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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案，共34页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，知识梳理，学习过程，达标检测等内容，欢迎下载使用。
直线的交点坐标与距离公式
2.3.1两条直线的交点坐标
【学习目标】
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。
【学习重难点】
重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。
【知识梳理】
一、自主导学
两条直线的交点
1．已知两条直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上。所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0，也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0，即点P的坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的解。
2．
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行
点睛：如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点
坐标是两直线方程所组成方程组的解。
二、小试牛刀
1．直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（4，1） C．（3，2） D．（2，1）
【学习过程】
一、问题导学
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。
二、典例解析
例1．直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程。
求过两直线交点的直线方程的方法
(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解。
(2)过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)。
跟踪训练1．三条直线ax＋2y＋7＝0，4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值。
例2．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点。
（1）l1：2x-y=7和l2：3x+2y-7=0；
（2）l1：2x-6y+4=0和l2：4x-12y+8=0；
（3）l1：4x+2y+4=0和l2：y=-2x+3．
跟踪训练2已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限，则a的取值范围是 。
例3（1）求经过点P（1，0）和两直线l1：x+2y-2=0，l2：3x-2y+2=0交点的直线方程；
（2）无论实数a取何值，方程（a-1）x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点，试求该定点。
利用直线系方程求直线的方程
经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（它不能表示直线l2）。反之，当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0时，直线一定过直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0的交点。
跟踪训练3 已知直线l经过原点，且经过另两条直线2x+3y+8=0，
x-y-1=0的交点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y=0 B．2x-y=0 C．x+2y=0 D．x-2y=0
例4光线通过点A（2，3）在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B（1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程。
点关于直线的对称点的求法
点P（x，y）关于直线Ax+By+C=0的对称点P0（x0，y0），满足关系A·x+x02+B·y+y02+C=0，y-y0x-x0=BA，解方程组可得点P0的坐标。
跟踪训练4 直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若A，B两点的坐标分别为A（-4，2），B（3，1），求点C的坐标。
金题典例 过点P（3，0）作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A，B，且点P恰好为线段AB的中点，求此直线的方程。
【达标检测】
1．直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（ ）
A．（-9，-10） B．（-9，10） C．（9，10） D．（9，-10）
2．直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为（ ）
A．-24 B．24 C．6 D．±6
3．已知直线l1：ax+y-6=0与l2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为 。
4．求证：不论m为何值，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5都通过一定点。
5．已知两直线l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0.
（1）求l1与l2的交点坐标；
（2）求过l1与l2交点且与直线x＋y＋1＝0平行的直线方程。
课堂小结
参考答案：
知识梳理
二、小试牛刀
1．解析：解方程组x+y=5，x-y=3，得x=4，y=1．因此交点坐标为（4，1）。
答案：B
【学习过程】
例1．[解] 法一：联立方程解得即直线l过点（－1，3）。
因为直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－3＝（x＋1），即3x－2y＋9＝0.
法二：因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，
所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，
整理得（1＋λ）x＋（λ－1）y＋4－2λ＝0，
因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，
所以＝≠，解得λ＝，
所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.
跟踪训练1．[解] 解方程组
得
所以两条直线的交点坐标为（4，－2）。
由题意知点（4，－2）在直线ax＋2y＋7＝0上，将（4，－2）代入，
得a×4＋2×（－2）＋7＝0，解得a＝－。
例2．思路分析：直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交。
解：（1）方程组2x-y-7=0，3x+2y-7=0的解为x=3，y=-1．
因此直线l1和l2相交，交点坐标为（3，-1）。
（2）方程组2x-6y+4=0，4x-12y+8=0有无数个解，
这表明直线l1和l2重合。
（3）方程组4x+2y+4=0，y=-2x+3无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2．
跟踪训练2解析：由5x+4y=2a+1，2x+3y=a，得x=2a+37，y=a-27，
由2a+37>0，a-27<0，得a>-32，a<2．∴-32
例3思路分析：（1）设所求直线方程为x+2y-2+λ（3x-2y+2）=0，再将x=1，y=0代入求出λ，即得所求直线方程。
（2）将直线方程改写为-x-y-1+a（x+2）=0.
解方程组-x-y-1=0，x+2=0，得直线所过定点。
解：（1）设所求直线方程为x+2y-2+λ（3x-2y+2）=0.
∵点P（1，0）在直线上，∴1-2+λ（3+2）=0.
∴λ=15。∴所求方程为x+2y-2+15（3x-2y+2）=0，
即x+y-1=0.
（2）由（a-1）x-y+2a-1=0，得-x-y-1+a（x+2）=0.
