04计算题知识点分类① -山东省五年（2018-2022）高考物理真题分类汇编

04计算题知识点分类①

一．牛顿第二定律（共2小题）

1．（2022•山东）某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉，如图所示，鱼鳔结构可化为通过阀门相连的A、B两个密闭气室，A室壁厚，可认为体积恒定，B室壁簿，体积可变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换。质量为M的鱼静止在水面下H处，B室内气体体积为V，质量为m；设B室内气体压强与鱼体外压强相等、鱼体积的变化与B室气体体积的变化相等，鱼的质量不变，鱼鳔内气体温度不变，水的密度为ρ，重力加速度为g，大气压强为p0，求：

（1）鱼通过增加B室体积获得大小为a的加速度，需从A室充入B室的气体质量Δm；

（2）鱼静止于水面下H1处时，B室内气体质量m2。

2．（2022•山东）某粮库使用额定电压U＝380V，内阻R＝0.25Ω的电动机运粮，如图所示，配重和电动机连接小车的缆绳均平行于斜坡，装满粮食的小车以速度v＝2m/s沿斜坡匀速上行，此时电流I＝40A，关闭电动机后，小车又沿斜坡上行路程L到达卸粮点时，速度恰好为零。卸粮后，给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行。已知小车质量m1＝100kg，车上粮食质量m2＝1200kg，配重质量m0＝40kg，取重力加速度g＝10m/s，小车运动时受到的摩擦阻力与车及车上粮食总重力成正比，比例系数为k，配重始终未接触地面，不计电动机自身机械摩擦损耗及缆绳质量。求：

（1）比例系数k值；

（2）上行路程L值。

二．平抛运动（共1小题）

3．（2021•山东）海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m＝0.1kg的鸟蛤，在H＝20m的高度、以v0＝15m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力。

（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间△t＝0.005s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；（碰撞过程中不计重力）

（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为20m，速度大小在15m/s～17m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。

三．抛体运动（共1小题）

4．（2020•山东）单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求：

（1）运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；

（2）M、N之间的距离L。

四．动量守恒定律（共2小题）

5．（2020•山东）如图所示，一倾角为θ的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于tanθ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

（1）求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1；

（2）求第n次碰撞使物块Q上升的高度hn；

（3）求物块Q从A点上升的总高度H；

（4）为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。

6．（2018•新课标Ⅰ）一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空。当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动，爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量。求

（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；

（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。

五．动能定理（共1小题）

7．（2019•新课标Ⅰ）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v﹣t图象如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。

（1）求物块B的质量；

（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；

（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。

六．功能关系（共2小题）

8．（2022•山东）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O′点，O′点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O′点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于5°），A以速度v0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点，已知A的质量mA＝0.1kg，B的质量mB＝0.3kg，A与B的动摩擦因数μ1＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0.225，v0＝4m/s，取重力加速度g＝10m/s2，整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：

（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小vA与vB；

（2）B光滑部分的长度d；

（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功Wf；

（4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用cos5°表示）。

9．（2021•山东）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）

（1）求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek；

（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值Fmin；

（3）若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fxBC的大小；

（4）若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。

【参考答案】

一．牛顿第二定律（共2小题）

1．（2022•山东）某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉，如图所示，鱼鳔结构可化为通过阀门相连的A、B两个密闭气室，A室壁厚，可认为体积恒定，B室壁簿，体积可变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换。质量为M的鱼静止在水面下H处，B室内气体体积为V，质量为m；设B室内气体压强与鱼体外压强相等、鱼体积的变化与B室气体体积的变化相等，鱼的质量不变，鱼鳔内气体温度不变，水的密度为ρ，重力加速度为g，大气压强为p0，求：

