2023年高考数学(文数)一轮复习课时59《参数方程》达标练习（2份，答案版+教师版）

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已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))曲线C2的极坐标方程为：
ρ=2eq \r(2)cs (θ－eq \f(π,4))，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
【答案解析】解：(1)ρ=2eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))=2(cs θ＋sin θ)，
即ρ2=2(ρcs θ＋ρsin θ)，
可得x2＋y2－2x－2y=0，
故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2=2.
(2)C1的普通方程为x＋eq \r(3)y＋2=0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，
以eq \r(2)为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d=eq \f(|1＋\r(3)＋2|,\r(12＋\r(3)2))=eq \f(3＋\r(3),2)，
所以动点M到曲线C1的距离的最大值为eq \f(3＋\r(3)＋2 \r(2),2).
已知P为半圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝sinθ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为eq \f(π,3).
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程.
【答案解析】解：(1)由已知，点M的极角为eq \f(π,3)，
且点M的极径等于eq \f(π,3)，
故点M的极坐标为（-eq \f(π,3)，eq \f(π,3)）.
(2)由(1)知点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0).
故直线AM的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t为参数).
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3＋4cs θ，,y＝4＋4sin θ))(θ为参数)，直线l1的方程为kx－y＋k=0，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2的极坐标方程为cs θ－2sin θ=eq \f(4,ρ).
(1)写出曲线C的普通方程和直线l2的直角坐标方程；
(2)若l1与C交于不同的两点M，N，MN的中点为P，l1与l2的交点为Q，l1恒过点A，
求|AP|·|AQ|.
【答案解析】解：(1)由曲线C的参数方程消去参数，
得曲线C的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2=16，
由cs θ－2sin θ=eq \f(4,ρ)，得ρcs θ－2ρsin θ=4，
将x=ρcs θ，y=ρsin θ代入，
得直线l2的直角坐标方程为x－2y－4=0.
(2)设M，N，Q所对应的参数分别为t1，t2，t3，
由题意得直线l1恒过点A(－1,0)，
故l1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，
代入曲线C的普通方程得t2＋4t(cs α－2sin α)＋4=0，
则t1＋t2=4(2sin α－cs α)，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcs α，,y＝tsin α))代入x－2y－4=0，
整理得t3=eq \f(5,cs α－2sin α)，
则|AP|·|AQ|=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2)))·|t3|=2|2sin α－cs α|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(5,cs α－2sin α)))=10.
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α,y＝1＋sin α))(α为参数，α∈R)，在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρsin（θ- eq \f(π,4)）＝eq \r(2).
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值.
【答案解析】解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝1＋sin α))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y－1＝sin α))⇒x2＋(y－1)2＝1，
由ρsin（θ- eq \f(π,4)）＝eq \r(2)⇒eq \f(\r(2),2)ρsin θ－eq \f(\r(2),2)ρcs θ＝eq \r(2)⇒y－x＝2，
即C2：x－y＋2＝0.
(2)∵直线x－y＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，
又x2＋(y－1)2＝1的圆心(0，1)，半径为1，
故圆心到直线的距离d＝eq \f(|0－1＋2|,\r(12＋（－1）2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴|AB|＝2eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \r(2).
已知动点P，Q都在曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝2sin t))(t为参数)上，对应参数分别为t=α与t=2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【答案解析】解：(1)依题意有P(2cs α，2sin α)，Q(2cs 2α，2sin 2α)，
因此M(cs α＋cs 2α，sin α＋sin 2α).
M的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α＋cs 2α，,y＝sin α＋sin 2α，))(α为参数，0＜α＜2π).
(2)点M到坐标原点的距离d=eq \r(x2＋y2)=eq \r(2＋2cs α)(0＜α＜2π).
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点.
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)sin α－cs α，,y＝3－2\r(3)sin αcs α－2cs2α))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)m.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围.
【答案解析】解：(1)曲线C1的参数方程为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)sin α－cs α，,y＝3－2\r(3)sin αcs α－2cs2α，))
消去参数，可得y＝x2(－2≤x≤2)，
由ρsin(θ－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)m，得eq \f(\r(2),2)ρsin θ－eq \f(\r(2),2)ρcs θ＝eq \f(\r(2),2)m，
所以曲线C2的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,x－y＋m＝0，))可得x2－x－m＝0，
∵曲线C1与曲线C2有公共点，
∴m＝x2－x＝（x- eq \f(1,2)）2－eq \f(1,4).
∵－2≤x≤2，∴－eq \f(1,4)≤m≤6.21
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同.已知圆C1的极坐标方程为ρ=4(csθ＋sinθ)，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|=eq \f(1,2)|OP|，点Q的轨迹为C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程.
(2)已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcsφ，,y＝tsinφ))(t为参数，0≤φ<π)，l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值.
【答案解析】解：(1)设点P，Q的极坐标分别为(ρ0，θ)，(ρ，θ)，
则ρ=eq \f(1,2)ρ0=eq \f(1,2)·4(csθ＋sinθ)=2(csθ＋sinθ)，
点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ=2(csθ＋sinθ)，
两边同乘以ρ，得ρ2=2(ρcsθ＋ρsinθ)，
C2的直角坐标方程为x2＋y2=2x＋2y，
即(x－1)2＋(y－1)2=2.
(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，
得(tcsφ＋1)2＋(tsinφ－1)2=2，
即t2＋2(csφ－sinφ)t=0，t1=0，t2=2sinφ－2csφ，
由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，
得sinφ－csφ=0，
因为0≤φ<π，所以φ=eq \f(π,4).
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\r(2)t，,y＝\r(2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=eq \f(4,1＋sin2θ)，
且直线l经过曲线C的左焦点F.
(1)求直线l的普通方程；
(2)设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值.
【答案解析】解：(1)曲线C的极坐标方程为
ρ2=eq \f(4,1＋sin2θ)，即ρ2＋ρ2sin2θ=4，
将ρ2=x2＋y2，ρsinθ=y代入上式并化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1，
所以曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)=1，
于是c2=a2－b2=2，F(－eq \r(2)，0).
直线l的普通方程为x－y=m，将F(－eq \r(2)，0)代入直线方程得m=－eq \r(2)，
所以直线l的普通方程为x－y＋eq \r(2)=0.
(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2csθ，eq \r(2)sinθ)(0<θ所以椭圆C的内接矩形的周长为：
L=2(4csθ＋2eq \r(2)sinθ)=4eq \r(6)sin(θ＋φ)(其中tanφ=eq \r(2))，
所以椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4eq \r(6).