05计算题知识点分类②-山东省五年（2018-2022）高考物理真题分类汇编

04计算题知识点分类②

七．理想气体的状态方程（共3小题）

10．（2019•新课标Ⅰ）热等静压设备广泛应用于材料加工中。该设备工作时，先在室温下把惰性气体用压缩机压入到一个预抽真空的炉腔中，然后炉腔升温，利用高温高气压环境对放入炉腔中的材料加工处理，改善其性能。一台热等静压设备的炉腔中某次放入固体材料后剩余的容积为0.13m3，炉腔抽真空后，在室温下用压缩机将10瓶氩气压入到炉腔中。已知每瓶氩气的容积为3.2×10﹣2m3，使用前瓶中气体压强为1.5×107Pa，使用后瓶中剩余气体压强为2.0×106Pa；室温温度为27℃．氩气可视为理想气体。

（i）求压入氩气后炉腔中气体在室温下的压强；

（ⅱ）将压入氩气后的炉腔加热到1227℃，求此时炉腔中气体的压强。

11．（2018•新课标Ⅰ）如图，容积为V的汽缸由导热材料制成，面积为S的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K．开始时，K关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为p0．现将K打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为时，将K关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了．不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g。求流入汽缸内液体的质量。

12．（2020•山东）中医拔罐的物理原理是利用玻璃罐内外的气压差使罐吸附在人体穴位上，进而治疗某些疾病。常见拔罐有两种，如图所示，左侧为火罐，下端开口；右侧为抽气拔罐，下端开口，上端留有抽气阀门。使用火罐时，先加热罐中气体，然后迅速按到皮肤上，自然降温后火罐内部气压低于外部大气压，使火罐紧紧吸附在皮肤上。抽气拔罐是先把罐体按在皮肤上，再通过抽气降低罐内气体压强。某次使用火罐时，罐内气体初始压强与外部大气压相同，温度为450K，最终降到300K，因皮肤凸起，内部气体体积变为罐容积的。若换用抽气拔罐，抽气后罐内剩余气体体积变为抽气拔罐容积的，罐内气压与火罐降温后的内部气压相同。罐内气体均可视为理想气体，忽略抽气过程中气体温度的变化。求应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值。

八．带电粒子在匀强磁场中的运动（共4小题）

13．（2021•山东）某离子束实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于O1点，右边界与x轴垂直交于O2点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与O2点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为θ。忽略离子间的相互作用，不计重力。

（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；

（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；

（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）、方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到O1的距离s。

14．（2020•山东）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E．一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面上的c点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。

（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；

（2）求粒子打到记录板上位置的x坐标；

（3）求粒子打到记录板上位置的y坐标（用R、d表示）；

（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s1、s2、s3，若这三个点是质子H、氚核H、氦核He的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。

15．（2019•新课标Ⅰ）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求

（1）带电粒子的比荷；

（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。

16．（2018•新课标Ⅰ）如图，在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y＜0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核H和一个氘核H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。H的质量为m，电荷量为q，不计重力。求

（1）H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；

（2）磁场的磁感应强度大小；

（3）H第一次离开磁场的位置到原点O的距离。

九．带电粒子在混合场中的运动（共1小题）

17．（2022•山东）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；﹣3d≤z＜0，y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为，方向平行于xOy平面，与x轴正方向夹角为45°；z＜0，y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场，质量为m，带电量为+q的离子，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ，不计离子重力。

（1）当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；

（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；

（3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标（用d表示）；

（4）当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m，带电量为+q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt（忽略离子间相互作用）。

一十．波长、频率和波速的关系（共1小题）

18．（2018•新课标Ⅰ）一列简谐横波在t＝s的波形图如图（a）所示，P、Q是介质中的两个质点，图（b）是质点Q的振动图象。求：

（i）波速及波的传播方向；

（ii）质点Q的平衡位置的x坐标。

一十一．光的折射定律（共2小题）

19．（2021•山东）超强超短光脉冲产生方法曾获诺贝尔物理学奖，其中用到的一种脉冲激光展宽器截面如图所示。在空气中对称放置四个相同的直角三棱镜，顶角为θ。一细束脉冲激光垂直第一个棱镜左侧面入射，经过前两个棱镜后分为平行的光束，再经过后两个棱镜重新合成为一束，此时不同频率的光前后分开，完成脉冲展宽。已知相邻两棱镜斜面间的距离d＝100.0mm，脉冲激光中包含两种频率的光，它们在棱镜中的折射率分别为n1＝和n2＝。取sin37°＝，cos37°＝，＝1.890

