初中数学部编全等三角形证明题（倍长中线和截长补短）
展开全等三角形 —— 倍长中线和截长补短课前测1.如图，在中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE=AC.若C=70°，DAC=50°，则EBD的度数为（ ）（提示：等腰三角形两底角相等）A．10° B．15° C．20° D．12.5° 2.已知，如图所示，四边形ABCD中，BAD+C=180°，AD=AB，点E,F分别在边BC，CD上，EAF=BAD.则下列结论中正确的是（ ）A．AB+DF=FC B．BE=DF C．BE+DF=EF D．AD=AF 本讲概况本讲名称专题考法例题难度对应例题考查热度全等三角形— 倍长中线和截长补短倍长中线一次全等☆☆例1二次全等☆☆☆☆例2倍长类中线☆☆☆例3截长补短线段和差☆☆☆例4半角模型☆☆☆例5对角互补☆☆☆例6 专题一 倍长中线知识精讲倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．1.倍长中线题中出现遇见三角形的中线时，可以尝试倍长中线，来构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移AD是中线，延长AD至E，使，连接BE．易证，∴AC＝BE，∠CAD＝∠BED∴AC//BE 2. 类倍长中线题中出现过中点的线段时，可以尝试倍长这条线段（类中线），来构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移.D是中点，延长FD至E，使DE＝FD，连接CE．易证，∴BF＝CE，∠FBD＝∠ECD∴AB//CE 典型例题：题型一 倍长中线之一次全等例1 如图，在中，点D是BC边中点，,，求的取值范围. 变式1 如图，在中，AD平分，且BD=CD.求证:AB=AC. 变式2 已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分 题型二 倍长中线之二次全等例2 已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 变式1 如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点M为BC的中点.求证：DE=2AM. 题型三 倍长类中线例3 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线． 专题二 截长补短知识精讲定 义示例剖析 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长，使得 典型例题：题型四 截长补短之线段和差例4 如图，在四边形ABCD中，ADBC，若DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分，判断AB的长与AD+BC的大小关系并证明. 变式1 已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD. 题型五 截长补短之半角模型例5 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BF+DE． 变式1 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD. 求证：EF=BE+DF． 变式2 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，且BE+EF=DF，求EAF的度数. 题型五 截长补短之对角互补例5 如图，平分，，且.求证：． 变式1 五边形ABCDE中， AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求证：AD平分CDE. 归纳总结：证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．构造辅助线的方法：①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形．②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理． 课后测1. 如图所示，△ ABC中，AB=3，AC=7，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）A．4＜AD＜10 B．0＜AD＜10C．3＜AD＜7 D．2＜AD＜5 2. △ ABC中，AD是BAC的平分线，且AB=AC+CD.若BAC=60°，则ABC的大小为（ ）A．20° B．25° C．30° D．35°
