2023年高考数学(文数)一轮复习课时34《基本不等式》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A.y=x＋eq \f(1,x) B.y=cs x＋eq \f(1,cs x)(0＜x＜eq \f(π,2))
C.y=eq \f(x2＋3,\r(x2＋2)) D.y=ex＋eq \f(4,ex)－2
已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为( )
A.3 B.4 C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2)
若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B.2 C.2eq \r(2) D.4
已知a＋b=t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t=( )
A.2 B.4 C.2eq \r(2) D.2eq \r(5)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=eq \f(π,6)，a＋b=12，则△ABC面积的最大值为( )
A.8 B.9 C.16 D.21
若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A.a＋b≥2eq \r(ab) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(1, \r(ab)) C.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 D.a2＋b2>2ab
设x＞0，y＞0，且x＋4y=40，则lgx＋lgy的最大值是( )
A.40 B.10 C.4 D.2
下列不等式一定成立的是( )
A.lg(x2＋eq \f(1,4))>lgx(x>0)
B.sinx＋eq \f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2＋1)>1(x∈R)
当0＜m＜eq \f(1,2)时，若eq \f(1,m)＋eq \f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为( )
A.[－2，0)∪(0，4]
B.[－4，0)∪(0，2]
C.[－4，2]
D.[－2，4]
若对于任意的x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.a≥eq \f(1,5) B.a>eq \f(1,5) C.a 设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017=4 034，则eq \f(1,a9)＋eq \f(9,a2 009)的最小值为 .
设a>0,若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 ≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为( )
A.16 B.9 C.4 D.2
二、填空题
已知函数y=x＋eq \f(m,x－2)(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________.
若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)=1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________.
已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC的距离分别为m，n，则eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为________.
已知两条直线l1：y=m(m＞0)和l2：y=eq \f(8,2m＋1)，l1与函数y=|lg2x|的图象从左到右相交于点A，B，l2与函数y=|lg2x|的图象从左到右相交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，eq \f(b,a)的最小值为 .
\s 0 答案解析
答案为：D
解析：当x＜0时，y=x＋eq \f(1,x)≤－2，故A错误；因为0＜x＜eq \f(π,2)，所以0＜cs x＜1，
所以y=cs x＋eq \f(1,cs x)＞2，故B错误；因为y=eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))=eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))≥2，
当且仅当x2＋2=1时取等号，此时x无解，故C错误；
因为ex＞0，所以y=ex＋eq \f(4,ex)－2≥2eq \r(ex·\f(4,ex))－2=2，
当且仅当ex=eq \f(4,ex)，即ex=2时等号成立，故选D.
答案为：B
解析：因为x＋2y＋2xy＝8.所以y＝eq \f(8－x,2x＋1)>0，即－1所以x＋2y＝x＋2·eq \f(8－x,2x＋1)＝x＋1＋eq \f(9,x＋1)－2≥2 eq \r(9)－2＝4，
当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2，y＝1时，等号成立.故x＋2y的最小值是4.
答案为：C
解析：法一：由已知得eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(b＋2a,ab)＝ eq \r(ab)，且a>0，b>0，
∴ab eq \r(ab)＝b＋2a≥2 eq \r(2) eq \r(ab)，∴ab≥2 eq \r(2).
法二：由题设易知a＞0，b＞0，∴eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(2,ab))，即ab≥2eq \r(2)，故选C.
答案为：C.
解析：∵a>0，b>0，∴ab≤eq \f(a＋b2,4)=eq \f(t2,4)，当且仅当a=b=eq \f(t,2)时取等号.
∵ab的最大值为2，∴eq \f(t2,4)=2，t2=8.又t=a＋b>0，∴t=eq \r(8)=2eq \r(2).
答案为：B；
解析：由三角形的面积公式：S=eq \f(1,2)absin C=eq \f(1,4)ab≤eq \f(1,4)×(eq \f(a＋b,2))2=9，
当且仅当a=b=6时等号成立.则△ABC面积的最大值为9.
答案为：C
解析：因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时取等号.
答案为：D；
解析：因为x＋4y=40，且x＞0，y＞0，
所以x＋4y≥2eq \r(x·4y)=4eq \r(xy).(当且仅当x=4y时取“=”)
所以4eq \r(xy)≤40，所以xy≤100.所以lgx＋lgy=lgxy≤lg100=2.
所以lgx＋lgy的最大值为2.
答案为：C.