（1）为使两种频率的光都能从左侧第一个棱镜斜面射出，求θ的取值范围；

（2）若θ＝37°，求两种频率的光通过整个展宽器的过程中，在空气中的路程差ΔL（保留3位有效数字）。

20．（2019•新课标Ⅰ）如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3m。距水面4m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°（取sin53°＝0.8）。已知水的折射率为。

（i）求桅杆到P点的水平距离；

（ii）船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。

【参考答案】

七．理想气体的状态方程（共3小题）

10．（2019•新课标Ⅰ）热等静压设备广泛应用于材料加工中。该设备工作时，先在室温下把惰性气体用压缩机压入到一个预抽真空的炉腔中，然后炉腔升温，利用高温高气压环境对放入炉腔中的材料加工处理，改善其性能。一台热等静压设备的炉腔中某次放入固体材料后剩余的容积为0.13m3，炉腔抽真空后，在室温下用压缩机将10瓶氩气压入到炉腔中。已知每瓶氩气的容积为3.2×10﹣2m3，使用前瓶中气体压强为1.5×107Pa，使用后瓶中剩余气体压强为2.0×106Pa；室温温度为27℃．氩气可视为理想气体。

（i）求压入氩气后炉腔中气体在室温下的压强；

（ⅱ）将压入氩气后的炉腔加热到1227℃，求此时炉腔中气体的压强。

【解析】解：（i）设初始时每瓶气体的体积为V0，压强为p0，使用后气瓶中剩余气体的压强为p1，

气体温度保持不变发生等温变化，由玻意耳定律得：p0V0＝p1V1，

被压入炉腔的气体在室温和p1条件下的体积：V1′＝V1﹣V0，

设10瓶气体压入完成后炉腔中气体压强为p2，体积为V2，

由玻意耳定律得：p2V2＝10p1V1′，

代入数据解得：p2＝3.2×107Pa；

（ii）设加热前炉腔的温度为T0，加热后炉腔的温度为T1，气体压强为p3，

气体发生等容变化，由查理定律得：，

代入数据解得：p3＝1.6×108Pa；

答：（i）压入氩气后炉腔中气体在室温下的压强为3.2×107Pa；

（ⅱ）将压入氩气后的炉腔加热到1227℃，此时炉腔中气体的压强为1.6×108Pa。

11．（2018•新课标Ⅰ）如图，容积为V的汽缸由导热材料制成，面积为S的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K．开始时，K关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为p0．现将K打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为时，将K关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了．不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g。求流入汽缸内液体的质量。

【解析】解：设活塞再次平衡后，活塞上方气体的体积为V1，压强为p1；下方气体的体积为V2，压强为p2．在活塞下移的过程中，活塞上、下两部分气体的温度均保持不变，作等温变化，由玻意耳定律得：

对上部分气体有 p0＝p1V1

对下部分气体有 p0＝p2V2

由已知条件得

    V1＝﹣＝V

    V2＝﹣＝

设活塞上方液体的质量为m，由力的平衡条件得

  p2S＝p1S+mg

联立以上各式得 m＝

答：流入汽缸内液体的质量是。

12．（2020•山东）中医拔罐的物理原理是利用玻璃罐内外的气压差使罐吸附在人体穴位上，进而治疗某些疾病。常见拔罐有两种，如图所示，左侧为火罐，下端开口；右侧为抽气拔罐，下端开口，上端留有抽气阀门。使用火罐时，先加热罐中气体，然后迅速按到皮肤上，自然降温后火罐内部气压低于外部大气压，使火罐紧紧吸附在皮肤上。抽气拔罐是先把罐体按在皮肤上，再通过抽气降低罐内气体压强。某次使用火罐时，罐内气体初始压强与外部大气压相同，温度为450K，最终降到300K，因皮肤凸起，内部气体体积变为罐容积的。若换用抽气拔罐，抽气后罐内剩余气体体积变为抽气拔罐容积的，罐内气压与火罐降温后的内部气压相同。罐内气体均可视为理想气体，忽略抽气过程中气体温度的变化。求应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值。

