【分析】根据题意，作出平面与正方体的截面，然后，找出当平面与底面所成的锐二面角最小时，该截面的相关边长，然后，利用相似，即可求出答案.【详解】连接，则为直线与底面所成的角.由于平面，因此平面与底面所成的锐二面角的大小不小于.下面作平面，使得平面与底面所成的锐二面角恰为：取的中点N，则，故平面.取的中点E，则，故平面.则当平面位于平面时，平面与底面所成的锐二面角恰为，此时平面与底面所成的锐二面角最小.如图作出截面，其中，，，，从而，故选：B10．D【解析】【分析】构造函数（），由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证明，然后构造函数（），利用导数证明，得，利用此不等式可直接判断A，对选项B，由数列的单调性与有界性知其极限存在，设，对数列的递推关系求极值可得，从而判断B，对选项C，引入函数设，由导数证明，得，从而利用不等式性质得出数列的不等关系，判断C，利用判断选项C所得正确不等式变形，并换元引入新数列，得前后项关系（求对数再变化），类比等比数列的通项公式的方法得出结论后判断D．【详解】首先我们证明：，利用数学归纳法．事实上，当时，；假设当时，，则当时，．设函数（），则，则在上单调递增，从而．当时，设（），则，设，，则在上单调递减，又，所以存在，使得，时，，时，，故在上先增后减，从而，从而．对于A选项：由于，，故数列单调递增，选项A错误．对于B选项，由于单调递增且，从而存在，由可得，故，从而．故选项B错误．对于C选项，由于时，设，，所以是增函数，，所以（），时，，因此有（），从而，故，故选项C错误．对于D选项，由于，即，令，则，即，其中，故，从而，即，，即，故．从而选项D正确．故选：D．【点睛】难点点睛：本题考查数列的性质，难度很大，解题难点在于有关数列的不等关系，一是用数学归纳法进行证明，二是需引入函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出数列的不等关系，考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．11．          【解析】【分析】根据题意求出，即可求解，再利用求解即可.【详解】由于，则，所以；.故答案为：，.12．     6     ##【解析】【分析】根据二项式系数和求出，再由二项展开式的通项公式求出常数项即可.【详解】由于，则，所以的展开式的通项公式，令，解得，故常数项为.故答案为：6；13．          【解析】【分析】（1）根据，两边平方化简求解即可；（2）由余弦定理求解即可【详解】设，则，故从而，从而，故.由余弦定理得，故.故答案为：，.14．          【解析】【分析】依据古典概型去求恰好三辆黑色车相邻停放的概率；依据离散型随机变量的数学期望的定义去求的数学期望.【详解】记“恰好三辆黑色车相邻停放”为事件M，则.随机变量的取值为1，2，3，则；；，故.故答案为：；.15．11【解析】【分析】判断自变量的范围，选取相应的表达式计算函数值．【详解】由于，，，从而．故答案为：11．16．【解析】【分析】根据图象，利用点差法和等量代换关系，进而得到，进而可求出离心率.【详解】设直线交椭圆C于另一点K，连接，线段的中点为M，则有，设，所以，，因为，所以，，得，得，所以，，又因为，所以，，，根据题意，明显可见，，根据图像，可得，又因为由题意得轴，所以，，则，从而，又由于，故，从而，即，所以，，从而椭圆C的离心率为.故答案为：.17．【解析】【分析】根据题意作出图形，设，，，，，，则，再根据题意得点是直线与的角平分线的交点，得到，进而得到，求解计算即可.【详解】如下图所示，设，，，，，，因为，所以，因此点在直线上，又由于，因此是的角平分线，因此点是直线与的角平分线的交点.根据角平分线的性质可.过点作的平行线交于点，则.因此点在以为圆心，半径为2的圆上运动由于，由此当直线相切于时，有最大值，有最小值.设此时切点为，则，，故.综合上述，的最小值为.故答案为：.【点睛】与平面向量有关的最值问题，常见处理方法有两种：第一种：利用坐标进行转化；第二种：利用点的几何意义转化成轨迹问题求解.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换，转化函数为，利用三角函数的性质求解；（2）利用三角恒等变换，转化函数为，利用三角函数的性质求解；(1)解：因为 ，，令，解得，所以的单调递增区间为(2)因为 ，， ，，当时，，所以，从而，故函数的取值范围为.19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理即可证明.（2）解法1：由题意可得，故直线与平面所成角即为直线与平面所成角，设其大小为.我们约定符号：表示点P到平面的距离；表示点P到l的距离.则，由等体积法求出，根据平行四边形性质求得，代入即可得出答案.解法2：以点O原点，所在直线为x轴和y轴建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，代入线面角的计算公式即可求出答案.(1)取的中点为O，由于和为正三角形，则，又，故平面，又平面，故.(2)解法1：由于，故为二面角的平面角.由于，，由余弦定理得，从而.故二面角的大小为.取的中点D，由于，从而，故四边形为平行四边形，从而，故直线与平面所成角即为直线与平面所成角，设其大小为.我们约定符号：表示点P到平面的距离；表示点P到l的距离.则由于平面，则平面平面，从而由于平面，则，在中，，从而根据平行四边形性质得，故.解法2：如图以点O原点，所在直线为x轴和y轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，.由于，，.设平面的法向量为，则，从而，从而取.设直线与平面所成角为，则由于，，，从而20．(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式、等差数列的性质，结合递推公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，利用放缩法，结合裂项相消法进行证明即可.(1)设等比数列的公比为，则，由于成等差数列，则，故，即，则.从而，当时，，故；当时，，两式相减得，因此.显然当时，也成立.因此综合上述，数列和的通项公式为：；(2)由于，因此.21．(1)，(2)【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点可得答案；（2）设，，，设直线的斜率为，且A，F，B共线得，从而，，，可求出直线的斜率为.当平分时，利用，求出，从而的值，由此直线，由于，联立直线和椭圆方程可得，再利用，可得答案.(1)由于椭圆的离心率为，则，所以，故设，由于椭圆经过点，从而，故椭圆的方程为.由于点P到抛物线的准线的距离为，则，故，从而抛物线.(2)由于，设，，，设直线的斜率为，由于，则，，由于，，且A，F，B共线得，故，从而，，从而，，由于，则直线的斜率为，当平分时，则，即，即即，从而或，从而或，由于，故，由此直线.由于，考虑到，从而，从而，联立，即，从而，则，从而，由此，，从而，从而.22．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）因为在上单调递增，所以对任恒成立，令，考虑到则，则，则，只需证明时，对任意的恒成立即可求出实数a的最小值.（2）（i）在上有两个极值点，求得转化为与的图象有两个交点.（ii）由题目条件可令，，先证得，再结合不等式，，可得出，，即可证得.(1)由于在上单调递增，则对任恒成立.令，考虑到则，则，则下面证明时，对任意的恒成立.事实上，，则在上单调递增，从而.综合上述，实数a的最小值为.(2)（i）由于，令.则，设，，故在上单调递增.又.从而当时，，；当时，.由此在上单调递减.在上单调递增，又由于 ，，，故要使得方程在上有两个不同的实根，则，从而.（ii）由于，其中，则令，，则，，故，其中.由于函数，，故的极大值点为，因此，从而，再结合不等式，，则，从而两式相减得：，即，从而，，故.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.