所以，已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点。
解方程组-x-y-1=0，x+2=0，得x=-2，y=1．
所以方程（a-1）x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点（-2，1）。
跟踪训练3解析：（方法1）解方程组2x+3y+8=0，x-y-1=0，得交点为（-1，-2）。又直线l经过原点，由两点式得其方程为y-0-2-0=x-0-1-0，即2x-y=0.
（方法2）设直线l的方程为2x+3y+8+λ（x-y-1）=0，因其过原点，
所以8+（-λ）=0，λ=8，直线l的方程为2x-y=0.
答案：B
例4思路分析：求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
解：设点A（2，3）关于直线l的对称点为A'（x0，y0），
则2+x02+3+y02+1=0，y0-3x0-2=1，
解之，得A'（-4，-3）。
由于反射光线经过点A'（-4，-3）和B（1，1），
所以反射光线所在直线的方程为y-1=1+31+4·（x-1），
即4x-5y+1=0.
解方程组4x-5y+1=0，x+y+1=0，得反射点P（-23，-13）。
所以入射光线所在直线的方程为y-3=3+132+23·（x-2），即5x-4y+2=0.
跟踪训练4解：把A，B两点坐标代入y=2x知，A、B不在直线y=2x上，因此y=2x为角C的平分线，设点A（-4，2）关于y=2x的对称点为A'（a，b），则
kAA'=b-2a+4，线段AA'的中点坐标为（a-42，b+22），
则b-2a+4·2=-1，b+22=2·a-42，解得a=4，b=-2，∴A'（4，-2），
∵y=2x是角C平分线所在直线的方程，
∴A'在直线BC上，
∴直线BC的方程为y+21+2=x-43-4，即3x+y-10=0，由y=2x，3x+y-10=0，解得x=2，y=4，∴C（2，4）。
金题典例 解：分析一：设出直线的方程，求出交点的坐标，再用中点坐标公式。
解法一：若直线斜率不存在，则方程为x=3．
由x=3，2x-y-2=0，得A（3，4）。
由x=3，x+y+3=0，得B（3，-6）。
由于4+（-6）2=-1≠0，∴P不为线段AB的中点。
若直线斜率存在，设为k，则方程为y=k（x-3）。
由y=k（x-3），2x-y-2=0，得A（3k-2k-2，4kk-2）。
由y=k（x-3），x+y+3=0，得B（3k-3k+1，-6kk+1）。
∵P（3，0）为线段AB的中点，
∴3k-2k-2+3k-3k+1=6，4kk-2-6kk+1=0.∴2k-16=0，k2-8k=0.
∴k=8．
∴所求直线方程为y=8（x-3），即8x-y-24=0.
分析二：设出A（x1，y1），由P（3，0）为AB的中点，易求出B的坐标，而点B在另一直线上，从而求出x1、y1的值，再由两点式求直线的方程。
解法二：设A点坐标为（x1，y1），则由P（3，0）为线段AB的中点，得B点坐标为（6-x1，-y1）。
∵点A，B分别在已知两直线上，
∴2x1-y1-2=0，（6-x1）+（-y1）+3=0.解得x1=113，y1=163。
∴A113，163。∵点A，P都在直线AB上，
∴直线AB的方程为y-0163-0=x-3113-3，
即8x-y-24=0.
分析三：由于P（3，0）为线段AB的中点，可对称地将A，B坐标设为（3+a，b），（3-a，-b），
代入已知方程。
∴2（3+a）-b-2=0，3-a+（-b）+3=0.∴a=23，b=163。
∴直线AB的斜率即直线AP的斜率，值为b-03+a-3=ba=8．
∴所求直线的方程为y=8（x-3），即8x-y-24=0.
点睛：解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累，以上三种解法各有特点，要善于总结，学习其简捷解法，以提高解题速度。
解法三：∵P（3，0）为线段AB的中点，∴可设A（3+a，b），B（3-a，-b）。
∵点A，B分别在已知直线上，
【达标检测】
1．解析：解方程组2x+y+8=0，x+y-1=0，得x=-9，y=10，即交点坐标是（-9，10）。
答案：B
2．解析：∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，可设交点坐标为（a，0），
∴2a-k=0，a+12=0，解得a=-12，k=-24，故选A．
答案：A
3．解析：∵直线l1：ax+y-6=0与l2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P，且l1⊥l2，
∴a×1+1×（a-2）=0，解得a=1，
联立方程x+y-6=0，x-y=0，易得x=3，y=3，
∴点P的坐标为（3，3）。
答案：（3，3）
4．证明：将原方程按m的降幂排列，整理得（x+2y-1）m-（x+y-5）=0，
此式对于m的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，m的一次项系
数与常数项均等于零，故有x+2y-1=0，x+y-5=0，解得x=9，y=-4．
∴m为任意实数时，所给直线必通过定点（9，-4）。
5．解析：（1）联立两条直线的方程：解得x＝1，y＝－1．
所以l1与l2的交点坐标是（1，－1）。
（2）设与直线x＋y＋1＝0平行的直线l方程为x＋y＋c＝0，
因为直线l过l1与l2的交点（1，－1），所以c＝0.
