第九章《不等式与不等式组》同步单元基础与培优高分必刷卷

第九章《不等式与不等式组》同步单元基础与培优高分必刷卷

全解全析

1．B

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质进行答题．

【详解】

解：A．在不等式a＞b的两边同时乘以2，不等式仍然成立，即2a＞2b．故本选项一定成立，不符合题意；

B．在不等式a＞b的左边乘以2，右边乘以-2，不等式不一定成立，符合题意；

C．在不等式a＞b的两边同时加2，不等式仍然成立，即a+2＞b+2．故本选项一定成立，

不符合题意；

D．在不等式a＞b的两边同时乘以-2，不等号要改变方向，即-2a＜-2b．故本选项一定成立，不符合题意；

故选：B

【点睛】

考查了不等式的基本性质，即：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2．D

【解析】

【分析】

根据不等式的定义：“用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式”分析即可．

【详解】

根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析可知，上述四个式子都是不等式．

故选D．

【点睛】

本题考查了不等式的定义，理解不等式的定义是解题的关键．

3．B

【解析】

【分析】

先根据在数轴上表示不等式解集的方法求出不等式的解集，再列出关于a的方程，求出a的取值即可．

【详解】

解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为x≤﹣1，

解不等式2x﹣a≤﹣1得，

x≤，

∴＝﹣1，

解得a＝﹣1．

故选：B

【点睛】

本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．

4．B

【解析】

【分析】

先解不等式组中的不等式①，再根据不等式组有解，结合“大小小大取中间”，从而可得答案.

【详解】

解：

由①得：

不等式组有解，

故选B

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定字母参数的范围，掌握“大小小大取中间”是解本题的关键.

5．C

【解析】

【分析】

先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可．

【详解】

解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，

∴每一块的棱长l＝2.5cm，

∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍，

设宽为x cm，长为4x cm，

x•4x＝36，

得：x＝3，

∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12，

∴n≤4.8，

∵n是正整数，

∴n的最大值是4．

故选：C．

【点睛】

本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键．

6．C

【解析】

【分析】

可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m的不等式组，可求得m的取值范围．

【详解】

在中，

解不等式①可得x＞m，

解不等式②可得x≤3，

由题意可知原不等式组有解，

∴原不等式组的解集为m＜x≤3，

∵该不等式组恰好有四个整数解，

∴整数解为0，1，2，3，

∴-1≤m＜0，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．

7．C

【解析】

【分析】

先解不等式组求出m的取值范围，再解方程组，结合m的取值范围求出m满足不等式组恰有2个整数解，方程组也有整数解的值，然后再求出所有符合条件的整数m的和即可．

【详解】

解：不等式组，

解不等式①得：x>−2，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为．

∵不等式组恰有2个整数解，

∴，

解得：，

解方程组，

得：

∵关于x、y的方程组也有整数解，

∴m+3为4的因数，即m+3=±1或±2或±4，

∵−3≤m<1，

∴m的值为：−2、−1，

∴所有符合条件的整数m的和为(−2)+(−1)=−3．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解法、二元一次方程组的解法，理解相关知识是解答关键．

8．B

【解析】

【分析】

先解关于x的一元一次不等式组 ，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可.

【详解】

解：由不等式组，解得：

∵解集是x≤a，

∴a<5；

由关于的分式方程 得得2y-a+y-4=y-1

又∵非负整数解，

∴a≥-3，且a=-3，a=-1（舍，此时分式方程为增根），a=1，a=3它们的和为1.

故选B.

【点睛】

本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程的问题，需要考虑的因素较多，属于易错题.

9．A

【解析】

【分析】

根据二阶行列式直接列出关系式，解不等式即可；

【详解】

根据题意得：2x-(3-x)>0，

整理得：3x>3，

解得：x>1.

故选A.

【点睛】

本题考查一元一次不等式的应用，根据二阶行列式列出不等式是解题关键.

10．B

【解析】

【分析】

先解不等式mx- n＞0，根据解集可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的数量关系，再解不等式可求得

【详解】

解不等式：mx- n＞0

mx＞n

∵不等式的解集为：

∴m＜0

解得：x＜

∴，

∴n＜0，m=5n

∴m+n＜0

解不等式：

x＜

将m=5n代入得：

∴x＜

故选：B

【点睛】

本题考查解含有参数的不等式，解题关键在在系数化为1的过程中，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号.