（1）鱼通过增加B室体积获得大小为a的加速度，需从A室充入B室的气体质量Δm；

（2）鱼静止于水面下H1处时，B室内气体质量m2。

【解析】解：（1）鱼静止在H处，设此时鱼的体积为V0，有

Mg＝ρgV0

且此时B室内气体体积为V，质量为m，因此

m＝ρ气V

根据牛顿第二定律得：

ρg（V0+ΔV）﹣Mg＝Ma

联立解得：

（2）B室内的压强初始值为：

p1＝p0+ρgH

鱼静止在水面下H1时，压强的大小为：

p2＝p0+ρgH1

其中，鱼鳔内气体温度不变，则

p1V＝p2V2

根据质量公式可得B室内气体质量为：

m2＝ρ气V2

联立解得：m2＝

答：（1）鱼通过增加B室体积获得大小为a的加速度，需从A室充入B室的气体质量为；

（2）鱼静止于水面下H1处时，B室内气体质量为。

2．（2022•山东）某粮库使用额定电压U＝380V，内阻R＝0.25Ω的电动机运粮，如图所示，配重和电动机连接小车的缆绳均平行于斜坡，装满粮食的小车以速度v＝2m/s沿斜坡匀速上行，此时电流I＝40A，关闭电动机后，小车又沿斜坡上行路程L到达卸粮点时，速度恰好为零。卸粮后，给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行。已知小车质量m1＝100kg，车上粮食质量m2＝1200kg，配重质量m0＝40kg，取重力加速度g＝10m/s，小车运动时受到的摩擦阻力与车及车上粮食总重力成正比，比例系数为k，配重始终未接触地面，不计电动机自身机械摩擦损耗及缆绳质量。求：

（1）比例系数k值；

（2）上行路程L值。

【解析】解：（1）设电动机的牵引绳张力为T1，电动机连接小车的缆绳匀速上行，由能量守恒定律有UI＝I2R+T1v

解得

T1＝7400N

小车和配重一起匀速，设绳的张力为T2，对配重有

T2＝m0g

设斜面倾角为θ，对小车匀速有

T1+T2＝（m1+m2） gsinθ+k （m1+m2） g

而卸粮后给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行，有

m1gsinθ＝m0g+km1g

联立各式解得

sinθ＝0.5，k＝0.1

（2）关闭发动机后小车和配重一起做匀减速直线运动，设加速度为a，对系统由牛顿第二定律有 （m1+m2） gsinθ+k （m1+m2） g﹣m0g＝（m1+m2+m0） a

根据运动学规律有：v2＝2aL

联立代入数据解得：L＝m

答：（1）比例系数k值为0.1；

（2）上行路程L值为m。

二．平抛运动（共1小题）

3．（2021•山东）海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量m＝0.1kg的鸟蛤，在H＝20m的高度、以v0＝15m/s的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力。

（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间△t＝0.005s，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小F；（碰撞过程中不计重力）

（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度L＝6m的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为20m，速度大小在15m/s～17m/s之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。

【解析】解：（1）设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v．竖直方向分速度大小为vy，

根据速度﹣位移关系可得：vy2＝2gH，解得：vy＝20m/s

根据运动的合成与分解得：，解得：v＝25m/s

在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v的方向为正方向，由动量定理得：﹣F△t＝0﹣mv

解得：F＝500N；

（2）若释放鸟蛤的初速度为v1＝15m/s，设击中岩石左端时，释放点的坐标为x1，击中右端时，释放点的x坐标为x2，

鸟蛤下落的时间为t，则有：H＝，解得：t＝2s

根据平抛运动的规律可得：x1＝v1t＝15×2m＝30m

根据几何关系可得：x2＝x1+L＝30m+6m＝36m

若释放鸟蛤时的初速度为v2＝17m/s，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1′，击中右端时，释放点的x坐标为x2′，

根据平抛运动的规律可得x1′＝v2t＝17×2m＝34m

根据几何关系可得：x2′＝x1′+L＝34m+6m＝40m

综上得x坐标交集的区间为（34m，36m）。

答：（1）碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大小为500N；

（2）为保证鸟蛤一定能落到岩石上，释放鸟蛤位置的x坐标范围为（34m，36m）。

三．抛体运动（共1小题）

4．（2020•山东）单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10m/s2，sin72.8°＝0.96，cos72.8°＝0.30。求：

（1）运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；

（2）M、N之间的距离L。

【解析】解：（1）在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得：

v1＝vMsin72.8°…①

设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得：

mgcos17.2°＝ma1  …②

由运动学公式得：d＝…③

联立①②③式，代入数据得：

d＝4.8m…④

（2）在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得：

v2＝vMcos72.8°…⑤

设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得：

mgsin17.2°＝ma2 …⑥

设腾空时间为t，由运动学公式得：t＝…⑦

沿斜面方向根据位移﹣时间关系可得：L＝v2t+…⑧

联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得：L＝12m。

答：（1）运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值为4.8m；

（2）M、N之间的距离为12m。

四．动量守恒定律（共2小题）

5．（2020•山东）如图所示，一倾角为θ的固定斜面的底端安装一弹性挡板，P、Q两物块的质量分别为m和4m，Q静止于斜面上A处。某时刻，P以沿斜面向上的速度v0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于tanθ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦，与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点，斜面足够长，Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

