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第9章统计（新文化与压轴30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）
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这是一份第9章统计（新文化与压轴30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第9章统计（新文化与压轴30题专练）
一、单选题
1．（2020·全国·高一课时练习）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．
【详解】
解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，
对应区域为边长为的正方形，其面积为，
若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，
其面积；则有，解得
故选：．
【点睛】
本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
2．（2021·湖北·高一期末）我国古代数学名若《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若千人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若千人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用样本量比例分配的分层随机抽样方法），则北面共有多少人（ ）
A．8000 B．8100 C．8200 D．8300
【答案】B
【解析】
【分析】
设北面人数为人，根据分层抽样抽样比相等列出方程，即可求解.
【详解】
设北面人数为人，
根据分层抽样抽样比相等可得，
解得：人.
故选：B.
3．（2021·浙江·高一期末）我国古代数学有该样一个问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A．104人 B．108人 C．112人 D．120人
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样即可求出答案．
【详解】
解：由题意可得，
故选：．
4．（2021·陕西渭南·高一期末）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（ ）（结果保留到小数点后一位有效数字）
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
总分成绩
495
494
493
485
483
483
482
480
479
475
471
470
463
457
454
453
448
448
441
440
A．41.7%，71.4% B．60%，71.4%
C．41.7%，35% D．60%，35%
【答案】A
【解析】
【分析】
由题知，双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人，进而根据题意求解即可；
【详解】
解：由图表知双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人；
“学科对总分上线贡献率”为，
“学科有效分上线命中率”为，
故选：A．
【点睛】
本题考查统计的应用，考查数据分析与处理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知，读懂试题，在理解的基础上，进行数据分析处理计算.
5．（2020·江苏苏州·高一期中）古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石 B．224石 C．230石 D．232石
【答案】B
【解析】
根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为石，即可得到答案．
【详解】
由题意可知，2016石的夹谷约为石．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．
6．（2020·广东中山·高一期末）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？
A．180 B．160 C．90 D．360
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数得250粒内夹谷30粒，根据比例，即可求得结论．
【详解】
设批米内夹谷约为x石，则
，
解得：
选A．
【点睛】
此题考查简单随机抽样，根据部分的比重计算整体值．
7．（2021·江苏·高一期中）我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．454石
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件“254粒夹谷28粒”即可估计这批米内夹谷大约多少.
【详解】
由题意可知：这批米内夹谷约为石，故选B.
【点睛】
本题主要考查了用样本估计总体，用样本估计总体是统计的基本思想，属于容易题.
8．（2020·全国·高一课时练习）下列调查方式合适的是( )
A．为了了解炮弹的杀伤力,采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式
D．对载人航天器“神舟十号”零部件的检查,采用抽样调查的方式
【答案】C
【解析】
【分析】
调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】
A、了解炮弹的杀伤力，有破坏性，故得用抽查方式，故本选项错误；
B、了解全国中学生的睡眠状况，工作量大，得用抽查方式，故本选项错误；
C、了为了了解人们保护水资源的意识，工作量大，得用抽查方式，故本选项正确；
D、对载人航天器“神舟十号”零部件的检查十分重要，故进行普查检查，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．
9．（2021·全国·高一专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是
A．102 B．112 C．130 D．136
【答案】B
【解析】
【详解】
由题意得，三乡总人数为人.
∵共征集378人
∴需从西乡征集的人数是
故选B.
10．（2021·全国·高一专题练习）为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.
【详解】
由，，
的频率为，①正确；
的频率为，②正确；
的频率为，的频率为，
中位数在且占该组的，
故中位数为，③正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题
11．（2020·全国·高一课时练习）下列调查采用的调查方式合适的是（ ）
A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式
D．2016年10月17日7时30分，载人飞船“神舟十一号”在酒泉卫星发射中心由长征二号FY11运载火箭成功发射，发射前要对其零部件进行检查，采用抽样调查的方式
【答案】C
【解析】
【分析】
根据普查和抽样调查的适用情况不同，作出判断.
【详解】
普查工作量大，有时受客观条件限制，无法对所有个体进行调查，有时调查具有破坏性，不允许普查；
抽样调查范围小，节约时间、人力、物力和财力，但必须注意调查的对象具有代表性和广泛性；
综上可知，只有选项C的调查方式合适.
故选C.
【点睛】
本题考查对普查和抽样调查的适用条件的判断，难度较易.