11．0

【解析】

【详解】

解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的整数解为﹣1，0，1…50，

∴所有整数解的积为0，

故答案为0．

【点睛】

本题考查求一元一次不等式组的整数解，准确计算是关键，难度不大．

12．

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质得出1﹣a＜0，再由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．

【详解】

解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为，

∴1﹣a＜0，解得a＞1，即，

∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质及绝对值的化简求值，解题的关键是掌握不等式的基本性质和绝对值的化简．

13．2

【解析】

【分析】

解不等式组得到x的范围，再根据绝对值的性质化简．

【详解】

解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为：，

∴

=

=

=2

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了解不等式组，绝对值的性质，解题的关键是解不等式组得到x的范围．

14．3

【解析】

【分析】

根据不等式的解集，可得关于a，b的方程组，解方程组可得a，b的值，然后代入即可求得答案．

【详解】

解：

由不等式①得：，

由不等式②得：，

由数轴可得，原不等式组的解集为：，

∴

解得：

∴

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，代数式的值，解不等式组，利用不等式组的解集得出关于a，b的方程组是解题关键．

15．5

【解析】

【详解】

解：解不等式：

不等式两边同时乘以6得：3（3x-1）-14≥6x-2（5+2x）

去括号得：9x-3-14≥6x-10-4x

移项得：9x-14-6x+4x≥3-10

即7x≥7

∴x≥1

∴x+2＞0，

当1≤x≤3时，x+2＞0，则|3-x|-|x+2|=3-x-（x+2）=-2x+1则最大值是-1，最小值是-5；

当x＞3时，x+2＞0，则|3-x|-|x+2|=x-3-（x+2）=x-3-x-2=-5，是一定值．

总之，a=-5，b=-1，

∴ab=5

故答案为:5.

16．

【解析】

【分析】

先求出不等式组的解集（含字母a），因为不等式组有3个整数解，可逆推出a的值即可．

【详解】

解不等式4a+3x>0得：x>-a，

解不等式3a-4x≥0得：x≤a，

∴不等式的解集为：-a<x≤a，

∵方程组只有三个整数解，

∴方程组的解包括0，

∴方程组的整数解为：0、1、2或-1、0、1或-2、-1、0，

当整数解为0、1、2时： ，方程组无解，

当整数解为-1、0、1时：，解得：≤a≤，

当整数解为-2、-1、0时： 方程组无解，

∴a的取值范围为：≤a≤，

故答案为≤a≤

【点睛】

解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

17．(1)；

(2)；

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得；

（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得；

（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

(1)

解：去括号，得： ，

移项，得： ，

合并同类项，得：x＞﹣19；

(2)

解：去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣1）＜6，

去括号，得：3x+3﹣2x+2＜6，

移项，得：3x﹣2x＜6﹣3﹣2，

合并同类项，得：x＜1；

(3)

解：解不等式3x﹣1≤11，得：x≤4，

解不等式2x＜3（x﹣1）+2，得：x＞1，

所以不等式组的解集为1＜x≤4．

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18．(1)

(2)

(3)数轴见详解

(4)

【解析】

【分析】

（1）（2）根据一元一次不等式的解法可直接进行求解；

（3）根据（1）（2）可在数轴上表示出不等式的解集；

（4）根据数轴可直接进行求解．

(1)

解：解不等式①得：；

故答案为；

(2)

解：解不等式②得：；

故答案为；

(3)

解：数轴如下：

(4)

解：原不等式组的解集为．

【点睛】

本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．

19．(1)购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元．

(2)80个

【解析】

【分析】

（1）设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元，根据“购买2个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需35元，购买1个甲种纪念品和4个乙种纪念品共需30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买m个甲种纪念品，则购买（100−m）个乙种纪念品，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

(1)

设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元，

依题意得：，

解得：

答：购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元．

(2)

设购买m个甲种纪念品，则购买（100−m）个乙种纪念品，

依题意得：10m＋5（100−m）≤900，

解得：m≤80．

答：最多买80个甲种纪念品．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

20．(1)设每套队服售价90元，则每个足球售价为150元

(2)甲商场购买装备所花费用（150a+7500）元，乙商场购买装备所花费用：（120a+9000）元

(3)当购买足球数大于10而小于50时，到甲商场更优惠；当购买足球数等于50时，到甲、乙商场一样优惠；当购买足球数大于50时，到乙商场更优惠

【解析】

【分析】

（1）设每套队服售价x元，根据5套队服与3个足球的费用相等得：5x=3（x+60），即可解得答案；

（2）根据商场优惠方案即得甲商场购买装备所花费用为（150a+7500）元，乙商场购买装备所花费用为（120a+9000）元；

（3）根据150a+7500=120a+9000，可得购买足球50个时，到两个商场所花费用相同，由150a+7500＜120a+9000和150a+7500＞120a+9000可解得答案．

(1)

解：设每套队服售价x元，则每个足球售价为（x+60）元，

根据题意得：5x=3（x+60），

解得：x=90，

∴x+60=150，

答：每套队服售价90元，则每个足球售价为150元；

(2)

解：甲商场购买装备所花费用：100×90+150（a-10）=（150a+7500）元，

乙商场购买装备所花费用：100×90+0.8×150a=（120a+9000）元；

(3)

