2023年高考数学(文数)一轮复习课时23《解三角形的实际应用举例》达标练习（2份，答案版+教师版）

2023年高考数学(文数)一轮复习课时23

《解三角形的实际应用举例》达标练习

一 、选择题

1.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)

A.50 m         B.100 m      C.120 m         D.150 m

2.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km).AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)

A.7 km         B.8 km        C.9 km         D.6 km

3.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(　 　)

A. km2      B. km2        C. km2      D. km2

4.在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=－3，则BC边上的高等于(　　)

A.1        B.      C.        D.2

5.如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西－α方向，且cos α=，则B，C之间的距离是(　　)

A.30千米　   B.30千米        C.12千米          D.12千米

6.如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，则∠DEF的余弦值为(　 　)

A.         B.          C.         D.

7.为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D之间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内，海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为 海里，则C，D之间的距离为(　　)

A. 海里        B.2 海里     C.() 海里     D.(＋1) 海里

8.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A.50 m          B.50 m      C.25 m           D. m

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B=asin A，

则△ABC的形状为(　　)

A.锐角三角形      B.直角三角形     C.钝角三角形     D.不确定

10.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)

A.5         B.15           C.5         D.15

11.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　A　)

A.7 km        B.8 km         C.9 km        D.6 km

12.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)

A.        B.     C.        D.

二 、填空题

13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=________m.

14.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，

则BC的长为________.

15.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为__________小时.

16.如图，测量河对岸塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于     .

0.答案解析

1.答案为：A；

解析：作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，

则在△ABC中，A=60°，AC=h，AB=100，在Rt△BCD中，BC=h，

根据余弦定理得，(h)2=h2＋1002－2·h·100·cos 60°，

即h2＋50h－5 000=0，即(h－50)(h＋100)=0，即h=50，故水柱的高度是50 m.

2.答案为：A；

解析：在△ACD中，由余弦定理得：cos D==.

在△ABC中，由余弦定理得：cos B==.

因为∠B＋∠D=180°，所以cos B＋cos D=0，即＋=0，解得AC=7.

3.答案为：D.

解析：连接AC，根据余弦定理可得AC= km，故△ABC为直角三角形.

且∠ACB=90°，∠BAC=30°，故△ADC为等腰三角形，设AD=DC=x km，

根据余弦定理得x2＋x2＋x2=3，即x2==3×(2－)，

所以所求的面积为×1×＋×3×(2－)×==(km2).

4.答案为：A；

解析：因为tan∠BAC=－3，所以sin∠BAC=，cos∠BAC=－.

由余弦定理，得BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC=5＋2－2×××=9，

所以BC=3，所以S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×××=，

所以BC边上的高h===1，故选A.

5.答案为：D

解析：依题意得，

AC=2，sin∠BAC=sin(+α)=cos α=，

sin B=sin( -2α)=cos 2α=2cos2α－1=，

在△ABC中，由正弦定理得，BC==12，则B与C之间的距离是12千米.

6.答案为：A；

解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，

则DF===10(m)，DE===130(m)，

EF===150(m).

在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF===.

7.答案为：A

解析：∠ADB=180°－30°－45°－45°=60°，

在△ABD中，由正弦定理，得BD==，

在△ABC中，∠ACB=180°－30°－45°－75°=30°，

所以BC=BA=，

在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2＋BD2－2BC·BDcos∠DBC

=3＋()2－2×××=5，所以CD=.

8.答案为：A

解析：由正弦定理得=，∴AB==50，

故A，B两点的距离为50 m.

9.答案为：B；

解析：由已知及正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B=sin2A，即sin(B＋C)=sin2A，

又sin(B＋C)=sin A，∴sin A=1，∴A=.故选B.

10.答案为：D；

解析：在△BCD中，∠CBD=180°－15°－30°=135°.

由正弦定理得=，所以BC=15.

在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15×=15.

11.答案为：D；

解析：在△ACD中，由余弦定理得：cosD==.

在△ABC中，由余弦定理得：cosB==.

因为∠B＋∠D=180°，所以cosB＋cosD=0，即＋=0，解得AC=7.

12.答案为：C；

解析：由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，

即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cos A=≥=，

又0<A<π，所以0<A≤.故A的取值范围是.故选C.

二 、填空题

13.答案为：100.

解析：在△ABC中，∵∠BAC=30°，∠CBA=105°，∴∠ACB=45°.

又∵AB=600 m，∴由正弦定理=，得BC=300 m.

在Rt△BCD中，∠DBC=30°，BC=300 m，tan∠DBC==，∴DC=100 m.

14.答案为：8

解析：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，

即142=x2＋102－2·10x·cos 60°，整理得x2－10x－96=0，解得x1=16，x2=－6(舍去).

在△BCD中，由正弦定理：=，所以BC=·sin 30°=8.

15.答案为：.

解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，

如图，则由已知得△ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，

由余弦定理得：(21x)2=100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，

整理，得36x2－9x－10=0，解得x=或x=－(舍).

所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.

16.答案为：15.

解析：在△BCD中，∠CBD=180°－15°－30°=135°.

由正弦定理得=，所以BC=15.

在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15×=15.