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数学第4章 锐角三角函数综合与测试复习课件ppt
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这是一份数学第4章 锐角三角函数综合与测试复习课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了要点梳理，锐角三角函数，a2＋b2＝c2，∠A＝90°－∠B，解直角三角形，cos90°－α，sin90°－α，第二步输入角度值，第二步输入函数值，方法①等内容，欢迎下载使用。
(2)∠A的余弦：csA = = ；(3)∠A的正切：tanA = = .
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边．
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；cs30°＝ ，cs45°＝ ，cs60°＝ ；tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2. 特殊角的三角函数
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边．
三边关系：___________；两锐角关系：________________；边角关系：sinA＝csB＝___，csA＝sinB＝___，tanA＝_______，tanB＝_______.
(2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素．
◑解法：①知一边一锐角，先由两锐角互余关系求 出另一锐角；若知斜边则用正弦(或余弦)求另两 边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或 勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另 一边，再用三角函数求锐角；③解斜三角形的问 题可通过添加辅助线转化为解直角三角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，csα = _____________，sin2α + cs2α = .tanα · tan(90°－α) =___.
对于 sin α 与 tan α，角度越大，函数值越 ；对于 cs α，角度越大，函数值越___ _.
(4) 锐角三角函数的增减性
(1) 利用计算器求三角函数值
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果.
(不同计算器操作可能不同)
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
第二步：输入锐角函数值
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图：
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α， 则有 i = tan α. 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i =1∶6.显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作 i，即 i = .
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案．
①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α；
②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l；
③量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN = ME + EN = l · tanα + a.
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α；
②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β；
③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距 离 AB = b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
例 1 在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，则 tan B 的值为 ( )A. B. C. D.
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是____.
例 2 如图，矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将△CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上，求 tan∠AFE 的值．
分析：根据题意，易得∠AFE =∠BCF，而在 Rt△BFC 中，易得 BC = 8，CF = 10，由勾股定理可求得 BF 的长，从而求得 tan∠BCF，即得 tan∠AFE 的值.
解：由折叠可得 CF = CD = 10，∠EFC = ∠EDC = 90°.∵∠AFE +∠EFC +∠BFC = 180°，∴∠AFE +∠BFC = 90°.∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF.在 Rt△BFC 中，BC = 8，CF = 10，由勾股定理得 BF = 6.
解：在 Rt△ABD 中，∵ tan∠BAD = ∴ BD = AD·tan∠BAD = 12× = 9.∴ CD = BC－BD = 14－9 = 5.∴∴ sinC =
(1) tan 30°＋cs 45°＋tan 60°；
(2) tan 30°· tan 60°＋ cs2 30°.
例 4 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点 D 在 BC 上，BD = 4，AD = BC，cs∠ADC = ．(1) 求 CD 的长；
分析：图中给出了两个直角三角形，CD 可在 Rt△ACD 中求得，由 AD = BC，CD = BC－BD，以及 cs∠ADC 的值，可列方程求出CD．
又 BC－CD = BD，
解得 x = 6，∴CD = 6.
(2) 求 sin B 的值．
解：BC = BD + CD = 4 + 6 = 10 = AD.
在 Rt△ACD 中，
在 Rt△ABC 中，
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
解：在Rt△ADC中，
∴BD = 2AD = 4.
∴ BC = BD + DC = 5.
∴△ABC 的周长为 AB + BC + AC
例5 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥BC，α = 60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β = 45°．若原坡长 AB = 20 m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号)
解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，在 Rt△ABF 中，∠ABF =∠α = 60°，则 AF = AB·sin60° = (m)，在 Rt△AEF 中，∠E =∠β = 45°，则 (m).故改造后的坡长 AE 为 m.
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为 45°，高 10 米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后背水坡 EF 的坡比 i =1: ．求加固后坝底增加的宽度 AF. (结果保留根号)
解：作 DG⊥AB 于点 G，EH⊥AB 于点 H.则 GH = DE = 2 米，EH = DG = 10 米.
又∵AG = DG = 10 米，
∴ (米).故加固后坝底增加的宽度 AF 为 米.
例 6 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在A处测得大树顶端B的仰角是 48°，若坡角∠FAE = 30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48° ≈ 0.74，cs48° ≈ 0.67，tan48° ≈ 1.11， ≈ 1.73）.