所以直线l的方程为x＋y＝0.
2.3.2两点间的距离公式
【学习目标】
1．掌握平面上两点间的距离公式。
2．会运用坐标法证明简单的平面几何问题。
【学习重难点】
重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用。
难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题。
知识梳理
一、自主导学
问题1．在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？
问题2：在平面直角坐标系中能否利用数轴上两点间的距离求出任意两点间距离？
探究：当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由。
两点间距离公式的理解
（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝。
（2）当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|。
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|。
两点间的距离公式
（1）公式：点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式|P1P2|＝。
（2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根。
二、小试牛刀
1．已知点P1（4，2），P2（2，-2），则|P1P2|= 。
【学习过程】
一、情境导学
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行。如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
二、典例解析
例1．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-3，1），B（3，-3），C（1，7），试判断△ABC的形状。
两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形结合思想的应用。
跟踪训练1已知点A（-3，4），B（2，3），在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值。
例2如图，在△ABC中，|AB|=|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，
求证：|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|。
坐标法及其应用
1．坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系。坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决。建系的原则主要有两点：
（1）让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
（2）如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴。
2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
（1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
（2）用坐标表示有关的量；
（3）将几何关系转化为坐标运算；
（4）把代数运算结果“翻译”成几何关系。
跟踪训练2已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小，并求此最小值。
【达标检测】
1．点A（1，-2）关于原点的对称点为A'，则|AA'|为（ ）
A．25 B．5 C．52 D．23
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点P（2，-1），则|AB|=（ ）
A．25 B．42 C．5 D．210
3．函数y＝＋的最小值是（ ）
A．0 B． C．13 D．不存在
4．以A（5，5），B（1，4），C（4，1）为顶点的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．已知点A（3，6），在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________。
6．已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（2，3），则BC边上的中线长为_____。
7．点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标。
8．正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立直角坐标系，证明：BF⊥AE。
课堂小结
1．两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题（如根据各边长度判断三角形或四边形的形状），根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分。
2．应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：
第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系。
参考答案：
知识梳理
问题1．提示：|AB|＝|xA－xB|。
问题2：提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解。
探究。答案：如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
所以|P1P2|＝。
即两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离|P1P2|＝。
二、小试牛刀
1．解析：|P1P2|=（4-2）2+（2+2）2=25。
答案：25
【学习过程】
例1．思路分析：可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状。
解：（方法1）∵|AB|=（3+3）2+（-3-1）2=52，
|AC|=（1+3）2+（7-1）2=52，
|BC|=（1-3）2+（7+3）2=104，
∴|AB|=|AC|，且|AB|2+|AC|2=|BC|2．
∴△ABC是等腰直角三角形。
（方法2）∵kAC=7-11-（-3）=32，kAB=-3-13-（-3）=-23，∴kAC·kAB=-1．∴AC⊥AB．
又|AC|=（1+3）2+（7-1）2=52，|AB|=（3+3）2+（-3-1）2=52，
∴|AC|=|AB|。∴△ABC是等腰直角三角形。
跟踪训练1解：设点P（x，0），则有|PA|=（x+3）2+（0-4）2=x2+6x+25，
|PB|=（x-2）2+（0-3）2=x2-4x+7。
由|PA|=|PB|，得x2+6x+25=x2-4x+7，
解得x=-95。即所求点P为-95，0，
且|PA|=（-95+3）2+（0-4）2=21095。
例2思路分析：建立适当的直角坐标系，设出各顶点的坐标，应用两点间的距离公式证明。
证明：如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系。
设A（0，a），B（-b，0），C（b，0），D（m，0）（-b
|AD|2=（m-0）2+（0-a）2=m2+a2，
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=（b+m）（b-m）=b2-m2，
∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2，
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|。
跟踪训练2解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示。