12．（2021·全国·高一课时练习）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是
A．112 B．128 C．145 D．167
【答案】D
【解析】
由题意利用分层抽样的方法结合抽样比即可确定需从南乡征集的人数.
【详解】
由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为：
.
故选D.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的方法及其应用，属于基础题.
13．（2021·全国·高一课时练习）《九章算术·衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱. 欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为：“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比率交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是
A．乙付的税钱应占总税钱的 B．乙、丙两人付的税钱不超过甲
C．丙应出的税钱约为32 D．甲、乙、丙三人出税钱的比例为56∶35∶18
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三人持钱的数量得到每人应付税钱的比例和数量，依次判断各个选项，得到结果.
【详解】
乙付的税钱应占总税钱的，可知正确；
乙、丙两人付的税钱占总税钱的，不超过甲，可知正确；
丙应出的税钱为，可知错误；
甲、乙、丙三人出税钱的比例为，可知正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查统计中的分层抽样的实际应用，属于基础题.
二、多选题
14．（2020·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．已知函数的定义域为，且在任何区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小，则函数在上是减函数；
B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；
C．方程的解集为；
D．一次函数一定存在反函数．
【答案】AD
【解析】
A选项可利用任何区间内平均变化率的大小判断增减性；B选项根据平均数计算a,可判断75%分位数；C选项要注意真数大于0；D选项一次函数是单调函数，即可判断反函数存在.
【详解】
A中，由题意知在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数在上是减函数正确；B中，由2，3，3，7，10，11，12，，18，20的平均数为10，可求得，根据75%分位数概念计算可知，故不正确，C中，时，无意义，显然错误；D中，一次函数具有单调性，反解可以构成函数，故存在反函数，正确.
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了平均变化率，75%分位数，对数方程，反函数的概念，属于中档题.
15．（2022·全国·高一课时练习）（多选）分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三人一起出关，关税共计100钱，要按照各人带钱多少的比率进行交税，问三人各应付多少税？则（ ）
A．甲应付钱 B．乙应付钱
C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
【答案】AD
【解析】
【分析】
由分层抽样的性质确定三人各应付多少税.
【详解】
由题设条件知，，则甲应付（钱），乙应付（钱），丙应付（钱），
故选：AD．
16．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)下列调查方式不合适的是（ ）
A．为了了解某型号炮弹的杀伤力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽查的方式
D．对载人航天器“神舟十号”零部件的检查，采用抽查的方式
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据被调查的对象的属性即可判定是需要抽查还是普查.
【详解】
了解炮弹的杀伤力，采用普查方式就全销毁了，只能采用抽查方式；了解全国学生睡眠状况，采用普查方式费时费力，也是不必要的，应采用抽查方式；了解人们保护水资源的意识，采用普查方式费时费力，也是不必要的，应采用抽查方式；对于航天器零部件的检查，必须做到万无一失，应当采用普查的方式.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查普查与抽查的区别，关键是根据被调查对象的特征决定，属简单题.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
17．（2022·全国·高一单元测试）为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
下面有四个推断：
①这名学生阅读量的平均数可能是本；
②这名学生阅读量的分位数在区间内；
③这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；
④这名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.
所有合理推断的序号是________.
【答案】②③④
【解析】
①由学生类别阅读量图表可知；
②计算75%分位数的位置，在区间内查人数即可；
③设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的中位数位置即可；
④设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.
【详解】
在①中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间内，故错误；
在②中，，阅读量在的人数有人，
在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内，
故正确；
在③中，设在区间内的初中生人数为，则，
当时，初中生总人数为116人，，
此时区间有25人，区间有36人，所以中位数在内，
当时，初中生总人数为131人，，
区间有人，区间有36人，所以中位数在内，
当区间人数去最小和最大，中位数都在内，
所以这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故正确；
在④中，设在区间内的初中生人数为，则，
当时，初中生总人数为116人，，
此时区间有25人，区间有36人，所以25%分位数在内，
当时，初中生总人数为131人，，
区间有人，所以25%分位数在内，
所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内，故正确；
故答案为：②③④
【点睛】
本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算，考查学生对参数的讨论以及计算能力，属于中档题.
18．（2022·全国·高一单元测试）已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
设新数据的平均数为，方差为，可得，，由新数据的平均数比方差大4可得，可得，代入可得其最大值.
【详解】
解：设新数据，，，…，的平均数为，方差为，
可得：，，由新数据平均数比方差大4，
可得，可得，
可得：，
由，可得，
可得当时，可得的最大值为：，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.