【解析】解：设火罐内气体初始状态参量分别为p1、T1、V1，温度降低后状态参量分别为p2、T2、V2，

罐的容积为V0，由题意知：

p1＝p0、T1＝450K、V1＝V0、T2＝300K、V2＝①

由理想气体状态方程得：＝②

解得：p2＝0.7p0③

对于抽气罐，设初态气体状态参量分别为p3、V3，末态气体状态参量分别为p4、V4，罐的容积为V′0，由题意知：

p3＝p0、V3＝V'0、p4＝p2④

由玻意耳定律得：p0V′0＝p2V4⑤

联立②⑤式，代入数据得V4＝⑥

设抽出的气体的体积为△V，由题意知

△V＝V4﹣⑦

故应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值为：⑧

联立③⑤⑥⑦⑧式，代入数据得：＝。

答：应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值为。

八．带电粒子在匀强磁场中的运动（共4小题）

13．（2021•山东）某离子束实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于O1点，右边界与x轴垂直交于O2点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与O2点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为θ。忽略离子间的相互作用，不计重力。

（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；

（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；

（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）、方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到O1的距离s。

【解析】解：（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得：

根据几何关系得：

联立可得：

（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t，y方向的位移为y0，加速度大小为a，由牛顿第二定律得：

qE＝ma

由运动的合成与分解得：

L＝vtcosθ，y0＝﹣r（1﹣cosθ），

联立可得：

（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子的运动在垂直y轴的平面内的投影为匀速圆周运动，如图所示．设左侧部分的圆心角为α，圆周运动半径为r'，运动轨迹长度为l'，由几何关系得：

，

由于在y轴方向运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故为：

C到O1的距离为：

s＝2r'sinα+r'

联立可得：

答：（1）离子在Ⅰ区中运动时速度的大小为；

（2）Ⅱ区内电场强度的大小；

（3）移动后C到O1的距离为。

14．（2020•山东）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N为竖直放置的两金属板，两板间电压为U，Q板为记录板，分界面P将N、Q间区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b为M、N上两正对的小孔。以a、b所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E．一质量为m，电荷量为+q的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面上的c点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。

（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；

（2）求粒子打到记录板上位置的x坐标；

（3）求粒子打到记录板上位置的y坐标（用R、d表示）；

（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s1、s2、s3，若这三个点是质子H、氚核H、氦核He的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。

【解析】解：（1）粒子在M、N间的电场中加速，由动能定理得：

qU＝﹣0

粒子在区域I内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：

qvB＝m

解得：R＝

设粒子在磁场中做圆周运动对应的圆心角为α，由几何关系得：

d2+（R﹣L）2＝R2

cosα＝，sinα＝，

解得：L＝﹣

（2）设粒子在区域II中粒子沿z轴方向的分速度为vz，粒子沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，

粒子在z轴方向做匀速直线运动，粒子在z轴方向分速度：vz＝vcosα

在z轴方向：d＝vzt

沿x轴方向：x＝

解得：x＝

（3）设粒子沿y轴方向偏离z轴的距离为y，其中在区域II中沿y轴方向偏离的距离为y′，

则：y′＝vtsinα

由题意可知：y＝L+y′

解得：y＝R﹣+

（4）粒子打到记录板上位置的x坐标：x＝＝

粒子比荷k＝越大x越大，由于k质子＞k氦核＞k氚核，则x质子＞x氦核＞x氚核，

由图乙所示可知，s1、s2、s3分别对应：氚核H、氦核He、质子H的位置；

答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R是，c点到z轴的距离L为﹣；

（2）粒子打到记录板上位置的x坐标是；

（3）粒子打到记录板上位置的y坐标是：R﹣+；

（4）s1、s2、s3分别对应氚核H、氦核He、质子H。

15．（2019•新课标Ⅰ）如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求

（1）带电粒子的比荷；

（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。

【解析】解：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v，

根据动能定理可得：qU＝…①

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，粒子在磁场中运动轨迹如图所示：

根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m…②

根据几何关系可得：d＝r…③

联立①②③式可得：＝…④

（2）由几何关系可知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为

s＝+r•tan30°…⑤

则带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为：t＝…⑥

联立②④⑤⑥式可得：t＝

答：（1）带电粒子的比荷为；

（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为。

16．（2018•新课标Ⅰ）如图，在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y＜0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核H和一个氘核H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。H的质量为m，电荷量为q，不计重力。求

