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2022年江西省中考数学试卷解析版
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这是一份2022年江西省中考数学试卷解析版，共42页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江西省中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
4．（3分）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝ ．
8．（3分）正五边形的外角和为 度．
9．（3分）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
10．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ．
11．（3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
12．（3分）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣2|+﹣20；
（2）解不等式组：．
14．（6分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
解：原式＝[﹣]×①
＝[﹣]×②
＝×③
…
解：
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
16．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
17．（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，点C的坐标为 （用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
19．（8分）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
20．（8分）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数
人数
类别
0
1
2
3
4及以上
合计
“双减”前
102
48
75
51
24
m
“双减”后
255
15
24
n
0
m
（1）根据表1，m的值为 ，的值为 ；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）
2022年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
【分析】根据负数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，
故选：A．
【点评】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“﹣”得到负数是解题的关键．
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案．
【解答】解：根据数轴得：a＜b，|a|＞|b|，故C选项符合题意，A，B，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项；根据去括号法则判断B选项；根据单项式乘多项式判断C选项；根据完全平方公式判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．
4．（3分）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
5．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：如图，它的俯视图为：
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．
6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝ a（a﹣3） ．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
8．（3分）正五边形的外角和为 360 度．
【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．
【解答】解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．
9．（3分）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 1 ．
【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
10．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ＝ ．
【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．
【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：
＝．
故答案为：＝．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．（3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，
长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
则长方形的对角线长＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
12．（3分）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 5或2或 ．
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【解答】解：当AO＝AB时，AB＝5；
当AB＝BO时，AB＝5；
当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），
∵OA＝5，
∴＝5，
解得：a1＝3，a2＝4，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB＝＝2或AB＝＝；
综上所述，AB的长为5或2或．
故答案为：5或2或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当OA＝OB时，求出点A的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣2|+﹣20；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1，
＝3．
（2）
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3．
【点评】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（6分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
解：原式＝[﹣]×①
＝[﹣]×②
＝×③
…
解：
（1）上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）原式＝[﹣]×，
＝[﹣]×，
＝×，
＝×，
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 C 事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；
（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：C；
（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A）的结果有6种，
则P（A）＝＝，
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，作射线BP即可；
（2）利用是相结合的射线画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，射线BP即为所求；
（2）如图2中，直线l即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；
（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝＝9．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 （0，2） ，点D的坐标为 （1，0） ，点C的坐标为 （m+1，2） （用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【解答】解：（1）由题意得：B（0，2），D（1，0），
由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
∵点A（m，4），
∴C（m+1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m+1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4m＝2（m+1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y＝nx+b，
，
解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．
【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
19．（8分）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB＝120°，由切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，可得∠OPA＝30°，从而得PA的长．
【解答】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵OA＝2，
∴OP＝2OA＝4，
∴PA＝＝2．
【点评】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．
20．（8分）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；
（2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用∠A的正弦可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
Rt△APG中，sinA＝，
∴＝0.96，
∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数
人数
类别
0
1
2
3
4及以上
合计
“双减”前
102
48
75
51
24
m
“双减”后
255
15
24
n
0
m
（1）根据表1，m的值为 300 ，的值为 0.02 ；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 1 ，“双减”后学生报班个数的众数为 0 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定m的值，然后再计算求得n值，从而求解；
（2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比；
（3）①根据中位数和众数的概念分析求解；
②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．
【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，
n＝m﹣（255+15+24）＝6，
∴＝＝0.02，
故答案为：300；0.02；
（2）汇总表1和图1可得：
0
1
2
3
4及以上
总数
“双减”前
172
82
118
82
46
500
“双减”后
423
24
40
12
1
500
×100%＝24%，
答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为24%；
（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，
∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，
“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，
∴“双减”后学生报班个数的众数为0，
故答案为：1；0；
②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
【点评】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．
22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 66 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b＞ ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 1 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 1 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 S1＝S ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）
【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．利用全等三角形的性质证明即可；
（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM＝ON，可得结论；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM＝∠CON＝30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM＝ON，
∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON＝∠EOF＝90°，
∴∠MOJ＝∠NOK，
∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ＝S△ONK，
∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，
∴S1＝S．
故答案为：1，1，S1＝S．
（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT＝CT，
∵BM＝CN，
∴MT＝TN，
∵OT⊥MN，
∴OM＝ON，
∵∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM＝∠CON＝30°，
∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，
∵BJ＝JC＝OJ＝1，
∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，
∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，
∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．
（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，
∴MN＝2MQ＝2tan，
∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．
如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．
同法可证△COM≌△CON，
∴∠COM＝α，
∵∠COQ＝45°，
∴∠MOQ＝45°﹣α，
QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），
∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），
∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022年江西省中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
4．（3分）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝ ．
8．（3分）正五边形的外角和为 度．
9．（3分）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
10．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ．
11．（3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
12．（3分）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣2|+﹣20；
（2）解不等式组：．
14．（6分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
解：原式＝[﹣]×①
＝[﹣]×②
＝×③
…
解：
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