（1）求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1；

（2）求第n次碰撞使物块Q上升的高度hn；

（3）求物块Q从A点上升的总高度H；

（4）为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，求A点与挡板之间的最小距离s。

【解析】解：（1）P、Q发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以平行于斜面向上为正方向，由动量守恒定律得：

mv0＝mvP1+4mvQ1

由机械能守恒定律得：

解得：vP1＝﹣v0，负号表示方向，vQ1＝v0

（2）Q向上滑行过程，由牛顿第二定律得：

4mgsinθ+μ•4mgcosθ＝4ma

解得：a＝2gsinθ

P、Q第一次碰撞后Q上升的高度为h1，对Q，由运动学公式得：

0﹣＝2（﹣a）

解得：h1＝

设P运动到与Q刚要发生第二次碰撞前的位置时速度为v02，第一次碰撞后到第二次碰撞前，对P，由动能定理得：

﹣mgh1＝

解得：v02＝v0

P、Q发生第二次碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以平行于斜面向上为正方向，由动量守恒定律得：

mv02＝mvP2+4mvQ2

由机械能守恒定律得：

解得：vP2＝﹣×v0，vQ2＝v0

第二次碰撞后Q向上运动过程，由运动学公式得：

0﹣＝2（﹣a）

解得：h2＝•

设P运动到与Q刚要发生第三次碰撞前的位置时速度为v03，第二次碰撞后到第三次碰撞前，对P，由动能定理得：

﹣mgh2＝

解得：v03＝v0

P与Q第三次碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以平行于斜面向上为正方向，由动量守恒定律得：

mv03＝mvP3+4mvQ3

由机械能守恒定律得：

解得：vP3＝﹣v0，vQ3＝v0

第三次碰撞后对Q，由运动学公式得：

0﹣＝2（﹣a），

解得：h3＝

…………

第n次碰撞后，Q上升的高度：hn＝（）n﹣1•  （n＝1、2、3……）

（3）P、Q向上运动过程速度逐渐减小，两物体到达同一位置时发生碰撞，

当P、Q最后一次发生碰撞时到达最高点，此时两者到达同一高度，

当P、Q到达H时，两物块到此处的速度可视为零，对两物块运动全过程，由动能定理得：

﹣（m+4m）gH﹣μ•4mgcosθ•＝0﹣

解得：H＝

（4）设Q第一次碰撞至速度减为零需要的时间为t1，则：t1＝

设P运动到斜面底端时的速度为vP1′，需要的时间为t2，则：vP1′＝vP1+gsinθ•t2，＝2gsinθ•s，

设P从A点到Q第一次碰撞后速度减为零处匀减速运动的时间为t3，则：v02＝（﹣vP1）﹣gsinθ•t3，

当A点与挡板之间的距离最小时：t1＝2t2+t3

解得：s＝

答：（1）P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1分别为v0、v0；

（2）第n次碰撞使物块Q上升的高度hn是（）n﹣1•  （n＝1、2、3……）；

（3）物块Q从A点上升的总高度H为；

（4）为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞，A点与挡板之间的最小距离s为。

6．（2018•新课标Ⅰ）一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空。当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动，爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量。求

（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；

（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。

【解析】解：（1）设烟花弹的初速度为v0．则有：E＝

得：v0＝

烟花弹从地面开始上升的过程中做竖直上抛运动，则有：v0﹣gt＝0

得：t＝

（2）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸上升的高度为：h1＝＝

对于爆炸过程，取竖直向上为正方向，由动量守恒定律得：

0＝mv1﹣mv2。

根据能量守恒定律得：E＝mv12+mv22。

联立解得：v1＝

爆炸后烟花弹向上运动的部分能继续上升的最大高度为：h2＝＝

所以爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度为：h＝h1+h2＝

答：（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间是；

（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度是。

五．动能定理（共1小题）

7．（2019•新课标Ⅰ）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t＝0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v﹣t图象如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。

（1）求物块B的质量；

（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；

（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等。在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。