（1）H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；

（2）磁场的磁感应强度大小；

（3）H第一次离开磁场的位置到原点O的距离。

【解析】解：（1）H在电场中做类平抛运动，

水平方向：x1＝v1t1，

竖直方向：h＝a1t12，

粒子进入磁场时竖直分速度：vy＝a1t1＝v1tan60°，

解得：x1＝h；

（2）H在电场中的加速度：a1＝，

H进入磁场时的速度：v＝，

H在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示：

由几何知识得：x1＝2r1sin60°，

H在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

由牛顿第二定律得：qvB＝m，

解得：B＝；

（3）由题意可知：H和H的初动能相等，即：mv12＝•2mv22，

由牛顿第二定律得：qE＝2ma2，

H在电场中做类平抛运动，

水平方向：x2＝v2t2，

竖直方向：h＝a2t22，

H进入磁场时的速度：v′＝，

tanθ′＝＝，

解得：x2＝x1，θ′＝θ＝60°，v′＝v，

H在磁场中做圆周运动，圆周运动的轨道半径：r′＝＝r，

射出点在原点左侧，H进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点间的距离：x2′＝2r′sinθ′，

H第一次离开磁场时的位置距离O点的距离为：d＝x2′﹣x2，

解得：d＝；

答：（1）H第一次进入磁场的位置到原点O的距离为h；

（2）磁场的磁感应强度大小为；

（3）H第一次离开磁场的位置到原点O的距离。

九．带电粒子在混合场中的运动（共1小题）

17．（2022•山东）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系Oxyz中，0＜z≤d空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；﹣3d≤z＜0，y≥0的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为，方向平行于xOy平面，与x轴正方向夹角为45°；z＜0，y≤0的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场，质量为m，带电量为+q的离子，从yOz平面第三象限内距y轴为L的点A以一定速度出射，速度方向与z轴正方向夹角为β，在yOz平面内运动一段时间后，经坐标原点O沿z轴正方向进入磁场Ⅰ，不计离子重力。

（1）当离子甲从A点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；

（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；

（3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场Ⅰ，求第四次穿过xOy平面的位置坐标（用d表示）；

（4）当离子甲以的速度从O点进入磁场Ⅰ时，质量为4m，带电量为+q的离子乙，也从O点沿z轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt（忽略离子间相互作用）。

【解析】解：（1）将离子甲从A点出射速度为v0分解到沿y轴方向和z轴方向，如图1所示

图1

离子受到的电场力沿y轴负方向，可知离子沿z轴方向做匀速直线运动，沿y轴方向做匀减速直线运动，从A到O的过程，有

L＝v0cos β•t

v0sin β＝at

根据牛顿第二定律有：qE＝ma

联立解得：E＝

（2）离子从坐标原点O沿Z轴正方向进入磁场I中，作出粒子运动轨迹如图所示

图2

由洛伦兹力提供向心力可得

qvB＝

离子经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得

qvB＝

则

r2＝r1

为了使离子在磁场中运动，需满足

r1≤d，r2≤3d

联立可得

v≤

（3）离子甲以的速度从O点沿z轴正方向第一次穿过xOy面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径r＝，

