高中人教B版 (2019)2.3.1 圆的标准方程精练

课时跟踪检测（十七）  圆的标准方程

[A级　基础巩固]

1．点P(a，10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　)

A．在圆内　　　　　　　  B．在圆上

C．在圆外     D．不确定

解析：选C　∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点 P在圆外．

2．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)

A．一个圆     B．两个圆

C．半个圆     D．两个半圆

解析：选D　由题意，得

即或

故原方程表示两个半圆．

3．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　)

A．关于x轴对称     B．关于y轴对称

C．关于直线x－y＝0对称     D．关于直线x＋y＝0对称

解析：选D　易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.

4．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13     B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52     D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

解析：选A　直径两端点的坐标分别为(4，0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.

5．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)

A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上

B．所有圆Ck均不经过点(3，0)

C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个

D．所有圆的面积均为4π

解析：选ABD　圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，

∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0，无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，

∵Δ＝16－8＝8>0，有两不等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；

由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D.

6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．

解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2，4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.

答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20

7．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________．

解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2，1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1

8．若点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，Q(m，－m－1)，则PQ的最小值为________．

解析：由Q(m，－m－1)，设x＝m，y＝－m－1，得y＝－x－1.

即点Q在直线x＋y＋1＝0上，由点P在圆(x－1)2＋y2＝1运动．

则PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，

即－1＝－1.

答案：－1

9．已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．

解：因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，

所以圆的半径r＝＝5，

所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.

因为|P1C|＝＝＝2<5，所以P1(－1，0)在圆内；

因为|P2C|＝＝5，

所以P2(1，－1)在圆上；

因为|P3C|＝＝6>5，

所以P3(3，－4)在圆外．

10．已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4).

(1)求周长最小的圆的方程；

(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．

解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0，1)，半径r＝|AB|＝.

则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，

即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.

由解得

即圆心的坐标是C(3，2).

∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.

∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.

法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

则⇒

∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.

[B级　综合运用]

11．(多选)若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的周长，则mn的取值可能是(　　)

A．     B．－

C．     D．2

解析：选ABC　可知直线mx＋2ny－4＝0过圆心(2，1)，

有2m＋2n－4＝0，即n＝2－m，则mn＝m·(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1.

12．已知点M，N在圆＋(y＋1)2＝－3上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是(　　)

A．2     B．

C．1     D．3

解析：选C　由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，即－＋1＋1＝0.

∴k＝4，r＝ ＝1.

13．已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值为________，最小值为________．

解析：点A(－1，0)，B(0，2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－).

答案：(4＋)　(4－)

14．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上．求：

(1)AD边所在直线的方程；

(2)矩形ABCD外接圆的标准方程．

解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.

又点T(－1，1)在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，

即3x＋y＋2＝0.

(2)由解得点A的坐标为(0，－2)，

因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2，0)，

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又r＝|AM|＝＝2，

所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.

 [C级　拓展探究]

15. 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．

解：以O为坐标原点，OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.所以点O到直线BC的距离d＝＝4，由图得，当中心O到直线BC的距离减去半径时取最小值，此时DE的最小值为(4－1)km.