19．（2020·全国·高一课时练习）气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
【详解】
①甲地：个数据的中位数为，众数为，根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可能为：、、、、，其连续天的日平均气温均不低于；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为、、、、，可知其连续天的日平均温度有低于，故不确定；
③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，如、、、、，这组数据的平均值为，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，故③对．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．
【点睛】
本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．
20．（2022·全国·高一单元测试）已知样本：、、、、，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是__________.
【答案】10
【解析】
【分析】
：利用图像先推算出最大数为11，再根据样本的数据互不相同，排除最大数为11，再推算最大数为10时，存在这样的5个数，最后得出答案．
【详解】
：由题意，、、、、 ，该样本的平均数为7，则．样本的方差为4，则.如图，表示1,2,3,4,5个点分别位于7的上下两侧，那么，所以，
设，那么，必然存在样本数据相等，不满足题意．
设，那么，不妨设，，，，且满足．所以在最大值为10时存在5个数都为整数满足题意．
【点睛】
：本题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，可以把平均数看作中位数，依次推导数字的大小，题目要求每个数都为整数，且各不相同，所以解题时可以采用排除法从大到小分类讨论． ‘’
21．（2020·辽宁大连·高一期末）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，估计这批米内所夹的谷有_______石．（只要求写出运算式，不用化简）
【答案】
【解析】
【分析】
利用样本估计总体进行列式.
【详解】
由题意可知，这批米内所夹的谷有：，
故答案为：.
22．（2021·天津·南开中学高一期末）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．
【答案】60
【解析】
【分析】
先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果.
【详解】
由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以
北乡比南乡多抽人.
故答案为
【点睛】
本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型.
23．（2021·江苏·启东中学高一阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
【答案】8100
【解析】
【详解】
因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为，所以北面共有人，故填8100.
24．（2020·全国·高一课时练习）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）．
【答案】169
【解析】
【详解】
根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为 ，所以这批米内夹谷约为石，故答案为.
25．（2020·全国·高一课时练习）给出以下调查：
①了解一批汽车驾校训练班学员的训练成绩是否达标；
②了解一批炮弹的杀伤力；
③某饮料厂对一批产品的质量进行检查；
④调查对2014年南京青奥会的满意度；
⑤检验某人造卫星中各零件产品的质量.
其中适宜用抽样调查的是________（将正确答案的序号全填上）.
【答案】②③④
【解析】
根据普查和抽样调查的优缺点进行判断即可.
【详解】
解：若调查的目的必须通过普查才能实现，一般用普查，但若存在一定的破坏性则用抽样调查，关键还是看实际需要，
驾校训练的司机直接影响驾驶安全，必须普查；
炮弹的杀伤力调查具有破坏性，只能采用抽样调查；
饮料质量的调查也具有破坏性，应该采用抽样调查；
青奥会满意度调查比较复杂，普查成本高，也没必要，适宜用抽样调查；
人造卫星不能有一点疏忽，每一个零件的质量都需要检查.
故答案为：②③④.
【点睛】
本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方法要根据调查方法的优缺点再结合实际情况去分析.
四、解答题
26．（2021·全国·高一课时练习）手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.
组数
第l组
第2组
第3组
第4组
第5组
分组
频数
20
36
30
10
4
（1）求；
（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：
（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.
【答案】(1) ；(2) 第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3)
【解析】
【分析】
（1）直接计算.
（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取.
（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案.
【详解】
解：（1）由题意可知，
，
（2）第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例是
则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为；
（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：
，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，
所以抽取的2人来自同一个组的概率.
【点睛】
本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生解决问题的能力.
27．（2022·全国·高一单元测试）某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.
（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.
（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？
【答案】（1）；（2）该实体店应该每天批发2大箱衬衫.
【解析】
【分析】
（1）先利用不等式性质求得要使得日销售总利润高于9500元时日销售衬衫的件数的取值范围，然后根据频数分布图计算对应的天数，从而求得响应频率；.
（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.
分别就选择批发2小箱时和2大箱时各种情况下的日利润列举计算，并求得相应的总利润，进行比较大小即可做出判断.
【详解】
解：（1）因为试销期间每件衬衫的利润为元，
所以要使得日销售总利润高于9500元，则日销售衬衫的件数大于，
故所求频率为.
（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.
