2022届陕西省西安中学高三五月全仿真模拟考试（一）数学理试题含答案

陕西省西安中学2022届高三下学期第一次仿真考试

理科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若：所有实数的平方都是正数，则为（       ）

A．所有实数的平方都不是正数 B．至少有一个实数的平方不是正数

C．至少有一个实数的平方是正数 D．有的实数的平方是正数

2．已知M,N为集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，则（       ）

A．M B．N C．I D．

3．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001、002、…、699、700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（       ）

3321183429        7864560732        5242064438        1223435677        3578905642

8442125331        3457860736        2530073285        2345788907        2368960804

3256780843        6789535577        3489948375        2253557832        4577892345

A．607 B．328 C．253 D．007

4．如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 的值为 350，则判断框中可填

A． B．

C． D．

6．在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（       ）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

7．下面是关于公差的等差数列的四个命题

其中的真命题为

A． B． C． D．

8．设，且，若能被13整除，则（       ）

A．0 B．1 C．11 D．12

9．设是复数，则下列命题中的假命题是

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

10．已知函数，若方程在的解为，则

A． B． C． D．

11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（       ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是（       ）

A．曲线的方程为；

B．左焦点到一条渐近线距离为；

C．直线与曲线有两个公共点；

D．过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条；

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设，向量，，若，则_______．

14．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则_______．

15．函数的所有零点之和为_________.

16．平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则l，m所成角正切值为____________.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答

17．为了测量隧道口、间的距离，开车从点出发，沿正西方向行驶米到达点，然后从点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达点，再从点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口点处，测得间的距离为1000米.

(1)若隧道口在点的北偏东度的方向上，求的值；

(2)求隧道口间的距离.

18．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示．

(1)利用散点图判断和（其中均为大于的常数）哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）

(2)对数据作出如下处理，令，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；

(3)已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

19．如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).

（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；

（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.

20．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离比到y轴的距离大1．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)已知点Q在直线上，点P在第一象限，满足，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为，，，求的最小值．

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，已知点，参数，直线的方向向量为，且过定点．

（1）在平面直角坐标系中求点的轨迹方程；

（2）若直线上有一点，求的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数，不等式的解集为

（1）求；

（2）当时，证明：.

参考答案：

1．B

2．A

3．B

4．A

5．B

6．A

7．D

8．D

9．D

10．A

11．D

12．C

13．

14．8.

15．

16．

17．

(1)

在中，由正弦定理得，

即，

所以，

由题可知，，

所以，即.

(2)

由（1）可知，，

在中，由余弦定理得

，

所以，

故两隧道口间的距离为1000米.

18．

【解】

（1）由散点图知，选择更合适

（2）对两边取对数，得，即：

由表中数据得       

令，则，即

年销售和年研发费用的回归方程为：

（3）由（2）知，，则

令，得

当时，；当时，

在上单调递增；在上单调递减

当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为：千万元亿元

要使年利润取最大值，预计下一年应投入千万元的研发费用

19．【解】

解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，

所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，

故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，

EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，

又等腰三角形PEB，EM⊥PB，

BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，

EM⊂平面EMN，

故平面EMN⊥平面PBC；

（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.

以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，

P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，

，，，

设平面EMN的法向量为，

由，令，得，

平面BEN的一个法向量为，

故，

解得：m=1，

故存在N为BC的中点.

20．

(1)

设，由已知得，

当时，，得；

当时，，得；

所以点P的轨迹方程为或．

(2)

设，，则，

因为，所以，即，

因为，，，

所以

，

构造，所以，令，得，，得

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即的最小值为，

所以的最小值为．

21．

(1)

函数的定义域为，．

当时，，在上单调递减；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

(2)

，

又，则．

令，即方程在上有解．

令，，

则，．，

当时，，在上单调递减，

又，则在上恒成立，不合题意；

当时，，令，可知该方程有两个正根，

因为方程两根之积为1且，所以．

当时，，

当时，；

则时，，

而．

令，则，

令，，

则在上单调递减，，

则在上单调递减，，即，

故存在，使得，故满足题意．

综上所述，实数a的取值范围是．

22．【解】

（1）由题意知：点的坐标满足，.

消去参数，可得点的轨迹方程为.

（2）直线的参数方程为（是参数），消去参数，

可得直线的直角坐标方程为.

又点的轨迹为半圆，圆心到直线的距离，

直线与点的轨迹相离，

.

23．【解】

（1），

当时，，得；

当时，由，得；

当时，，得

综上，不等式的解集

（2）由，即.

要证，只需证，只需证，只需证，只需证，

∵，

∴成立，即原不等式成立.