2022届江西省宜春市上高二中高三下学期第十次月考试题（5月）数学（理）试题含答案

上高二中2022届高三月考试卷（理科数学）

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知，则复数（       ）

A．         B．         C．           D．

3．某高山地区的大气压强p（Pa）与海拔高度h（m）近似满足函数关系，其中，是海平面大气压强，已知在该地区甲、乙两处测得的大气压强分别为，，且，那么甲、乙两处的海拔高度之差约为（       ）

（参考数据：）

A．4900m B．5500m C．6200m D．7400m

4．设，则（       ）

A． B． C． D．

5．已知等比数列的前项和（为常数），则数列的前5项和为（       ）

A．或5 B．或5 C． D．

6．下列说法中正确的是（       ）

A．若，则         B．若，则

C．若，则            D．若，则

7．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（       ）

A． B． C． D．

8．线段AB上任取一点C，若，则点C是线段AB的“黄金分割点”，以AC，BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”．现在线段AB上任取一点C，若以AC，BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为（       ）

A． B． C． D．

9．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率. 若生产状态正常，有如下命题：

甲：；

乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；

丙：；

丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.

（参考数据：若 ，则，， ；）

其中假命题是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

10．如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（       ）米

（参考数据：，，）

A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8

11．取两个相互平行且全等的正边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“角反棱柱”.当时，得到如图所示棱长均为2的“六角反棱柱”，则该“六角反棱柱”外接球的表面积等于（ ）

A． B． C． D．

12．若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：

①，使；②当时，取得最小值；

③的最小值为2；④．

其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①       B．①②③      C．①②④      D．①②③④

第II卷（非选择题）

二、填空题

13．已知展开式中各项的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．

14．已知向量，满足，若，则，夹角的余弦值为___________.

15．圆的圆心在抛物线上，且圆与轴相切于点A，与轴相交于、两点，若（为坐标原点），则______．

16．已知数列满足奇数项成等差，公差为d，偶数项成等比，公比为q，且数列的前n项和为，，．，．若，则正整数______．

三、解答题

17．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.

(1)求角B的大小；

(2)设，，求和的值.

18．如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．

(1)证明：平面ABC．

(2)若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．

19．小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．

(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．

(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．

20．已知椭圆C：的离心率为，其右焦点为F，左顶点为A，点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当轴时，△APF的面积为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线AP交直线l：于点Q，直线l与x轴交于点T，证明：．

21．已知函数（且）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧．

(1)求点P处的切线方程，并证明：时，．

(2)若关于x的方程（t为实数）有两个正实根，证明：．

22．如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的心型曲线的极坐标方程为为曲线上一动点，曲线的参数方程为为参数，.

(1)若与交于三点，证明：为定值；

(2)射线逆时针旋转后与交于点，求的最大值.

23．已知，，，求证：

(1)；

(2).