若选择批发2小箱，则批发成本为元，
当日销售量为48件时，
当日利润为元；
当日销售量为80件时，
当日利润为；
当日销量为128件或160件时，
当日利润为元.
所以这20天销售这款衬衫的总利润为元.
若选择批发2大箱，则批发成本为元，
当日销售量为48件时，
当日利润为元；
当日销售量为80件时，
当日利润为元；
当日销量为128件时，
当日利润为元.
当日销售量为160件时，
当日利润为元.
所以这20天销售这款衬衫的总利润为元.
因为，所以该实体店应该每天批发2大箱衬衫.
28．（2022·全国·高一单元测试）某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.
（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.
1622779439 4954435482 1737932378 873509643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.
（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.
【答案】（1）42；（2）78；（3）平均数为7.4，方差为2.24
【解析】
【分析】
（1）根据随机数表依次读取数据即可，取01～80之间的数据；
（2）根据系统抽样，确定组矩，计算可得；
（3）根据平均数和方差得出数据的整体关系，整体代入求解10名选手的平均数和方差.
【详解】
（1）根据题意读取的编号依次是：20,96（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，
所以抽取的第6个观众的编号为42；
（2）若采用系统抽样，组矩为8，最小编号为06，则最大编号为6+9×8=78；
（3）记选择科技类的6人成绩分别为：，
选择文艺类的4人成绩分别为：，
由题：，，
，，
所以这10名选手的平均数为
方差为
【点睛】
此题考查统计相关知识，涉及随机数表读数，系统抽样和平均数与方差的计算，对计算公式的变形处理要求较高.
29．（2021·江苏省梅村高级中学高一期中）中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸刀（刀张），该公司按照某种质量指标给宣纸确定等级如表所示：
的范围
质量等级
副牌
正牌
废品
在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为元，副牌宣纸利润为元，废品的利润为元．
（1）试估计该公司的年利润；
（2）市场上有一种售价为万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标如表所示：
的范围
频率
其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】（1）万元；（2）建议该公司购买这种机器，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算出一刀宣纸中正牌纸、副牌纸以及废品纸的张数，结合已知条件计算出一刀宣纸的利润的估计值，再乘以可得结果；
（2）计算出该公司改进前后一刀宣纸的利润，比较大小后可得出结论.
【详解】
（1）由频率分布直方图得：一刀宣纸有正牌张，有副牌张，有废品张，
该公司一刀宣纸的利润的估计值为元，
估计该公司的年利润为万元；
（2）由频率分布直方图得：
．
这种机器生产的宣纸的质量指标如下表所示：
的范围
频率
一刀宣纸中有正牌的张数估计为，
废品的张数估计为：，
副牌的张数为：，
一刀宣纸的利润为：元，
公司改进后该公司的利润为：万元，
，建议该公司购买这种机器．
30．（2021·辽宁丹东·高一期末）一次高三高考适应性测试，化学、地理两选考科目考生的原始分数分布如下：
等级
A
B
C
D
E
比例
约
约
约
约
约
化学学科各等级对应的原始分区间
地理学科各等级对应的原始分区间
（1）分别求化学、地理两学科原始成绩分数的分位数的估计值（结果四舍五入取整数）；
（2）按照“”新高考方案的“等级转换赋分法”，进行等级赋分转换，求（1）中的估计值对应的等级分，并对这种“等级转换赋分法”进行评价.
附：“”新高考方案的“等级转换赋分法”
（一）等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约
约
约
约
约
转换分T的赋分区间
（二）计算等级转换分T的等比例转换赋分公式：，其中分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限（T的计算结果四舍五入取整数）.
【答案】（1）；（2）化学和地理的等级分都是，评价见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给数据求得的估计值.
（2）根据赋分公式求得化学和地理的等级分，并由此进行评价.
【详解】
（1）依题意，.
（2）设化学的等级分为，
则.
设地理的等级分为，
则.
等级赋分的意义是将不同科目的成绩进行比较.如果本题中和都是，说明化学分，和地理分，在考生中的排位是相同的
第9章统计（新文化与压轴30题专练）
一、单选题
1．（2020·全国·高一课时练习）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．
【详解】
解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，
对应区域为边长为的正方形，其面积为，
若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，
其面积；则有，解得
故选：．
【点睛】
本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
2．（2021·湖北·高一期末）我国古代数学名若《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若千人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若千人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用样本量比例分配的分层随机抽样方法），则北面共有多少人（ ）
A．8000 B．8100 C．8200 D．8300
【答案】B
【解析】
【分析】
设北面人数为人，根据分层抽样抽样比相等列出方程，即可求解.