解析：对选项A，当x>0时，x2＋eq \f(1,4)－x=(x-eq \f(1,2))2≥0，所以lg(x2＋eq \f(1,4))≥lgx；
对选项B，当sinx<0时显然不成立；对选项C，x2＋1=|x|2＋1≥2|x|，一定成立；
对选项D，因为x2＋1≥1，所以0 答案为：D；
解析：因为0＜m＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)×2m×(1－2m)≤eq \f(1,2)×[ SKIPIF 1 < 0 ]2=eq \f(1,8)，
当且仅当2m=1－2m，即m=eq \f(1,4)时取等号，所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,1－2m)=eq \f(1,m（1－2m）)≥8，
又eq \f(1,m)＋eq \f(2,1－2m)≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.
所以实数k的取值范围是[－2，4].故选D.
答案为：A.
解析：由x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)=eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)，令t=x＋eq \f(1,x)，则t≥2eq \r(x·\f(1,x))=2，
当且仅当x=1时，t取得最小值2.eq \f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq \f(1,5)，
所以对于任意的x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a≥eq \f(1,5).
答案为：4.
解析：由等差数列的前n项和公式，
得S2 017=eq \f(2 017a1＋a2 017,2)=4 034，则a1＋a2 017=4.
由等差数列的性质得a9＋a2 009=4，
所以eq \f(1,a9)＋eq \f(9,a2 009)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a9)＋\f(9×4,a2 009)))=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a9＋a2 009,a9)＋\f(9a9＋a2 009,a2 009)))
=eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2 009,a9)＋\f(9a9,a2 009)))＋10))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(\f(a2 009,a9)×\f(9a9,a2 009))＋10))=4，
当且仅当a2 009=3a9时等号成立.
答案为：C；
二、填空题
答案为：4
解析：∵x＞2，m＞0，∴y=x－2＋eq \f(m,x－2)＋2≥2eq \r(（x－2）·\f(m,x－2))＋2=2eq \r(m)＋2，
当且仅当x=2＋eq \r(m)时取等号，又函数y=x＋eq \f(m,x－2)(x＞2)的最小值为6，
∴2eq \r(m)＋2=6，解得m=4.
答案为：8.
解析：[∵直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)=1(a>0，b>0)过点(1,2)，∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)=1，
∴2a＋b=(2a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(2,b))=4＋eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)≥4＋2eq \r(\f(4a,b)·\f(b,a))=8，
当且仅当eq \f(b,a)=eq \f(4a,b)，即a=2，b=4时，等号成立.故2a＋b的最小值为8.]
答案为：eq \f(9,2).
解析：如图所示，根据题意，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，
则PE=m，PF=n，
又由AB=AC，∠BAC=120°，得∠ABC=∠ACB=30°，
则PE=eq \f(1,2)PB，PF=eq \f(1,2)PC，即m=eq \f(1,2)PB，n=eq \f(1,2)PC.
由PB＋PC=BC=4，得m＋n=2，则eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)=(eq \f(4,m)＋eq \f(1,n))·eq \f(m＋n,2)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(4n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(9,2)，
即eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为eq \f(9,2)，此时m=2n.
答案为：8eq \r(2).
解析：根据题意得xA=2－m，xB=2m，xC=2 eq \s\up15(－eq \f(8,2m＋1)) ，xD=2 eq \s\up15(eq \f(8,2m＋1)) ，
所以a=|xA－xC|=|2－m－2 eq \s\up15(－eq \f(8,2m＋1)) |，b=|xB－xD|=|2m－2 eq \s\up15(eq \f(8,2m＋1)) |，
即eq \f(b,a)=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2m－2 eq \s\up15(eq \f(8,2m＋1)) ,2－m－2 eq \s\up15(－eq \f(8,2m＋1)) )))=2 eq \s\up15(eq \f(8,2m＋1)) ·2m=2 eq \s\up15(eq \f(8,2m＋1)) ＋m.
因为m＞0，所以eq \f(8,2m＋1)＋m=eq \f(1,2)(2m＋1)＋eq \f(8,2m＋1)－eq \f(1,2)≥2 eq \r(\f(1,2)2m＋1·\f(8,2m＋1))－eq \f(1,2)=eq \f(7,2)，
当且仅当eq \f(1,2)(2m＋1)=eq \f(8,2m＋1)，即m=eq \f(3,2)时取等号，所以eq \f(b,a)的最小值为2eq \f(7,2)=8eq \r(2).