16．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
17．（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，点C的坐标为 （用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
19．（8分）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
20．（8分）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数
人数
类别
0
1
2
3
4及以上
合计
“双减”前
102
48
75
51
24
m
“双减”后
255
15
24
n
0
m
（1）根据表1，m的值为 ，的值为 ；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）
2022年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．
【分析】根据负数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，
故选：A．
【点评】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“﹣”得到负数是解题的关键．
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案．
【解答】解：根据数轴得：a＜b，|a|＞|b|，故C选项符合题意，A，B，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n
C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项；根据去括号法则判断B选项；根据单项式乘多项式判断C选项；根据完全平方公式判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．
4．（3分）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【解答】解：第1个图中H的个数为4，
第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，
第4个图中H的个数为4+2×3＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
5．（3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：如图，它的俯视图为：
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．
6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：a2﹣3a＝ a（a﹣3） ．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
8．（3分）正五边形的外角和为 360 度．
【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．
【解答】解：正五边形的外角和为360度，
故答案为：360．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．
9．（3分）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 1 ．
【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
10．（3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ＝ ．
【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．
【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：
＝．
故答案为：＝．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．（3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，
长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
则长方形的对角线长＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
12．（3分）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 5或2或 ．
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【解答】解：当AO＝AB时，AB＝5；
当AB＝BO时，AB＝5；
当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），
∵OA＝5，
∴＝5，
解得：a1＝3，a2＝4，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB＝＝2或AB＝＝；
综上所述，AB的长为5或2或．
故答案为：5或2或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当OA＝OB时，求出点A的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：|﹣2|+﹣20；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝2+2﹣1，
＝3．
（2）
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x＜3．
【点评】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（6分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
解：原式＝[﹣]×①
＝[﹣]×②
＝×③
…
解：
（1）上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）原式＝[﹣]×，
＝[﹣]×，
＝×，
＝×，
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
15．（6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 C 事件；
A．不可能
B．必然
C．随机
（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；
（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；
故答案为：C；
（2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A）的结果有6种，
则P（A）＝＝，
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（6分）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作∠ABC的角平分线；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，作射线BP即可；
（2）利用是相结合的射线画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，射线BP即为所求；
（2）如图2中，直线l即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．
（1）求证：△ABC∽△AEB；
（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；
（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD＝∠BCA，
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠BCA＝∠ABE，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
（2）解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝＝9．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，点A（m，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴上，OB＝2，将线段AB向右下方平移，得到线段CD，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且OD＝1．
（1）点B的坐标为 （0，2） ，点D的坐标为 （1，0） ，点C的坐标为 （m+1，2） （用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线AC的表达式．
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【解答】解：（1）由题意得：B（0，2），D（1，0），
由平移可知：线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，
∵点A（m，4），
∴C（m+1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m+1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4m＝2（m+1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：y＝nx+b，
，
解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6．
【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
19．（8分）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝∠AOB；
知识应用
（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB＝120°，由切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，可得∠OPA＝30°，从而得PA的长．
【解答】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵OA＝2，
∴OP＝2OA＝4，
∴PA＝＝2．
【点评】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．
20．（8分）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；
（2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用∠A的正弦可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
Rt△APG中，sinA＝，
∴＝0.96，
∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：
整理描述
表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）
报班数
人数
类别
0
1
2
3
4及以上
合计
“双减”前
102
48
75
51
24
m
“双减”后
255
15
24
n
0
m
（1）根据表1，m的值为 300 ，的值为 0.02 ；
分析处理
（2）请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；
（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：
①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 1 ，“双减”后学生报班个数的众数为 0 ；
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．
【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定m的值，然后再计算求得n值，从而求解；
（2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比；
（3）①根据中位数和众数的概念分析求解；
②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明．
【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，
n＝m﹣（255+15+24）＝6，
∴＝＝0.02，
故答案为：300；0.02；
（2）汇总表1和图1可得：
0
1
2
3
4及以上
总数
“双减”前
172
82
118
82
46
500
“双减”后
423
24
40
12
1
500
×100%＝24%，
答：“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为24%；
（3）①“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1，
∴“双减”前学生报班个数的中位数为1，
“双减”后学生报班个数出现次数最多的是0，
∴“双减”后学生报班个数的众数为0，
故答案为：1；0；
②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．
【点评】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．
22．（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 66 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b＞ ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 1 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 1 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 S1＝S ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．
（参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣）
【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．利用全等三角形的性质证明即可；
（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM＝ON，可得结论；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM＝∠CON＝30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM＝ON，
∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON＝∠EOF＝90°，
∴∠MOJ＝∠NOK，
∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ＝S△ONK，
∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，
∴S1＝S．
故答案为：1，1，S1＝S．
（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT＝CT，
∵BM＝CN，
∴MT＝TN，
∵OT⊥MN，
∴OM＝ON，
∵∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM＝∠CON＝30°，
∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，
∵BJ＝JC＝OJ＝1，
∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，
∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，
∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．
（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，
∴MN＝2MQ＝2tan，
∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．
如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．
同法可证△COM≌△CON，
∴∠COM＝α，
∵∠COQ＝45°，
∴∠MOQ＝45°﹣α，
QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），
∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），
∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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