【详解】
设北面人数为人，
根据分层抽样抽样比相等可得，
解得：人.
故选：B.
3．（2021·浙江·高一期末）我国古代数学有该样一个问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A．104人 B．108人 C．112人 D．120人
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样即可求出答案．
【详解】
解：由题意可得，
故选：．
4．（2021·陕西渭南·高一期末）高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”和“学科有效分上线命中率”这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（ ）（结果保留到小数点后一位有效数字）
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数学成绩
120
117
122
101
100
112
99
111
102
100
89
98
92
84
94
113
97
104
85
85
总分成绩
495
494
493
485
483
483
482
480
479
475
471
470
463
457
454
453
448
448
441
440
A．41.7%，71.4% B．60%，71.4%
C．41.7%，35% D．60%，35%
【答案】A
【解析】
【分析】
由题知，双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人，进而根据题意求解即可；
【详解】
解：由图表知双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人；
“学科对总分上线贡献率”为，
“学科有效分上线命中率”为，
故选：A．
【点睛】
本题考查统计的应用，考查数据分析与处理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知，读懂试题，在理解的基础上，进行数据分析处理计算.
5．（2020·江苏苏州·高一期中）古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石 B．224石 C．230石 D．232石
【答案】B
【解析】
根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为石，即可得到答案．
【详解】
由题意可知，2016石的夹谷约为石．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．
6．（2020·广东中山·高一期末）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？
A．180 B．160 C．90 D．360
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数得250粒内夹谷30粒，根据比例，即可求得结论．
【详解】
设批米内夹谷约为x石，则
，
解得：
选A．
【点睛】
此题考查简单随机抽样，根据部分的比重计算整体值．
7．（2021·江苏·高一期中）我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．454石
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件“254粒夹谷28粒”即可估计这批米内夹谷大约多少.
【详解】
由题意可知：这批米内夹谷约为石，故选B.
【点睛】
本题主要考查了用样本估计总体，用样本估计总体是统计的基本思想，属于容易题.
8．（2020·全国·高一课时练习）下列调查方式合适的是( )
A．为了了解炮弹的杀伤力,采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式
D．对载人航天器“神舟十号”零部件的检查,采用抽样调查的方式
【答案】C
【解析】
【分析】
调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】
A、了解炮弹的杀伤力，有破坏性，故得用抽查方式，故本选项错误；
B、了解全国中学生的睡眠状况，工作量大，得用抽查方式，故本选项错误；
C、了为了了解人们保护水资源的意识，工作量大，得用抽查方式，故本选项正确；
D、对载人航天器“神舟十号”零部件的检查十分重要，故进行普查检查，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查的是调查方法的选择；正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析．
9．（2021·全国·高一专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是
A．102 B．112 C．130 D．136
【答案】B
【解析】
【详解】
由题意得，三乡总人数为人.
∵共征集378人
∴需从西乡征集的人数是
故选B.
10．（2021·全国·高一专题练习）为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.
【详解】
由，，
的频率为，①正确；
的频率为，②正确；
的频率为，的频率为，
中位数在且占该组的，
故中位数为，③正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题
11．（2020·全国·高一课时练习）下列调查采用的调查方式合适的是（ ）
A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式
D．2016年10月17日7时30分，载人飞船“神舟十一号”在酒泉卫星发射中心由长征二号FY11运载火箭成功发射，发射前要对其零部件进行检查，采用抽样调查的方式
【答案】C
【解析】
【分析】
根据普查和抽样调查的适用情况不同，作出判断.
【详解】
普查工作量大，有时受客观条件限制，无法对所有个体进行调查，有时调查具有破坏性，不允许普查；
抽样调查范围小，节约时间、人力、物力和财力，但必须注意调查的对象具有代表性和广泛性；
综上可知，只有选项C的调查方式合适.
故选C.
【点睛】
本题考查对普查和抽样调查的适用条件的判断，难度较易.
12．（2021·全国·高一课时练习）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是
A．112 B．128 C．145 D．167
【答案】D
【解析】
由题意利用分层抽样的方法结合抽样比即可确定需从南乡征集的人数.
【详解】
由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为：
.
故选D.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的方法及其应用，属于基础题.
