人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程练习题

课时跟踪检测（二十一）  曲线与方程

[A级　基础巩固]

1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的(　　)

A．充分不必要条件　　　  B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

解析：选C　由曲线与方程的概念可知，若点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，则必有f(x0，y0)＝0；又当f(x0，y0)＝0时，点P(x0，y0)也一定在方程f(x，y)＝0对应的曲线上，故选C.

2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是(　　)

解析：选C　方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．

3．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是(　　)

A．一个点     B．一条直线

C．一个圆     D．两条线段

解析：选A　方程可化为(x＋1)2＋2＝0，所以即它表示点.故选A.

4．已知0≤α＜2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　)

A．     B．

C．或     D．或

解析：选C　由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cosα＝.

又0≤α＜2π，∴α＝或α＝.

5．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)

A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0

B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0

C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0

D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0

解析：选B　由两点式，得直线AB的方程是

＝，即4x－3y＋4＝0，

线段AB的长度|AB|＝＝5.

设C的坐标为(x，y)，

则×5×＝10，

即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.

6．(多选)方程xy(x＋y)＝1所表示的曲线(　　)

A．关于原点对称

B．关于直线y＝x对称

C．与直线x＝－1没有交点

D．曲线经过第三象限

解析：选BC　在曲线上任取一点(x，y)，对于A，关于原点对称点为(－x，－y)，代入方程可得(－x)(－y)(－x－y)＝－xy(x＋y)＝－1，故(－x，－y)不满足方程， 故A不正确；对于B，原方程xy(x＋y)＝1，将方程中的x换为y，将y换为x，方程为yx(y＋x)＝xy(x＋y)＝1，与原方程相同，故曲线关于直线y＝x对称，故B正确；对于C，当x＝－1时，－y(－1＋y)＝1，即y2－y＋1＝0，此方程无解，故C正确；对于D，(x，y)在第三象限，则x<0，y<0，所以xy(x＋y)<0，所以xy(x＋y)≠1，故D不正确．故选B、C.

7．动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为________．

解析：设P(x，y)，由题意知，x≠±，kAP＝，

kBP＝，由条件知kAP·kBP＝－，

所以×＝－，

整理得x2＋2y2－2＝0(x≠±).

答案：x2＋2y2－2＝0(x≠±)

8．在直角坐标平面xOy中，过定点(0，1)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点．若动点P(x，y)满足＝＋，则点P的轨迹方程为________．

解析：设AB的中点为M，则＝，M.又因为OM⊥AB，的方向向量为，＝，所以·＝0，x2＋y(y－2)＝0，即x2＋(y－1)2＝1.

答案：x2＋(y－1)2＝1

9．已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求这条曲线的方程．

解：设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是＝.

由两点间的距离公式，得＝，两边平方并化简，得曲线方程为x2＋y2＋2x－3＝0.

10．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝，求点M的轨迹C的方程．

解：设点M(x，y)，P(x0，y0)，

则由题意知P0(x0，0).

由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)，且＝，得(x0－x，－y)＝(0，－y0)，

所以于是

又x＋y＝4，所以x2＋y2＝4，

所以，点M的轨迹C的方程为＋＝1.

[B级　综合运用]

11．(多选)给出下列结论，其中错误的是(　　)

A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上截距为－2的直线

B．到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2

C．方程|x－3|＋(y2－9)2＝0表示两个点

D．到两坐标轴距离之和为a(a＞0)的点M的轨迹方程为x＋y＝a(a＞0)

解析：选ABD　对于A，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且去掉点(2，0)，所以A错误；对于B，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以B错误；对于C，方程|x－3|＋(y2－9)2＝0表示(3，－3)，(3，3)两个点，所以C正确；对于D，轨迹方程应为|x|＋|y|＝a(a＞0).

12．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为(　　)

A．x2－3y2＝－2     B．x2－3y2＝－2(x≠±1)

C．x2－3y2＝2     D．x2－3y2＝2(x≠±1)

解析：选B　设P(x，y)，由于点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以B(1，－1).

kPA＝(x≠－1)，kPB＝(x≠1)，

因为kPA·kPB＝，所以·＝.

整理得x2－3y2＝－2(x≠±1).

13．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为________，P点轨迹所围成的图形的面积为________．

解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|知，＝2化简整理得(x－2)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹为圆心为(2，0)，半径为2的圆，此圆的面积为S＝22π＝4π.

答案：(x－2)2＋y2＝4　4π

14．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求点M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).

由题设知·＝0，

故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，

即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故点O在线段PM的垂直平分线上．

又点P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，

故直线l的方程为y＝－x＋，即x＋3y－8＝0.

又|OM|＝|OP|＝2，点O到直线l的距离为＝，|PM|＝2＝，

所以△POM的面积为××＝.

 [C级　拓展探究]

15.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)判定下列两个结论是否正确：

(1)曲线C恰好经过6个整点(横、纵坐标均为整数的点)；

(2)曲线C上任意一点到原点的距离都不超过.

解：∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋|x||y|≤1＋，

∴x2＋y2≤2.

(1)x可能取得的整数值为±1，0，代入曲线C的方程得整点坐标为(1，1)，(1，0)，(－1，1)，(－1，0)，(0，1)，(0，－1)，故(1)正确；

(2)设曲线C上任意一点到原点的距离为d，则d2＝x2＋y2≤2，

∴d≤，故(2)正确．