高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系随堂练习题

第5课时　平面的斜线

【概念认知】

1．距离

(1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．

(2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．

2．直线与平面所成的角

【自我小测】

1．平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线，PO＝3，∠POM＝∠PON＝45°，那么点P到平面α的距离是(　　)

A．　    B．　    C．　　    D．

【解析】选A.cos ∠POM＝cos ∠POH·cos ∠MOH，所以＝cos ∠POH.所以cos ∠POH＝.所以sin ∠POH＝，所以PH＝PO·sin ∠POH＝3×＝.

2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为(　　)

A.30°　　    B．45°    C．60°    D．135°

【解析】选B.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1，所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中，∠BC1B1＝45°.

3．若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°　    B．45°　　    C．30°　    D．120°

【解析】选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形，

如图所示，∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，

因为AB＝2BO，所以cos ∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°.

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，体对角线AC1与面ABCD所成角的正弦值为______．

【解析】易知∠CAC1就是AC1与面ABCD所成角，设正方体的棱长为1，则AC1＝，在直角三角形CAC1中，sin ∠CAC1＝＝.

答案：

5．如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为________．

【解析】如图，过点D作DE⊥SB于点E，

因为SA⊥底面ABC，且BC⊂平面ABC，

所以BC⊥SA，因为∠ABC＝90°，

所以BC⊥AB，因为SA∩AB＝A，

所以BC⊥平面SAB，

所以平面SBC⊥平面SAB，SB为交线．

因为DE⊥SB，所以DE⊥平面SBC，

则DE的长即为所求，

在Rt△ABS中，sin ∠SBA＝＝＝，

在Rt△DBE中，DE＝BD sin ∠EBD＝×3×＝.

答案：

6．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．

【解析】连接BC1交B1C于点O，连接A1O，如图设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，

所以A1B1⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1.

所以A1B1⊥BC1，又因为BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD.

所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影．

∠BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角．

在Rt△A1BO中，A1B＝a，

BO＝a，所以BO＝A1B，∠BA1O＝30°.

因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.

【基础全面练】

一、单选题

1．在正三棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为(　　)

A．a　    B．a　　    C．a　　    D．a

【解析】选C.作PH⊥平面ABC于H，连接CH并延长，交AB于D，连接PD，由PH·CD＝PC·PD，求得PH＝a.

2．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)

A．    B．　    C．    D．

【解析】选D.A1B1∥面D1EF，所以G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离．

在△A1D1E中，过A1作A1H⊥D1E交D1E于H，显然A1H⊥面D1EF，

则A1H即为所求，在Rt△A1D1E中，A1H＝＝＝.

3．正四面体ABCD的棱长为a，E是AD的中点，则点D到平面BCE的距离是(　　)

A．　    B．　    C．　    D．a

【解析】选B.由题意在正四面体ABCD中，△ABD，△ACD均为正三角形所以BE⊥AD，CE⊥AD，因为BE∩CE＝E，所以AD⊥平面BCE，则DE的长即为所求，DE＝＝.

4．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CC1的中点，则点M到平面A1B1D的距离为(　　)

A.    B．    C．    D．

【解析】选A.连接B1C，过点M作ME⊥B1C于点E，

因为A1D∥B1C，所以A1，D，B1，C四点确定一个平面，所以平面A1B1D即为平面A1B1CD.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，DC⊥平面BCC1B1，ME⊂平面BCC1B1，所以ME⊥DC，因为ME⊥B1C，所以ME⊥平面A1B1CD，则ME的长即为所求．在Rt△CEM中，CM＝，∠ECM＝45°，所以ME＝＝.

5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　)

A．－    B．    C．－    D．

【解析】选B.取B1D的中点O，连结EO(图略)，则EO∥AC，因为AC⊥平面B1BD，所以EO⊥平面B1BD，

则∠EBO就是直线BE与平面B1BD所成角的平面角，

所以sin ∠EBO＝＝.

6．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，则点C到平面ABC1的距离为(　　)

A.    B．    C．    D．

【解析】选C.如图，取AB的中点E，连接CE，C1E，过点C作CF⊥C1E，

在正三棱柱ABC­A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，则AB⊥CC1，因为△ABC是等边三角形，所以AB⊥CE，又CE∩CC1＝C，所以AB⊥平面CC1E，因为CF⊂平面CC1E，所以CF⊥AB，所以CF⊥平面ABC1，则CF的长即为所求．在Rt△CEC1中，CC1＝1，CE＝AB＝，所以C1E＝＝，由等面积得CF＝＝.

二、多选题

7．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离可能是(　　)

A．1　    B．2　    C．3　    D．4

【解析】选AC.若A，B在α同侧，如图①，则P到α的距离为3；若A，B在α异侧，如图②，则P到α的距离为PO′－OO′＝3－2＝1.

8．如图，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，SD⊥底面ABCD，则在下列说法中，正确的是(　　)

A.AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角

D．AC⊥SO

【解析】选ABCD.连接SO，如图所示：

因为四棱锥S­ABCD的底面是正方形，

所以AC⊥BD，因为SD⊥底面ABCD，

所以SD⊥AC，因为BD∩SD＝D，

所以AC⊥平面SBD，

因为SB⊂平面SBD，

所以AC⊥SB，则A正确；

因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，则B正确；

因为SD⊥底面ABCD，

所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，

因为AD＝CD，SD＝SD，

所以∠SAD＝∠SCD，则C正确；

因为AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，

所以AC⊥SO，则D正确．

三、填空题

9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．

【解析】因为PA⊥平面ABC，所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角，

又PA＝AB，所以∠PBA＝45°.

