2023年高考数学(文数)一轮复习课时22《正弦定理与余弦定理》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=60°，b=1，S△ABC=eq \r(3)，则c=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案解析】答案为：D
解析：∵S△ABC=eq \f(1,2)bcsin A，∴eq \r(3)=eq \f(1,2)×1×c×eq \f(\r(3),2)，∴c=4.
在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，若2sinC=sinA＋sinB，csC=eq \f(3,5)且S△ABC=4，则c=( )
A.eq \f(4\r(6),3) B.4 C.eq \f(2\r(6),3) D.5
【答案解析】答案为：A；
解析：因为2sinC=sinA＋sinB，所以由正弦定理可得2c=a＋b，①
由csC=eq \f(3,5)可得c2=a2＋b2－2abcsC=(a＋b)2－eq \f(16,5)ab，②
又由csC=eq \f(3,5)，得sinC=eq \f(4,5)，所以S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(2ab,5)=4，∴ab=10.③
由①②③解得c=eq \f(4\r(6),3)，故选A.
△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA=eq \f(7,8)，c－a=2，b=3，则a=( )
A.2 B.eq \f(5,2) C.3 D.eq \f(7,2)
【答案解析】答案为：A.
解析：由题意可得c=a＋2，b=3，csA=eq \f(7,8)，由余弦定理，得csA=eq \f(1,2)·eq \f(b2＋c2－a2,bc)，
代入数据，得eq \f(7,8)=eq \f(9＋a＋22－a2,2×3a＋2)，解方程可得a=2.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(c－b,c－a)=eq \f(sin A,sin C＋sin B)，则B等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(3π,4)
【答案解析】答案为：C；
解析：根据正弦定理eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)=2R，
得eq \f(c－b,c－a)=eq \f(sin A,sin C＋sin B)=eq \f(a,c＋b)，即a2＋c2－b2=ac，
得cs B=eq \f(a2＋c2－b2,2ac)=eq \f(1,2)，又0＜B＜π，所以B=eq \f(π,3)，故选C.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tan C=ab，则角C的大小为( )
A.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) B.eq \f(π,3)或eq \f(2π,2) C.eq \f(π,6) D.eq \f(2π,3)
【答案解析】答案为：A
解析：由题意知，eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(1,2tan C)⇒cs C=eq \f(cs C,2sin C)，∴sin C=eq \f(1,2).又C∈(0，π)，
∴C=eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).故选A.
平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（ ）
A.4 B. SKIPIF 1 < 0 C. D.
【答案解析】B.
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=eq \r(7)，c=4，cs B=eq \f(3,4)，则△ABC的面积为( )
A.3eq \r(7) B.eq \f(3\r(7),2) C.9 D.eq \f(9,2)
【答案解析】答案为：B；
解析：由余弦定理b2=c2＋a2－2accs B，得7=16＋a2－6a，解得a=3，
∵cs B=eq \f(3,4)，∴sin B=eq \f(\r(7),4)，∴S△ABC=eq \f(1,2)casin B=eq \f(1,2)×4×3×eq \f(\r(7),4)=eq \f(3\r(7),2).故选B.
△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b=c，a2=2b2(1－sin A)，则A=( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【答案解析】答案为：C
解析：由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccs A=2b2－2b2cs A，
所以2b2(1－sin A)=2b2(1－cs A)，所以sin A=cs A，即tan A=1，
又0 已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶eq \r(3)，则此三角形的最大内角为( )
A.60° B.90° C.120° D.135°
【答案解析】答案为：C；
解析：∵sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶eq \r(3)，∴a∶b∶c=1∶1∶eq \r(3)，
设a=m，则b=m，c=eq \r(3)m.∴cs C=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(m2＋m2－3m2,2m2)=－eq \f(1,2)，∴C=120°.
在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=3eq \r(2)，AD=eq \r(3)，sin∠ABC=eq \f(\r(3),3)，
则△ABC的面积是( )
A.6eq \r(2) B.eq \f(15\r(2),2) C.eq \f(9\r(2),2) D.12eq \r(2)
【答案解析】答案为：A；
解析：在△ADC中，因为AC=3eq \r(2)，AD=eq \r(3)，cs∠ADC=cs(∠ABC+eq \f(π,2))=－sin∠ABC=－eq \f(\r(3),3)，
所以代入AC2=AD2＋DC2－2AD·DC·cs∠ADC，可得DC2＋2DC－15=0，舍掉负根有DC=3.