解：如图，作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H．则四边形 DHCG 为矩形．故 DG = CH，CG = DH，在 Rt△AHD 中，∵∠DAH = 30°，AD = 6，∴ DH = 3，AH = . ∴ CG = 3.设 BC 为 x.在 Rt△ABC 中，
在 Rt△BDG 中，∵ BG = DG · tan30°，解得 x ≈ 13．∴ 大树的高度为 13 米.
如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30°，在 A，C 之间选择一点 B（A，B，C 三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75°，且 AB 间的距离为 40 m． (1) 求点 B 到 AD 的距离；
答案：点 B 到 AD 的距离为 20 m.
(2) 求塔高 CD（结果用根号表示）．
解：在 Rt△ABE 中，∠A = 30°，∴ AE = ，∠ABE = 60°.∵∠DBC = 75°，∴∠EBD = 180°－60°－75° = 45°.∴ DE = EB = 20 m.则 AD = AE + EB = (m).在 Rt△ADC 中，∠A = 30°，答：塔高 CD 为 m.
例7 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO = 45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h 和 36 km/h，经过 0.1 h，轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得∠DBO = 58°，此时 B 处距离码头 O 多远？（参考数据：sin58° ≈ 0.85，cs58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60）
解：设 BO = x km.在 Rt△CAO 中，∠CAO = 45°，∴CO = AO · tan∠CAO = (45×0.1 + x) tan45° = 4.5 + x.在 Rt△DBO 中，∠DBO = 58°，∴ DO = BO · tan∠DBO = x · tan58°.∵ DC = DO－CO，∴ 36×0.1 = x · tan58°－(4.5 + x).故 B 处距离码头 O 大约 13.5 km.
某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海，径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶到海岸线上的 D 处，再向 B 处游去．若 CD＝40米，B 在 C 的北偏东 35° 方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 (参考数据：sin55° ≈ 0.82，cs55° ≈ 0.57，tan55° ≈ 1.43).
分析： 在 Rt△CDB 中，利用三角函数即可求得 BC，BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∴ BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55° ≈ 57.2 (米)． BC＝ ＝ ≈ 70.2(米)．∴ t甲 ≈ 57.2÷2＋10＝38.6 (秒)， t乙 ≈ 70.2÷2＝35.1 (秒)．∴ t甲>t乙．答：乙先到达 B 处．
(2)∠A的余弦：csA = = ；(3)∠A的正切：tanA = = .
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边．
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；cs30°＝ ，cs45°＝ ，cs60°＝ ；tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2. 特殊角的三角函数
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边．
三边关系：___________；两锐角关系：________________；边角关系：sinA＝csB＝___，csA＝sinB＝___，tanA＝_______，tanB＝_______.
(2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素．
◑解法：①知一边一锐角，先由两锐角互余关系求 出另一锐角；若知斜边则用正弦(或余弦)求另两 边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或 勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另 一边，再用三角函数求锐角；③解斜三角形的问 题可通过添加辅助线转化为解直角三角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，csα = _____________，sin2α + cs2α = .tanα · tan(90°－α) =___.
对于 sin α 与 tan α，角度越大，函数值越 ；对于 cs α，角度越大，函数值越___ _.
(4) 锐角三角函数的增减性
(1) 利用计算器求三角函数值
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果.
(不同计算器操作可能不同)
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
第二步：输入锐角函数值
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图：
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α， 则有 i = tan α. 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i =1∶6.显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作 i，即 i = .
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案．
①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α；
②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l；
③量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN = ME + EN = l · tanα + a.
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α；
②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β；
③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距 离 AB = b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
例 1 在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，则 tan B 的值为 ( )A. B. C. D.
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是____.
例 2 如图，矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将△CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上，求 tan∠AFE 的值．
分析：根据题意，易得∠AFE =∠BCF，而在 Rt△BFC 中，易得 BC = 8，CF = 10，由勾股定理可求得 BF 的长，从而求得 tan∠BCF，即得 tan∠AFE 的值.
解：由折叠可得 CF = CD = 10，∠EFC = ∠EDC = 90°.∵∠AFE +∠EFC +∠BFC = 180°，∴∠AFE +∠BFC = 90°.∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF.在 Rt△BFC 中，BC = 8，CF = 10，由勾股定理得 BF = 6.