答案：45°

10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M为AC边上的一个动点，则PM的最小值为________．

【解析】作CH⊥AB交AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，则当点M在H处时，PH最小．因为AC＝8cos 60°＝4，所以CH＝4sin 60°＝2，

所以PH＝＝2，即PM的最小值为2.

答案：2

四、解答题

11．如图所示，在棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连接A1D，DC，A1C.

(1)求证：BC1∥平面A1DC；

(2)求BC1到平面A1DC的距离．

【解析】(1)如图所示，连接AC1交A1C于E，连接DE，则DE∥BC1，而DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，

所以BC1∥平面A1DC.

(2)由(1)知BC1∥平面A1DC，

所以BC1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离．所以求C1到平面A1DC的距离即可．因为平面A1DC过线段AC1的中点，

所以A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离．由题意知CD⊥AB，CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，

所以CD⊥平面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线，垂足H在A1D上．在Rt△A1AD中，A1A·AD＝A1D·AH，解得AH＝a，

即BC1到平面A1DC的距离为a.

12．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．

(1)求证：MN⊥平面A1BC；

(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小．

【思路导引】(1)连接AC1证明AC1⊥平面A1BC. 连接AB1，再证明MN⊥平面A1BC.(2)连接BD，则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角．

【解析】(1)如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C得，BC⊥平面ACC1A1.连接AC1，则BC⊥AC1.由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.

因为侧面ABB1A1是矩形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，

所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.

(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a.

在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°.

【综合突破练】

一、选择题

1．在正三棱锥S­ABC中，底面是边长等于2的等边三角形，侧棱SA＝4，则侧棱与底面所成的角为(　　)

A．60°    B．45°    C．30°    D．75°

【解析】选A.如下图所示：

设点S在底面ABC的射影点为点O，连接SO，AO，则AO为△ABC的外接圆半径，

由正弦定理可得2AO＝＝4，则AO＝2，

因为SO⊥平面ABC，AO⊂平面ABC，所以SO⊥AO，所以SO＝＝2，

设该正三棱锥的侧棱与底面所成的角为θ，

则sin θ＝＝，

因为0°≤θ≤90°，因此θ＝60°.

2．在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上    B．直线BC上

C．直线AC上    D．△ABC内部

【解析】选A.在四面体ABCD中，因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，又平面ABC∩平面ABD＝直线AB，故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上．

3．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则(　　)

A．b≤c≤a　    B．a≤c≤b

C．c≤a≤b　    D．c≤b≤a

【解析】选D.如图：α∥β，考虑m，n异面时，m和n的距离等于α，β间的距离，点A到n的距离为：过A作AO⊥β于O，过O作OC⊥n于C，则AC为A点到直线n的距离，显然，此时c≤b≤a.

4．(多选)半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为，则(　　)

A.BF⊥平面EAB

B．该二十四等边体的体积为

C．该二十四等边体外接球的表面积为8π

D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为

【解析】选BCD.对于A，假设A对，即BF⊥平面EAB，于是BF⊥AB，∠ABF＝90°，但六边形ABFPQH为正六边形，∠ABF＝120°，矛盾，所以A错；

对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为23－8×××1×1×1＝，所以B对；

对于C，取正方形ACPM对角线交点O，

即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R＝，其表面积为4πR2＝8π，所以C对；

对于D，因为PN在平面EBFN内射影为NS，所以PN与平面EBFN所成角即为∠PNS，

其正弦值为＝＝，所以D对．

二、填空题

5．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是；

②直线与平面所成的角的取值范围是；

③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；

④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．

其中正确的是________(填序号).

【解析】②应为；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．

答案：①④

6．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________．

【解析】作AE⊥BC于点E，连接PE，

则BC⊥平面PAE，可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上，故∠APE为所求的角．AE＝AB sin 45°＝，所以tan ∠APE＝＝.

答案：

7．已知正方形ABCD的边长为1，线段PA垂直于平面ABCD，且PA＝1，则点P到点C的距离为________．

【解析】如图，连接AC，则AC＝.

又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD.

所以PA⊥AC，又PA＝1，

所以在Rt△PAC中，PC＝.

答案：

8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．

【解析】∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.

答案：45°　0°

三、解答题

9．如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．

(1)求证：A1F⊥平面BEF；

(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．

【解析】(1)连接AF.因为E，F分别为CC1，DD1的中点，所以EF∥AB且EF＝AB，所以四边形ABEF为平行四边形．

又在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，

AB⊥平面AA1D1D，A1F⊂平面AA1D1D，

所以AB⊥A1F，所以EF⊥A1F.

由已知得AF＝，A1F＝，AA1＝2，

所以A1F2＋AF2＝AA，所以AF⊥A1F.又AF∩EF＝F，所以A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.

(2)因为A1F⊥平面BEF.

所以A1B在平面BEF上的射影为BF，

所以∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．

由已知得A1F＝，A1B＝，

所以sin ∠A1BF＝，

即A1B与平面BEF所成角的正弦值为.

10．如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于⊙O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

【解析】(1)因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.

因为AB是⊙O的直径，C为圆上一点，

所以BC⊥AC.又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

(2)如图，过点A作AD⊥PC于点D，

因为BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，

所以BC⊥AD，

所以AD⊥平面PBC，

所以AD即为点A到平面PBC的距离．

因为∠PBA为PB与平面ABC所成的角，

即∠PBA＝45°，

所以PA＝AB＝2，AC＝1，可得PC＝.

因为AD·PC＝PA·AC，

所以AD＝＝，

即点A到平面PBC的距离为.