13．（2021·全国·高一课时练习）《九章算术·衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱. 欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为：“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比率交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是
A．乙付的税钱应占总税钱的 B．乙、丙两人付的税钱不超过甲
C．丙应出的税钱约为32 D．甲、乙、丙三人出税钱的比例为56∶35∶18
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三人持钱的数量得到每人应付税钱的比例和数量，依次判断各个选项，得到结果.
【详解】
乙付的税钱应占总税钱的，可知正确；
乙、丙两人付的税钱占总税钱的，不超过甲，可知正确；
丙应出的税钱为，可知错误；
甲、乙、丙三人出税钱的比例为，可知正确.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查统计中的分层抽样的实际应用，属于基础题.
二、多选题
14．（2020·全国·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．已知函数的定义域为，且在任何区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小，则函数在上是减函数；
B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；
C．方程的解集为；
D．一次函数一定存在反函数．
【答案】AD
【解析】
A选项可利用任何区间内平均变化率的大小判断增减性；B选项根据平均数计算a,可判断75%分位数；C选项要注意真数大于0；D选项一次函数是单调函数，即可判断反函数存在.
【详解】
A中，由题意知在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数在上是减函数正确；B中，由2，3，3，7，10，11，12，，18，20的平均数为10，可求得，根据75%分位数概念计算可知，故不正确，C中，时，无意义，显然错误；D中，一次函数具有单调性，反解可以构成函数，故存在反函数，正确.
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了平均变化率，75%分位数，对数方程，反函数的概念，属于中档题.
15．（2022·全国·高一课时练习）（多选）分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三人一起出关，关税共计100钱，要按照各人带钱多少的比率进行交税，问三人各应付多少税？则（ ）
A．甲应付钱 B．乙应付钱
C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
【答案】AD
【解析】
【分析】
由分层抽样的性质确定三人各应付多少税.
【详解】
由题设条件知，，则甲应付（钱），乙应付（钱），丙应付（钱），
故选：AD．
16．（2021·全国·高一课时练习）(多选题)下列调查方式不合适的是（ ）
A．为了了解某型号炮弹的杀伤力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽查的方式
D．对载人航天器“神舟十号”零部件的检查，采用抽查的方式
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据被调查的对象的属性即可判定是需要抽查还是普查.
【详解】
了解炮弹的杀伤力，采用普查方式就全销毁了，只能采用抽查方式；了解全国学生睡眠状况，采用普查方式费时费力，也是不必要的，应采用抽查方式；了解人们保护水资源的意识，采用普查方式费时费力，也是不必要的，应采用抽查方式；对于航天器零部件的检查，必须做到万无一失，应当采用普查的方式.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查普查与抽查的区别，关键是根据被调查对象的特征决定，属简单题.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
17．（2022·全国·高一单元测试）为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.
下面有四个推断：
①这名学生阅读量的平均数可能是本；
②这名学生阅读量的分位数在区间内；
③这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；
④这名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.
所有合理推断的序号是________.
【答案】②③④
【解析】
①由学生类别阅读量图表可知；
②计算75%分位数的位置，在区间内查人数即可；
③设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的中位数位置即可；
④设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.
【详解】
在①中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间内，故错误；
在②中，，阅读量在的人数有人，
在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内，
故正确；
在③中，设在区间内的初中生人数为，则，
当时，初中生总人数为116人，，
此时区间有25人，区间有36人，所以中位数在内，
当时，初中生总人数为131人，，
区间有人，区间有36人，所以中位数在内，
当区间人数去最小和最大，中位数都在内，
所以这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故正确；
在④中，设在区间内的初中生人数为，则，
当时，初中生总人数为116人，，
此时区间有25人，区间有36人，所以25%分位数在内，
当时，初中生总人数为131人，，
区间有人，所以25%分位数在内，
所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内，故正确；
故答案为：②③④
【点睛】
本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算，考查学生对参数的讨论以及计算能力，属于中档题.
18．（2022·全国·高一单元测试）已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
设新数据的平均数为，方差为，可得，，由新数据的平均数比方差大4可得，可得，代入可得其最大值.
【详解】
解：设新数据，，，…，的平均数为，方差为，
可得：，，由新数据平均数比方差大4，
可得，可得，
可得：，
由，可得，
可得当时，可得的最大值为：，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.
