2023年高考数学(文数)一轮复习课时41《直线的倾斜角与斜率直线方程》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
直线x=eq \f(π,4)的倾斜角等于( )
A.0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D.π
【答案解析】答案为：C.
解析：由直线x=eq \f(π,4)，知倾斜角为eq \f(π,2).
若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，
则直线l的斜率为( )
A.eq \f(1,3) B.－eq \f(1,3) C.－eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【答案解析】答案为：B.
解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝－3，))从而可知直线l的斜率为eq \f(－3－1,7＋5)=－eq \f(1,3).
直线x＋(a2＋1)y＋1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
【答案解析】答案为：B；
解析：由直线方程可得该直线的斜率为－eq \f(1,a2＋1)，
又－1≤－eq \f(1,a2＋1)＜0，所以倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是( )
A.[－eq \r(3)，1] B.(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
C.[- eq \f(\r(3),3),1] D.(－∞，－eq \f(\r(3),3)]∪[1，＋∞)
【答案解析】答案为：B
解析：因为kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，所以k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞).
已知点P(x，y)在直线x＋y－4=0上，则x2＋y2的最小值是( )
A.8 B.2eq \r(2) C.eq \r(2) D.16
【答案解析】答案为：A.
解析：∵点P(x，y)在直线x＋y－4=0上，∴y=4－x，
∴x2＋y2=x2＋(4－x)2=2(x－2)2＋8，当x=2时，x2＋y2取得最小值8.
直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率取值范围是( )
A.－1＜k＜eq \f(1,5) B.k＞1或k＜eq \f(1,2) C.k＞eq \f(1,5)或k＜1 D.k＞eq \f(1,2)或k＜－1
【答案解析】答案为：D；
解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2=k(x－1)，
令y=0，得直线l在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，则－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解得k＞eq \f(1,2)或k＜－1.
直线l：xsin 30°＋ycs 150°＋1=0的斜率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3) C.－eq \r(3) D.－eq \f(\r(3),3)
【答案解析】答案为：A；
解析：设直线l的斜率为k，则k=－eq \f(sin 30°,cs 150°)=eq \f(\r(3),3).
已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )
A.4x－3y－3=0 B.3x－4y－3=0 C.3x－4y－4=0 D.4x－3y－4=0
【答案解析】答案为：D
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：x－2y－2=0的斜率为eq \f(1,2)，则tan α=eq \f(1,2)，
所以直线l的斜率k=tan 2α=eq \f(2tan α,1－tan2α)=eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)=eq \f(4,3).
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0=eq \f(4,3)(x－1)，即4x－3y－4=0.
已知过点P(4,1)的直线分别交x，y坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为8，则这样的直线有( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
【答案解析】答案为：B.
解析：由题意可设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)=1，因为直线过点P(4,1)，所以eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)=1，①
所以△ABO的面积S=eq \f(1,2)|a||b|=8，②
联立①②消去b可得a2=±16(a－4)，整理可得a2－16a＋64=0或a2＋16a－64=0.
可判上面的方程分别有1解和2解，故这样的直线有3条.故选B.
已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为( )
A.3 B.2 C.2eq \r(3) D.9
【答案解析】答案为：A.
解析：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)，
则A(0,4)，B(3,0)，直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)=1.
设P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距离的乘积为xy，
因为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)≥2eq \r(\f(x,3)·\f(y,4))，当且仅当eq \f(x,3)=eq \f(y,4)=eq \f(1,2)时取等号，所以xy≤3，
所以xy的最大值为3.故选A.
已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=eq \r(2－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( )
A.150° B.135° C.120° D.不存在
【答案解析】答案为：A；
解析：由y=eq \r(2－x2)，得x2＋y2=2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，
以eq \r(2)为半径的圆的一部分，其图象如图所示.
显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y=k(x－2)，
则圆心到此直线的距离d=eq \f(|－2k|,\r(1＋k2))，弦长|AB|=2 eq \r(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|－2k|,\r(1＋k2))))2)=2 eq \r(\f(2－2k2,1＋k2))，
所以S△AOB=eq \f(1,2)×eq \f(|－2k|,\r(1＋k2))×2 eq \r(\f(2－2k2,1＋k2))≤eq \f(2k2＋2－2k2,21＋k2)=1，当且仅当(2k)2=2－2k2，
即k2=eq \f(1,3)时等号成立，由图可得k=－eq \f(\r(3),3)(k=eq \f(\r(3),3)舍去)，故直线l的倾斜角为150°.
直线x＋(a2＋1)y＋1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
【答案解析】答案为：B
解析：由直线方程可得该直线的斜率为－eq \f(1,a2＋1)，又－1≤－eq \f(1,a2＋1)＜0，
所以倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
二、填空题
过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .
【答案解析】答案为：3x＋2y=0或x－y－5=0.
解析：若直线过原点，则直线方程为3x＋2y=0；若直线不过原点，则斜率为1，
方程为y＋3=x－2，即为x－y－5=0，故所求直线方程为3x＋2y=0或x－y－5=0.
已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m，n＞0)互相垂直，则eq \f(m,n)的取值范围为________.
【答案解析】答案为：(0，eq \f(1,2)).
解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，
所以eq \f(m,n)＝eq \f(m,m2＋2m)＝eq \f(1,m＋2)，则0＜eq \f(1,m＋2)＜eq \f(1,2)，故eq \f(m,n)的取值范围为(0，eq \f(1,2)).
在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2=2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是_______.
【答案解析】答案为：eq \r(3)x＋y－eq \r(3)－1=0.
解析：[直线OA的方程为y=x，代入半圆方程得A(1,1)，
∴H(1,0)，直线HB的方程为y=x－1，代入半圆方程得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，\f(－1＋\r(3),2))).
所以直线AB的方程为eq \f(y－1,\f(－1＋\r(3),2)－1)=eq \f(x－1,\f(1＋\r(3),2)－1)，即eq \r(3)x＋y－eq \r(3)－1=0.]
已知直线x＝eq \f(π,4)是函数f(x)＝asin x－bcs x(ab≠0)图象的一条对称轴，则直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为________.
【答案解析】答案为：eq \f(π,4).
解析：f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x－φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a)，将x＝eq \f(π,4)代入，
得sin(eq \f(π,4)－φ)＝±1，即eq \f(π,4)－φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得φ＝－kπ－eq \f(π,4)，k∈Z.
所以tan φ＝tan(－kπ－eq \f(π,4))＝－1＝eq \f(b,a)，所以直线ax＋by＋c＝0的斜率为－eq \f(a,b)＝1，
故倾斜角为eq \f(π,4).