【解析】解：（1）根据图（b），v1为A在碰撞前瞬间的速度大小，为其碰撞后瞬间速度大小。设物块B的质量为m′，碰后瞬间的速度为v′，

根据动量守恒定律可得：mv1＝m（﹣）+m′v′

根据能量守恒定律可得：＝+

联立解得m′＝3m；

（2）在图（b）描述的运动中，设物块A与轨道间的滑动摩擦力大小为f，下滑过程中所走过的路程为s1，返回过程中所走过的路程为s2，P点的高度为h，整个过程中克服摩擦所做的功为W，根据动能定理可得：

mgH﹣fs1＝﹣0

﹣（fs2+mgh）＝0﹣

从图（b）给出的图象可知，s1＝

s2＝

根据几何关系可得：＝

物块A在整个过程中克服摩擦力做的功为：

W＝fs1+fs2，

联立解得：W＝；

（3）设倾斜轨道倾角为θ，物块与轨道间的动摩擦因数在改变前为μ，则有：

W＝μmgcosθ

设物块B在水平轨道上能够滑行的距离为s′，

根据动能定理可得﹣μm′gs′＝0﹣

设物块与轨道间的动摩擦因数在改变后为μ′，根据动能定理可得：

mgh﹣μ′mgcosθ﹣μ′mgs′＝0

联立解得：＝。

答：（1）物块B的质量为3m；

（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，物块A克服摩擦力所做的功为；

（3）改变前后动摩擦因数的比值为。

六．功能关系（共2小题）

8．（2022•山东）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O′点，O′点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O′点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于5°），A以速度v0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点，已知A的质量mA＝0.1kg，B的质量mB＝0.3kg，A与B的动摩擦因数μ1＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0.225，v0＝4m/s，取重力加速度g＝10m/s2，整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：

（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小vA与vB；

（2）B光滑部分的长度d；

（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功Wf；

（4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用cos5°表示）。

【解析】解：（1）设水平向右为正方向，因为O'点右侧光滑，由题意可知A与B发生弹性碰撞，故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有

mAv0＝mAvA+mBvB

＝+

代入数据联立解得

vA＝﹣2m/s，vB＝2m/s，负号代表方向向左；

（2）因为A物体返回到O点正下方时，相对地面速度为0，A物体减速过程根据动能定理有

﹣μ1mAgx0＝﹣

根据动量定理有

﹣μ1mAgt2＝0﹣mAvA

代入数据解得

x0＝0.5m，t2＝0.5s

此过程中A减速的位移等于B物体向右的位移，所以对于此过程对B根据牛顿第二定律有：

μ2（mA+mB） g＝mBa1

根据位移—时间关系有：x0＝vBt1﹣

联立代入数据解得

t1＝s或1s（含去）

故根据几何关系有

d＝vAt1+x0

代入数据解得

d＝m

（3）在A刚开始减速时，B物体的速度为

v2＝vB﹣a1t1

在A减速过程中，对B分析根据牛顿第二定律可知μ1mAg+μ2（mA+mB） g＝mBa2

设B物体停下来的时间为t3，则有

v2＝a2t3

解得

t3＝s＜t2＝0.5s

可知在A减速过程中B先停下来了，此过程中B的位移为

xB＝

所以A对B的摩擦力所做的功为

Wf＝﹣μ1mAgxB

联立代入数据解得：Wf＝﹣J

（4）小球和A碰撞后A做匀速直线运动再和B相碰，此过程有

t4＝

由题意可知A返回到O点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐振动的周期为T，摆长为L，则有

T＝t1+t2+t4

T＝2

小球下滑过程根据动能定理有

MgL＝

当碰后小球摆角恰为5°时，有

MgL （1﹣cos5°）＝

解得：v＝m/s，v1＝m/s

小球与A碰撞过程根据动里守恒定律有

Mv＝mAv0+Mv'1

小球A碰后要求速度方向不变，做简谐运动，则要求0＜v1'＜v1

所以可解得的取值范围为＜＜。

答：（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小为2m/s；

（2）B光滑部分的长度为m；

（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功为﹣J；

（4）实现上述运动过程，的取值范围为＜＜。

9．（2021•山东）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）

（1）求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek；

（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值Fmin；

（3）若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fxBC的大小；

（4）若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。

【解析】解：（1）从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得

弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得

联立得

（2）当A刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为x，以A为研究对象，由平衡条件得kx＝f

若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值Fmin，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得

联立得

根据题意舍去，得

（3）从B、C分离到B停止运动，设B的路程为xB，C的位移为xC，以B为研究对象，由动能定理得﹣W﹣fxB＝0﹣Ek

以C为研究对象，由动能定理得﹣fxC＝0﹣Ek

由B、C的运动关系得xB＞xC﹣xBC

联立得W＜fxBC

（4）

答：（1）B、C向左移动的最大距离x0为，B、C分离时B的动能为；

（2）为保证A能离开墙壁，恒力的最小值为；

（3）若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，则W＜fxBC；

（4）见解析。