19．（2020·全国·高一课时练习）气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
【详解】
①甲地：个数据的中位数为，众数为，根据数据得出：甲地连续天的日平均温度的记录数据可能为：、、、、，其连续天的日平均气温均不低于；
②乙地：个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为、、、、，可知其连续天的日平均温度有低于，故不确定；
③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，若有低于，假设取，此时方差就超出了，可知其连续天的日平均温度均不低于，如、、、、，这组数据的平均值为，方差为，但是进一步扩大方差就会超过，故③对．
则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．
【点睛】
本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．
20．（2022·全国·高一单元测试）已知样本：、、、、，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是__________.
【答案】10
【解析】
【分析】
：利用图像先推算出最大数为11，再根据样本的数据互不相同，排除最大数为11，再推算最大数为10时，存在这样的5个数，最后得出答案．
【详解】
：由题意，、、、、 ，该样本的平均数为7，则．样本的方差为4，则.如图，表示1,2,3,4,5个点分别位于7的上下两侧，那么，所以，
设，那么，必然存在样本数据相等，不满足题意．
设，那么，不妨设，，，，且满足．所以在最大值为10时存在5个数都为整数满足题意．
【点睛】
：本题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，可以把平均数看作中位数，依次推导数字的大小，题目要求每个数都为整数，且各不相同，所以解题时可以采用排除法从大到小分类讨论． ‘’
21．（2020·辽宁大连·高一期末）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，估计这批米内所夹的谷有_______石．（只要求写出运算式，不用化简）
【答案】
【解析】
【分析】
利用样本估计总体进行列式.
【详解】
由题意可知，这批米内所夹的谷有：，
故答案为：.
22．（2021·天津·南开中学高一期末）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．
【答案】60
【解析】
【分析】
先由题中数据求出抽样比，确定每乡抽取的人数，进而可求出结果.
【详解】
由题意可得，三乡共有人，从中抽取500人，因此抽样比为，所以北乡共抽取人；南乡共抽取人，所以
北乡比南乡多抽人.
故答案为
【点睛】
本题主要考查分层抽样，只需依题意确定抽样比即可求解，属于基础题型.
23．（2021·江苏·启东中学高一阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
【答案】8100
【解析】
【详解】
因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为，所以北面共有人，故填8100.
24．（2020·全国·高一课时练习）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）．
【答案】169
【解析】
【详解】
根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为 ，所以这批米内夹谷约为石，故答案为.
25．（2020·全国·高一课时练习）给出以下调查：
①了解一批汽车驾校训练班学员的训练成绩是否达标；
②了解一批炮弹的杀伤力；
③某饮料厂对一批产品的质量进行检查；
④调查对2014年南京青奥会的满意度；
⑤检验某人造卫星中各零件产品的质量.
其中适宜用抽样调查的是________（将正确答案的序号全填上）.
【答案】②③④
【解析】
根据普查和抽样调查的优缺点进行判断即可.
【详解】
解：若调查的目的必须通过普查才能实现，一般用普查，但若存在一定的破坏性则用抽样调查，关键还是看实际需要，
驾校训练的司机直接影响驾驶安全，必须普查；
炮弹的杀伤力调查具有破坏性，只能采用抽样调查；
饮料质量的调查也具有破坏性，应该采用抽样调查；
青奥会满意度调查比较复杂，普查成本高，也没必要，适宜用抽样调查；
人造卫星不能有一点疏忽，每一个零件的质量都需要检查.
故答案为：②③④.
【点睛】
本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方法要根据调查方法的优缺点再结合实际情况去分析.
四、解答题
26．（2021·全国·高一课时练习）手机支付也称为移动支付，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.
组数
第l组
第2组
第3组
第4组
第5组
分组
频数
20
36
30
10
4
（1）求；
（2）从第l，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l，3，4组抽取的人数：
（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.
【答案】(1) ；(2) 第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3)
【解析】
【分析】
（1）直接计算.
（2）根据分层抽样的规律按照比例抽取.
（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，排列出所有可能，再计算满足条件的个数，相除得到答案.
【详解】
解：（1）由题意可知，
，
（2）第1，3，4组共有60人，所以抽取的比例是
则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为；
（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：
，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，
所以抽取的2人来自同一个组的概率.
【点睛】
本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生解决问题的能力.
27．（2022·全国·高一单元测试）某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.
（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.
（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？
【答案】（1）；（2）该实体店应该每天批发2大箱衬衫.
【解析】
【分析】
（1）先利用不等式性质求得要使得日销售总利润高于9500元时日销售衬衫的件数的取值范围，然后根据频数分布图计算对应的天数，从而求得响应频率；.