解得r1＝

同理在磁场II中的运动半径为r2＝d

作出离子从O点第一次穿过到第四次穿过xOy平面如图3

图3

根据几何关系可知离子第四次穿过xOy平面的x坐标为

x4＝2r2sin45°

离子第四次穿过xOy平面的y坐标为

y4＝2r1＝d

则x4＝y4＝d

故离子第四次穿过xOy平面的位置坐标为（d，d，0）

（4）设离子乙的速度为v'，根据离子甲、乙动能相同，可得

＝

可得

v'＝

根据qvB＝可知

离子乙在磁场I中的轨迹半径为r'1＝2r1

离子乙在磁场II中的轨迹半径为r'2＝2r2

据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图4所示

图4

从O点进入磁场到第一个交点的过程，有

t乙＝+＝+＝（4+4）

t甲＝T1′+T2′＝+＝（2+2）

离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为Δt＝t乙﹣t甲

代入数据解得：Δt＝（2+2）

答：（1）电场强度的大小为；

（2）进入磁场时的最大速度为；

（3）第四次穿过xOy平面的位置坐标为（d，d，0）；

（4）两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为（2+2）。

一十．波长、频率和波速的关系（共1小题）

18．（2018•新课标Ⅰ）一列简谐横波在t＝s的波形图如图（a）所示，P、Q是介质中的两个质点，图（b）是质点Q的振动图象。求：

（i）波速及波的传播方向；

（ii）质点Q的平衡位置的x坐标。

【解析】解：（i）由图（a）可以看出，该波的波长为λ＝36cm，

由图（b）可以看出周期T＝2s，

故波速为v＝＝18cm/s，

由（b）可知，当t＝s时，Q向上振动，结合图（a）可知，该波沿x轴负方向传播；

（ii）设质点P、Q的平衡位置的x轴分别为xP、xQ，由图（a）可知，x＝0处y＝﹣

因此xP＝

由图（b）可知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经过△t＝s，其振动状态向x轴负方向传播到P点处，

所以xQ﹣xP＝v△t＝6cm，

解得质点Q的平衡位置的x坐标为xQ＝9cm。

答：（i）波速为18cm/s，该波沿x轴负方向传播；

（ii）质点Q的平衡位置的x坐标为xQ＝9cm。

一十一．光的折射定律（共2小题）

19．（2021•山东）超强超短光脉冲产生方法曾获诺贝尔物理学奖，其中用到的一种脉冲激光展宽器截面如图所示。在空气中对称放置四个相同的直角三棱镜，顶角为θ。一细束脉冲激光垂直第一个棱镜左侧面入射，经过前两个棱镜后分为平行的光束，再经过后两个棱镜重新合成为一束，此时不同频率的光前后分开，完成脉冲展宽。已知相邻两棱镜斜面间的距离d＝100.0mm，脉冲激光中包含两种频率的光，它们在棱镜中的折射率分别为n1＝和n2＝。取sin37°＝，cos37°＝，＝1.890

（1）为使两种频率的光都能从左侧第一个棱镜斜面射出，求θ的取值范围；

（2）若θ＝37°，求两种频率的光通过整个展宽器的过程中，在空气中的路程差ΔL（保留3位有效数字）。

【解析】解：（1）设C是全反射的临界角，光线在第一个三棱镜右侧斜面上恰好发生全反射时，

根据折射定律得：

代入较大的折射率得：C＝45°

所以顶角θ的范围为0＜θ＜45°（或θ＜45°）

（2）脉冲激光从第一个三棱镜右侧斜面射出时发生折射，设折射角分别为α1和α2，由折射定律得：

，

设两束光在前两个三棱镜斜面之间的路程分别为L1和L2，则满足：

，，ΔL＝2（L1﹣L2）

联立并代入数据得：ΔL＝14.4mm

答：（1）为使两种频率的光都能从左侧第一个棱镜斜面射出，θ的取值范围为0＜θ＜45°；

（2）若θ＝37°，求两种频率的光通过整个展宽器的过程中，在空气中的路程差为14.4mm。

20．（2019•新课标Ⅰ）如图，一艘帆船静止在湖面上，帆船的竖直桅杆顶端高出水面3m。距水面4m的湖底P点发出的激光束，从水面出射后恰好照射到桅杆顶端，该出射光束与竖直方向的夹角为53°（取sin53°＝0.8）。已知水的折射率为。

（i）求桅杆到P点的水平距离；

（ii）船向左行驶一段距离后停止，调整由P点发出的激光束方向，当其与竖直方向夹角为45°时，从水面射出后仍照射在桅杆顶端，求船行驶的距离。

【解析】解：（i）设光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1，到P点的水平距离为x2．桅杆的高度为h1，P点处水深为h2．激光束在水中与竖直方向的夹角为θ。

由几何关系有：

＝tan53°…①

＝tanθ…②

由折射定律有：n＝…③

设桅杆到P点的水平距离为x，则：x＝x1+x2…④

联立①②③④并代入数据解得：x＝7m…⑤

（ii）设激光束在水中与竖直方向的夹角为45°时，从水面出射的方向与竖直方向的夹角为i′。

由折射定律有：n＝…⑥

设船向左行驶的距离为x′，此时光束从水面射出的点到桅杆的水平距离为x1′，到P点的水平距离为x2′，则

x1′+x2′＝x′+x…⑦

＝tani′…⑧

＝tan45°…⑨

联立⑤⑥⑦⑧⑨并代入数据解得：x′＝（6﹣3）m≈5.5m

答：（i）桅杆到P点的水平距离是7m；

（ii）船行驶的距离是5.5m。