解：在 Rt△ABD 中，∵ tan∠BAD = ∴ BD = AD·tan∠BAD = 12× = 9.∴ CD = BC－BD = 14－9 = 5.∴∴ sinC =
(1) tan 30°＋cs 45°＋tan 60°；
(2) tan 30°· tan 60°＋ cs2 30°.
例 4 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点 D 在 BC 上，BD = 4，AD = BC，cs∠ADC = ．(1) 求 CD 的长；
分析：图中给出了两个直角三角形，CD 可在 Rt△ACD 中求得，由 AD = BC，CD = BC－BD，以及 cs∠ADC 的值，可列方程求出CD．
又 BC－CD = BD，
解得 x = 6，∴CD = 6.
(2) 求 sin B 的值．
解：BC = BD + CD = 4 + 6 = 10 = AD.
在 Rt△ACD 中，
在 Rt△ABC 中，
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
解：在Rt△ADC中，
∴BD = 2AD = 4.
∴ BC = BD + DC = 5.
∴△ABC 的周长为 AB + BC + AC
例5 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥BC，α = 60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β = 45°．若原坡长 AB = 20 m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号)
解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，在 Rt△ABF 中，∠ABF =∠α = 60°，则 AF = AB·sin60° = (m)，在 Rt△AEF 中，∠E =∠β = 45°，则 (m).故改造后的坡长 AE 为 m.
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为 45°，高 10 米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后背水坡 EF 的坡比 i =1: ．求加固后坝底增加的宽度 AF. (结果保留根号)
解：作 DG⊥AB 于点 G，EH⊥AB 于点 H.则 GH = DE = 2 米，EH = DG = 10 米.
又∵AG = DG = 10 米，
∴ (米).故加固后坝底增加的宽度 AF 为 米.
例 6 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在A处测得大树顶端B的仰角是 48°，若坡角∠FAE = 30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48° ≈ 0.74，cs48° ≈ 0.67，tan48° ≈ 1.11， ≈ 1.73）.
解：如图，作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H．则四边形 DHCG 为矩形．故 DG = CH，CG = DH，在 Rt△AHD 中，∵∠DAH = 30°，AD = 6，∴ DH = 3，AH = . ∴ CG = 3.设 BC 为 x.在 Rt△ABC 中，
在 Rt△BDG 中，∵ BG = DG · tan30°，解得 x ≈ 13．∴ 大树的高度为 13 米.
如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30°，在 A，C 之间选择一点 B（A，B，C 三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75°，且 AB 间的距离为 40 m． (1) 求点 B 到 AD 的距离；
答案：点 B 到 AD 的距离为 20 m.
(2) 求塔高 CD（结果用根号表示）．
解：在 Rt△ABE 中，∠A = 30°，∴ AE = ，∠ABE = 60°.∵∠DBC = 75°，∴∠EBD = 180°－60°－75° = 45°.∴ DE = EB = 20 m.则 AD = AE + EB = (m).在 Rt△ADC 中，∠A = 30°，答：塔高 CD 为 m.
例7 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO = 45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h 和 36 km/h，经过 0.1 h，轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得∠DBO = 58°，此时 B 处距离码头 O 多远？（参考数据：sin58° ≈ 0.85，cs58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60）
解：设 BO = x km.在 Rt△CAO 中，∠CAO = 45°，∴CO = AO · tan∠CAO = (45×0.1 + x) tan45° = 4.5 + x.在 Rt△DBO 中，∠DBO = 58°，∴ DO = BO · tan∠DBO = x · tan58°.∵ DC = DO－CO，∴ 36×0.1 = x · tan58°－(4.5 + x).故 B 处距离码头 O 大约 13.5 km.
某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海，径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶到海岸线上的 D 处，再向 B 处游去．若 CD＝40米，B 在 C 的北偏东 35° 方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 (参考数据：sin55° ≈ 0.82，cs55° ≈ 0.57，tan55° ≈ 1.43).
分析： 在 Rt△CDB 中，利用三角函数即可求得 BC，BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∴ BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55° ≈ 57.2 (米)． BC＝ ＝ ≈ 70.2(米)．∴ t甲 ≈ 57.2÷2＋10＝38.6 (秒)， t乙 ≈ 70.2÷2＝35.1 (秒)．∴ t甲>t乙．答：乙先到达 B 处．
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