（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.
分别就选择批发2小箱时和2大箱时各种情况下的日利润列举计算，并求得相应的总利润，进行比较大小即可做出判断.
【详解】
解：（1）因为试销期间每件衬衫的利润为元，
所以要使得日销售总利润高于9500元，则日销售衬衫的件数大于，
故所求频率为.
（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.
若选择批发2小箱，则批发成本为元，
当日销售量为48件时，
当日利润为元；
当日销售量为80件时，
当日利润为；
当日销量为128件或160件时，
当日利润为元.
所以这20天销售这款衬衫的总利润为元.
若选择批发2大箱，则批发成本为元，
当日销售量为48件时，
当日利润为元；
当日销售量为80件时，
当日利润为元；
当日销量为128件时，
当日利润为元.
当日销售量为160件时，
当日利润为元.
所以这20天销售这款衬衫的总利润为元.
因为，所以该实体店应该每天批发2大箱衬衫.
28．（2022·全国·高一单元测试）某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.
（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.
1622779439 4954435482 1737932378 873509643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.
（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.
【答案】（1）42；（2）78；（3）平均数为7.4，方差为2.24
【解析】
【分析】
（1）根据随机数表依次读取数据即可，取01～80之间的数据；
（2）根据系统抽样，确定组矩，计算可得；
（3）根据平均数和方差得出数据的整体关系，整体代入求解10名选手的平均数和方差.
【详解】
（1）根据题意读取的编号依次是：20,96（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，
所以抽取的第6个观众的编号为42；
（2）若采用系统抽样，组矩为8，最小编号为06，则最大编号为6+9×8=78；
（3）记选择科技类的6人成绩分别为：，
选择文艺类的4人成绩分别为：，
由题：，，
，，
所以这10名选手的平均数为
方差为
【点睛】
此题考查统计相关知识，涉及随机数表读数，系统抽样和平均数与方差的计算，对计算公式的变形处理要求较高.
29．（2021·江苏省梅村高级中学高一期中）中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸刀（刀张），该公司按照某种质量指标给宣纸确定等级如表所示：
的范围
质量等级
副牌
正牌
废品
在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为元，副牌宣纸利润为元，废品的利润为元．
（1）试估计该公司的年利润；
（2）市场上有一种售价为万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标如表所示：
的范围
频率
其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）
【答案】（1）万元；（2）建议该公司购买这种机器，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）计算出一刀宣纸中正牌纸、副牌纸以及废品纸的张数，结合已知条件计算出一刀宣纸的利润的估计值，再乘以可得结果；
（2）计算出该公司改进前后一刀宣纸的利润，比较大小后可得出结论.
【详解】
（1）由频率分布直方图得：一刀宣纸有正牌张，有副牌张，有废品张，
该公司一刀宣纸的利润的估计值为元，
估计该公司的年利润为万元；
（2）由频率分布直方图得：
．
这种机器生产的宣纸的质量指标如下表所示：
的范围
频率
一刀宣纸中有正牌的张数估计为，
废品的张数估计为：，
副牌的张数为：，
一刀宣纸的利润为：元，
公司改进后该公司的利润为：万元，
，建议该公司购买这种机器．
30．（2021·辽宁丹东·高一期末）一次高三高考适应性测试，化学、地理两选考科目考生的原始分数分布如下：
等级
A
B
C
D
E
比例
约
约
约
约
约
化学学科各等级对应的原始分区间
地理学科各等级对应的原始分区间
（1）分别求化学、地理两学科原始成绩分数的分位数的估计值（结果四舍五入取整数）；
（2）按照“”新高考方案的“等级转换赋分法”，进行等级赋分转换，求（1）中的估计值对应的等级分，并对这种“等级转换赋分法”进行评价.
附：“”新高考方案的“等级转换赋分法”
（一）等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约
约
约
约
约
转换分T的赋分区间
（二）计算等级转换分T的等比例转换赋分公式：，其中分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限（T的计算结果四舍五入取整数）.
【答案】（1）；（2）化学和地理的等级分都是，评价见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给数据求得的估计值.
（2）根据赋分公式求得化学和地理的等级分，并由此进行评价.
【详解】
（1）依题意，.
（2）设化学的等级分为，
则.
设地理的等级分为，
则.
等级赋分的意义是将不同科目的成绩进行比较.如果本题中和都是，说明化学分，和地理分，在考生中的排位是相同的
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