解：根据题意得：150a+7500=120a+9000，

解得a=50，即购买足球50个时，到两个商场所花费用相同，

若150a+7500＜120a+9000，解得a＜50，

若150a+7500＞120a+9000，解得a＞50，

答：当购买足球数大于10而小于50时，到甲商场更优惠；

当购买足球数等于50时，到甲、乙商场一样优惠；

当购买足球数大于50时，到乙商场更优惠．

【点睛】

本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和不等式．

21．(1)D、E；5

(2)0.5

(3)

【解析】

【分析】

（1）根据“中位对称”的定义求出中点再去判断即可；

（2）根据“中位对称”的定义求出中点再去判断即可；

（3）分别表示出表示的数，再分别求与点A关于线段O'B'“中位对称”，对称时的d值即可，需要注意向左或右两种情况．

(1)

点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2，点C、D、E表示的数分别为﹣3，1.5，4

∴线段AC的中点表示的数为-2，不在线段OB上，不与点A关于线段OB“中位对称”；

线段AD的中点表示的数为0.25，在线段OB上，D与点A关于线段OB“中位对称”；

线段AE的中点表示的数为1.5，在线段OB上，E与点A关于线段OB“中位对称”；

∴D、E与点A关于线段OB“中位对称”；

∵点F表示的数为t

∴线段AF的中点表示的数为

∴若点A与点F关于线段OB“中位对称”，

∴点F在线段OB上，

∴当AF中点与B重合时 t最大，此时，解得，即t的最大值是5

(2)

∵点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2

∴线段AE的中点表示的数为0.5，

∵点A与点B关于线段OH“中位对称”，

∴0.5在线段OH上

∴线段OH的最小值是0.5

(3)

当向左平移时，表示的数是，表示的数是

线段的中点表示的数为,线段的中点表示的数为,

当与点A关于线段O'B'“中位对称”时，

∴线段的中点在上，

∴

∴

当与点A关于线段O'B'“中位对称”时，线段的中点在上，

∴

∴

∵线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称”

∴当向左平移时，

同理，当向右平移时，d不存在

综上若线段O'B'上（除端点外）的所有点都与点A关于线段O'B'“中位对称”

【点睛】

本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是根据“中位对称”的定义进行解题，同时熟记数轴上中点公式也是解题的关键点．

22．(1)1辆型车和1辆型车一次分别可以运货3吨，4吨；

(2)有3种，，；，；，；

(3)型车1辆，型车7辆时，租车费为940元，租车费最少．

【解析】

【分析】

（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求；

（2）根据某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案．

（3）分别计算各方案的租车费即可解答．

(1)

解：（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，

根据题意得：，

解得：，

则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货3吨，4吨；

(2)

某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，

，

则有，

解得：，

为整数，

，2，，10，

为整数，

，5，9，

，；，；，，

满足条件的租车方案一共有3种，，；，；，；

(3)

型车每辆需租金100元次，型车每辆需租金120元次，

当，，租车费用为：元；

当，，租车费用为：元；

当，，租车费用为：元，

当租用型车1辆，型车7辆时，，租车费为940元，租车费最少．

【点睛】

此题考查了二元一次方程的应用，不等式的应用，弄清题意，正确找出本题中的等量关系和不等关系是解本题的关键．

23．（1）和；（2）3.5或8；（3）

【解析】

【分析】

（1）首先点不在线段AB上，即点不是线段AB的闭二倍关联点；然后求出，，得到，则点线段AB的闭二倍关联点，同理即可判断点线段AB的闭二倍关联点；

（2）设点B表示的数为x，然后求出，，再分当时，即，当时，即，两种情况讨论求解即可；

（3）设点B表示的数为y，先求出，，当时，即

当时，即，两种情况讨论求解即可．

【详解】

解：（1）∵点A表示数-1，点B表示的数5，点表示的数为-3，

∴点不在线段AB上，即点不是线段AB的闭二倍关联点；

∵点A表示数-1，点B表示的数5，点表示的数为1，

∴，，

∴，

∴点线段AB的闭二倍关联点，

同理，，

∴，

∴点线段AB的闭二倍关联点，

故答案为：和；

（2）设点B表示的数为x，

∵点C是线段AB的闭二倍关联点，

∴，，

当时，即，

解得；

当时，即，

解得；

故答案为：3.5或8；

（3）设点B表示的数为y，

∵点M是线段AB的闭二倍关联点，

∴，，

当时，即，

∴，

∵B在线段CD上，且C、D表示的数分别为4、7，

∴

∴；

当时，即，

∴，

∵B在线段CD上，且C、D表示的数分别为4、7，

∴

∴；

∴综上所述，．

【点睛】

本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，解题的关键在于正确理解题意．