2023年高考数学(文数)一轮复习课时47《抛物线》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
已知AB是抛物线y2=8x的一条焦点弦，|AB|=16，则AB中点C的横坐标是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n=( )
A.eq \f(19,4) B.eq \f(9,2) C.3 D.4
以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是( )
A.y=4x2 B.y=12x2 C.y2=6x D.y2=12x
若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A.y2＝4x B.y2＝6x C.y2＝8x D.y2＝10x
已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于( )
A.eq \f(7π,12) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
设F为抛物线y2=2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点.若F为△ABC的重心，
则|eq \(FA,\s\up15(→))|＋|eq \(FB,\s\up15(→))|＋|eq \(FC,\s\up15(→))|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，斜率为eq \f(4,3)的直线交抛物线于A，B两点，
若eq \(AF,\s\up7(―→))=λeq \(FB,\s\up7(―→)) (λ＞1)，则λ的值为( )
A.5 B.4 C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,2)
抛物线x2=4y的焦点为F，过点F作斜率为eq \f(\r(3),3)的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A.4 B.3eq \r(3) C.4eq \r(3) D.8
已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|=8，M为抛物线C准线上一点，则△ABM的面积为( )
A.16 B.18 C.24 D.32
已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21=0，抛物线y2=8x的准线为l.设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为( )
A.5 B.eq \r(41) C.eq \r(41)－2 D.4
设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(2),2) D.1
已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13=0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x=－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题
抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________.
若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.
已知抛物线y2=4x与直线2x－y－3=0相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)的值为 .
设P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为________.
\s 0 答案解析
答案为：C.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1＋x2＋p=16，又p=4，所以x1＋x2=12，
所以点C的横坐标是eq \f(x1＋x2,2)=6.]
答案为：D；
解析：抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，根据抛物线定义可知，5=n＋1，得n=4，故选D.
答案为：D.
解析：设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，则准线方程为x=－eq \f(p,2)，由题知1＋eq \f(p,2)=4，
∴p=6，∴抛物线方程为y2=12x，故选D.]
答案为：C
解析：因为抛物线y2＝2px，所以准线为x＝－eq \f(p,2).因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，
所以2＋eq \f(p,2)＝4，所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.
答案为：B；
解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=－1，
由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4，所以点P的坐标为(3,2eq \r(3))，
因此点A的坐标为(－1,2eq \r(3))，所以kAF=eq \f(2\r(3)－0,－1－1)=－eq \r(3)，
所以直线AF的倾斜角等于eq \f(2π,3)，故选B.
答案为：C
解析：由题意可设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
x1＋x2＋x3=3×eq \f(1,2)=eq \f(3,2)，
则|eq \(FA,\s\up15(→))|＋|eq \(FB,\s\up15(→))|＋|eq \(FC,\s\up15(→))|=(x1＋eq \f(1,2))＋(x2＋eq \f(1,2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,2)))=(x1＋x2＋x3)＋eq \f(3,2)=eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)=3.故选C.
答案为：B；
解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \(AF,\s\up7(―→))=λeq \(FB,\s\up7(―→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－x1，－y1))=λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(p,2)，y2))，故－y1=λy2，即λ=－eq \f(y1,y2).
设直线AB的方程为y=eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－eq \f(3,2)py－p2=0.
故y1＋y2=eq \f(3,2)p，y1y2=－p2，则eq \f(y1＋y22,y1y2)=eq \f(y1,y2)＋eq \f(y2,y1)＋2=－eq \f(9,4)，即－λ－eq \f(1,λ)＋2=－eq \f(9,4).
又λ＞1，解得λ=4.
答案为：C；
解析：由抛物线的定义可得|AF|=|AH|，∵直线AF的斜率为eq \f(\r(3),3)，
∴直线AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH= 60°，
故△AHF为等边三角形.设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,4)))，m＞0，由|AF|=|AH|，得eq \f(m2,4)－1=eq \f(1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,4)＋1))，
解得m=2eq \r(3)，故等边△AHF的边长|AH|=4，
∴△AHF的面积是eq \f(1,2)×4×4sin 60°=4eq \r(3).故选C.
答案为：A.
解析：不妨设抛物线C：y2=2px(p>0)，如图，因为直线l过抛物线C的焦点，
且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p=8，p=4，
又M为抛物线C的准线上一点，所以点M到直线AB的距离即焦点到准线的距离为4，
所以△ABM的面积为eq \f(1,2)×8×4=16，故选A.
答案为：B.
解析：由题意得，圆C的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F(2,0).
根据抛物线的定义，得m＋|PC|=|PF|＋|PC|≥|FC|=eq \r(41).]
答案为：C；
解析：如图所示，
设P(x0，y0)(y0＞0)，则yeq \\al(2,0)=2px0，即x0=eq \f(y\\al(2,0),2p).
设M(x′，y′)，由eq \(PM,\s\up7(―→))=2eq \(MF,\s\up7(―→))，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′－x0＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－x′))，,y′－y0＝20－y′，))化简可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(p＋x0,3)，,y′＝\f(y0,3).))
∴直线OM的斜率k=eq \f(\f(y0,3),\f(p＋x0,3))=eq \f(y0,p＋\f(y\\al(2,0),2p))=eq \f(2p,\f(2p2,y0)＋y0)≤eq \f(2p,2\r(2p2))=eq \f(\r(2),2)(当且仅当y0=eq \r(2)p时取等号).
答案为：C；
解析：如图，由题意知抛物线y2=8x的焦点为F(2，0)，连接PF，FQ，则d=|PF|，
将圆C的方程化为(x＋1)2＋(y－4)2=4，圆心为C(－1，4)，半径为2，
则|PQ|＋d=|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号).
所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，且为|CF|－|CQ|=3，故选C.
二、填空题
答案为：y2=16x.
解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，
又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF|=xM＋eq \f(p,2)=6，即xM=6－eq \f(p,2)，
又由题意可知xM=eq \f(p,4)，所以eq \f(p,4)=6－eq \f(p,2)，解得p=8.所以抛物线方程为y2=16x.
答案为：9
解析：由抛物线定义得xM＋1＝10⇒xM＝9.
答案为：eq \f(1,2).
解析：设A(eq \f(y\\al(2,1),4)，y1)，B(eq \f(y\\al(2,2),4)，y2)，易知y1y2≠0，则k1=eq \f(4,y1)，k2=eq \f(4,y2)，所以eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)=eq \f(y1＋y2,4)，
将x=eq \f(y＋3,2)代入y2=4x，得y2－2y－6=0，所以y1＋y2=2，eq \f(1,k1)＋eq \f(1,k2)=eq \f(1,2).
答案为：eq \r(5).
解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x=－1，
由抛物线的定义知，点P到直线x=－1的距离等于点P到F的距离.
于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的
距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|=eq \r(5).