第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）

1．直线与平面垂直的定义

如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．

结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

2.直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

3．直线与平面垂直的性质定理

如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

4．与线面垂直有关的重要结论

(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线．

(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

(3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．

(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．

5．两平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．

6．两平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

7．两平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

8.空间角

(1)直线与平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0°的角．故线面角θ的范围：θ∈[0，]．

(2)二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．

②二面角的平面角

如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝时，二面角叫做直二面角．

9.垂直关系的转化

判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直

性质定理转化：面面垂直

用图形表示为：

同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：

线线垂直线面垂直线线平行线面平行

考点一 : 垂直问题有关的命题判定

例1　设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面________．

①若m⊥n，n∥α，则m⊥α

②若m∥β，β⊥α则m⊥α

③若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α

④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

变式训练  已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；   ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；   ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.

其中所有正确的命题是________．

考点二 ： 线面垂直的判定与性质

例2　如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．

 (1)求证：MN⊥CD；

(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

考点三 ： 面面垂直的判定和性质

例3　如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．

 (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

变式训练  如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E－ABC的体积．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）若表示直线，表示平面，下面推论中正确的个数为（       ）

①，则；

②，则；

③，则.

A．1 B．2 C．3 D．0

2．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，下列说法正确的个数有（       ）

①平面；

②平面；

③平面平面.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）在空间中，下列命题正确的是（       ）

A．经过三个点确定一个平面 B．平行于同一直线的两个平面平行

C．四边形确定一个平面 D．垂直于同一平面的两条直线平行

4．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线及两个平面，以下说法中正确的是（       ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

二、多选题

5．（2021·全国·高一专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（       ）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，

6．（2021·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，在三棱锥中，，下列结论正确的是（       ）

A．平面平面ABC B．平面平面ABC

C．平面平面VBC D．平面平面VBC

7．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）两条异面直线与同一平面所成的角可能是（       ）

A．均为锐角 B．一个0度，一个90度 C．均为0度 D．均为90度

8．（2021·全国·高一课时练习）在平行六面体中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，，则有（       ）

A． B．

C．面 D．面

三、概念填空

9．（2022·全国·高一课时练习）（1）直线与平面垂直的定义

（2）直线与平面垂直的判定定理

10．（2022·全国·高一课时练习）空间中直线l和三角形的两边，同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(      )

A．平行       B．垂直       C．相交       D．不确定

11．（2022·全国·高一课时练习）直线与平面所成的角

12．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．

（1）若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(      )

（2）若直线l与平面内的无数条直线垂直，则．(      )

（3）若，，则．(      )

13．（2022·全国·高一课时练习）如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则直线与平面所成角的正切值是_____________．

14．（2022·全国·高一课时练习）体积为6的正四棱锥的底面正方形的边长为2，则顶点P到底面的距离为______．

四、解答题

15．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AA1，B1C的中点.

(1)求证：DE 平面ABC；

(2)求证：B1C⊥平面BDE.

16．（2022·湖南·高一课时练习）长方体的棱，，．

(1)求点B和点之间的距离；

(2)求直线CD和平面的距离；

(3)求点到平面的距离．

17．（2022·湖南·高一课时练习）如图，平面ABCD，平面ABCD，且，，求EF的长度．

18．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面平面，侧棱，底面是直角梯形，其中是上一点.

(1)若平面，求；

(2)求证：平面平面.

19．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期末）已知正方体.

(1)证明：平面；

(2)求异面直线与BD所成的角.

20．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，且面，、分别是棱、的中点.

(1)求证：平面；

(2)求四棱锥的体积.

题组B  能力提升练

一、单选题

1．（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）如图，在正方体中，点在线段上运动，给出下列判断：

（1）直线平面

（2）平面

（3）异面直线与所成角的范围是

（4）三棱锥的体积不变

其中正确的命题是（       ）

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（2）（4）

2．（2021·全国·高一课时练习）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为C1D1，BC的中点，现有下列结论：①PQ∥BD1；②PQ∥平面BB1D1D；③PQ⊥平面AB1C；④四面体D1﹣PQB的体积等于.其中正确的是（ ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

3．（2021·全国·高一单元测试）如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（　　）

A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC

C．PD⊥AC D．PB＝2AN

4．（2021·广西·钦州市第四中学高一阶段练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l（　　）

A．不存在 B．2条

C．4条 D．无数条

5．（2021·全国·高一课前预习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．（2021·全国·高一课时练习）在正方体中，已知点在直线上运动，下列结论中正确的是（       ）

A．三棱锥的体积为定值；

B．；

C．当为的中点时，与平面所成角的余弦值为；

D．设正方体的棱长为2，则的最小值为

7．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）已知m、n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若m、n是异面直线，，则

D．若，则

8．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（       ）

A．在棱上存在点，使平面

B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的大小为45°

D．平面

三、填空题

9．（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为__________.

10．（2021·全国·高一专题练习）如图，在中，，，，点是边（端点除外）上的一动点.若将沿直线翻折，能使点在平面内的射影落在的内部（不包含边界），且.设，则t的取值范围是________________.

11．（2021·全国·高一专题练习）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，与底面成角，是平面内任意一点，则的最小值是________.

12．（2021·湖南·怀化市第三中学高一期中）已知三棱锥的顶点P在底面的射影O为的垂心，若的面积，的面积，的面积，满足，且三棱锥的外接球半径为3，则的面积之和的最大值为_________．

四、解答题

13．（2021·广东·化州市第三中学高一期末）在五面体EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形 ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．

(1)求证：AC⊥BF；

(2)若三棱锥A﹣BCE的体积为，求线段AB的长．

14．（2022·湖南·高一课时练习）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4．P是正方体的其余四个顶点中的一个，求点P到平面的距离的可能值．

15．（2022·湖南·高一课时练习）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．求：

(1)四棱锥的体积；

(2)三棱锥的体积．

16．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．

(1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论；

(2)求证：平面平面ABCD．

17．（2022·湖南·高一课时练习）如图，三棱柱中，平面ABC，，点M，N分别是线段，的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)设平面与平面的交线为l，求证：．

18．（2022·湖南·高一课时练习）如图，EA和DC都垂直于平面ABC，，F，G分别是EB和AB的中点．求证：

(1)平面ABC；

(2)平面ABC．

19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在圆锥PO中，已知，的直径，C是上一点（异于A，B），D为AC的中点．求证：平面平面PAC．

20．（2022·湖南·高一课时练习）用一个平面去截长方体，截面的形状将会是什么样的？若想看到截面的样子，可以用一个长方体的盒子，内装一定量的液体，以不同的方向角度倾斜．观察液体表面的变化，我们看到：液面可以是三角形、四边形、五边形或六边形．观察并思考下列问题：

(1)液面不会是七边形，为什么？

(2)当液面是三角形时，一定是锐角三角形，为什么？

(3)当液面是四边形时，这个四边形有什么特点？

(4)设长方体有公共顶点的三条棱长分别为a，b，c（），液面会是正方形吗？

(5)液面不会是正五边形，为什么？

(6)在什么条件下，液面呈正六边形？

(7)当液面是三角形时，液体体积与长方体体积之比的范围是多少？

(8)当液面是六边形时，液体体积与长方体体积之比的范围是多少？

21．（2021·广西·钦州市第四中学高一阶段练习）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的正方形，ACC1A1是菱形，，且平面BB1C1C垂直平面ACC1A1，M为A1C1中点．

（1）求证：平面MBC⊥平面A1B1C1；

（2）求点C1到平面MB1C的距离