所以BC=DCct∠ABC=3eq \r(2).AB=AD＋BD=AD＋eq \f(DC,sin∠ABC)=eq \r(3)＋3eq \r(3)=4eq \r(3).
于是根据三角形的面积公式有：S△ABC=eq \f(1,2)AB·BC·sin∠ABC=eq \f(1,2)·4eq \r(3)·3eq \r(2)·eq \f(\r(3),3)=6eq \r(2).故选A.
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(cs A,cs B)=eq \f(b,a)=eq \r(2)，则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
【答案解析】答案为：A
解析：因为eq \f(cs A,cs B)=eq \f(b,a)，由正弦定理得eq \f(cs A,cs B)=eq \f(sin B,sin A)，所以sin 2A=sin 2B.由eq \f(b,a)=eq \r(2)，
可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A=180°－2B，即A＋B=90°，
所以C=90°，于是△ABC是直角三角形.故选A.
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，C.若c2=(a－b)2＋6，C=eq \f(π,3)，则△ABC的面积是( )
A.3 B.eq \f(9\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),2) D.3eq \r(3)
【答案解析】答案为：C；
解析：c2=(a－b)2＋6，即c2=a2＋b2－2ab＋6.①
∵C=eq \f(π,3)，∴由余弦定理得c2=a2＋b2－ab，②
由①和②得ab=6，∴S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3\r(3),2)，故选C.
二、填空题
在△ABC中，B=eq \f(π,3)，AB=2，D为AB的中点，△BCD的面积为eq \f(3\r(3),4)，则AC等于________.
【答案解析】答案为：eq \r(7).
解析：因为S△BCD=eq \f(1,2)BD·BCsin B=eq \f(1,2)×1×BCsineq \f(π,3)=eq \f(3\r(3),4)，所以BC=3.
由余弦定理得AC2=4＋9－2×2×3cseq \f(π,3)=7，所以AC=eq \r(7).
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a=5，
tan B=－eq \f(4,3)，那么eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)=________.
【答案解析】答案为：eq \f(5\r(65),4).
解析：由tan B=－eq \f(4,3)，得sin B=eq \f(4,5)，cs B=－eq \f(3,5).
由△ABC的面积S=8，得S=eq \f(1,2)acsin B=8，解得c=4.
由余弦定理，得b2=a2＋c2－2accs B=25＋16－2×5×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))=65，则b=eq \r(65).
由正弦定理，得eq \f(a,sin A)=eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)，
则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)=eq \f(b,sin B)=eq \f(\r(65),\f(4,5))=eq \f(5\r(65),4).
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a＋c的最小值为 .
【答案解析】答案为：9；
解析：依题意画出图形，如图所示.
易知S△ABD＋S△BCD=S△ABC，即eq \f(1,2)csin60°＋eq \f(1,2)asin60°=eq \f(1,2)acsin120°，
∴a＋c=ac，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)=1，∴4a＋c=(4a＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,c)))=5＋eq \f(c,a)＋eq \f(4a,c)≥9，
当且仅当eq \f(c,a)=eq \f(4a,c)，即a=eq \f(3,2)，c=3时取“=”.
已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，A=eq \f(π,3)，且eq \f(\r(3),2)－sin(B－C)=sin2B，则△ABC的面积为 .
【答案解析】答案为：eq \r(3)或eq \f(2\r(3),3).
解析：∵A=eq \f(π,3)，且eq \f(\r(3),2)－sin(B－C)=sin2B，∴eq \f(\r(3),2)=sin2B＋sin(B－C)，
即sinA=sin2B＋sin(B－C)，又sinA=sin(B＋C)，
∴sinBcsC＋csBsinC=2sinBcsB＋sinBcsC－csBsinC，
即csBsinC=sinBcsB.当csB=0时，可得B=eq \f(π,2)，C=eq \f(π,6)，
∴S△ABC=eq \f(1,2)ac=eq \f(1,2)×2×2×taneq \f(π,6)=eq \f(2\r(3),3)；当csB≠0时，sinB=sinC，
由正弦定理可知b=c，∴△ABC为等腰三角形，
又∵A=eq \f(π,3)，∴a=b=c=2，∴S△ABC=eq \f(\r(3),4)a2=eq \r(3).
综上可知△ABC的面积为eq \r(3)或eq \f(2\r(3),3).