∵正三角形ABC的边长为a，
∴B-a2，0，Ca2，0，A0，32a。设P（x，y），由两点间的距离公式，得
|PA|2+|PB|2+|PC|2
=x2+y-32a2+x+a22+y2+x-a22+y2
=3x2+3y2-3ay+5a24
=3x2+3y-36a2+a2≥a2，
当且仅当x=0，y=36a时，等号成立，
故所求最小值为a2，此时点P的坐标为0，36a。
【达标检测】
1．解析：因为A（1，-2）关于原点的对称点A'（-1，2），所以|AA'|=（-1-1）2+（2+2）2=4+16=25。故选A．
答案：A
2．解析：依题意设A（a，0），B（0，b），
∵P（2，-1）为线段AB的中点，∴a=4，b=-2．
∴A（4，0），B（0，-2）。
∴|AB|=（4-0）2+（0+2）2=25。
答案：A
3．解析：原函数可化为y＝＋，
设P（x，0），A（0，1），B（2，－2）。
则y＝|PA|＋|PB|。
∵P是x轴上的动点，A，B是两个定点，∴|PA|＋|PB|≥|AB|＝，
∴当P，A，B三点共线时，ymin＝。
答案：B
4．解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故△ABC为等腰三角形。
答案：B
5．解析：设点P的坐标为（x，0），由d（P，A）＝10得＝10，
解得x＝11或x＝－5．
∴点P的坐标为（－5，0）或（11，0）。
答案： （－5，0）或（11，0）
6．解析： BC的中点坐标为（0，1），则BC的中线长为＝。
答案：
7．解析：由题意得A点的纵坐标为－3，设A（x，－3），
则＝5，x＝±4．
又点A在第四象限，∴x＝－4（舍），∴A（4，－3）。
8．证明：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图。
则A（0，0），B（6，0），E（6，3），F（3，6）。
∴kBF＝＝－2，kAE＝＝。
∵kBF·kAE＝－1，∴BF⊥AE。
2.3.3点到直线的距离公式
【学习目标】
1．会用向量工具推导点到直线的距离公式。
2．掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线距离公式解决有关距离问题。
3．通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
【学习重难点】
重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用。
难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析。
【知识梳理】
一、自主导学
1．点到直线的距离
（1）定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度。
（2）图示：
（3）公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2。
点睛：（1）运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式。
（2）当点P0在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用。
二、小试牛刀
1．判断对错：点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2。（ ）
2．点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
A．12 B．32 C．322 D．22
3．你能说出代数式|3a+b+1|2的几何意义吗？
【学习过程】
一、情境导学
在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路。请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？
思考1：最容易想到的方法是什么？
反思：这种解法的优缺点是什么？
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ的模，设M（x，y）是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则PQ是PM在上n的投影向量，PQ=PM∙n。
思考2：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n？
思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
二、典例解析
例1 求点P（3，－2）到下列直线的距离：
（1）y＝x＋；（2）y＝6；（3）x＝4．
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式。
（2）点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用。
（3）直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解。
跟踪训练1已知直线l经过点M（-1，2），且A（2，3），B（-4，5）两点到直线l的距离相等，
求直线l的方程。
点睛：用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意。
延伸探究若将本题改为“已知直线l经过点M（-1，2），点A（2，3），B（-4，5）在l的同侧且到该直线l的距离相等”，则所求l的方程为 。
易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错
案例求经过点P（-3，5），且与原点距离等于3的直线l的方程。
点睛：在根据距离确定直线方程时，易忽略直线斜率不存在的情况，避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时，应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件，然后再求解。
【达标检测】
1．点（1，-1）到直线y=1的距离是（ ）
A．2 B．22 C．3 D．2
2．已知点A（-3，-4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于（ ）
A．79 B．-13
C．-79或-13 D．-79或13
3．直线3x-4y-27=0上到点P（2，1）距离最近的点的坐标是 。
4．已知△ABC三个顶点坐标A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），求△ABC的面积S。
5．已知直线l经过点P（0，2），且A（1，1），B（-3，1）两点到直线l的距离相等，求直线l的方程。
课堂小结
1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式。
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰。
参考答案：
知识梳理
二、小试牛刀
1．答案：×
2．答案：C
解析：由点到直线的距离公式可得|1-（-1）+1|2=322。
3．提示：该代数式可表示平面内点（a，b）到直线3x+y+1=0的距离。
【学习过程】
思考1：思路①。定义法，其步骤为：①求l的垂线lPQ的方程②解方程组，③得交点Q的坐标④求|PQ|的长
思考2：设P1x1，y1，P2（x2，y2）直线l：Ax+By+C=0上的任意两点，则P1P2=（x2-x1，y2-y1）是直线l的方向向量。把Ax1+By1+C=0，Ax2+By2+C=0两式相减，得A（x2-x1）+B（y2-y1）=0，由平面向量的数量积运算可知，向量（A，B）与向量（x2-x1，y2-y1）垂直，向量1A2+B2（A，B）就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取n=1A2+B2（A，B），
从而PM∙n=（x-x0，y-y0）1A2+B2（A，B）=1A2+B2（Ax+By-Ax0-By0）
因为点M（x，y）在直线l上所以Ax+By+C=0代入上式，
得PM∙n=1A2+B2（-Ax0-By0-C）
因此PQ=PM∙n=Ax0+By0+CA2+B2
二、典例解析
例1 [解] （1）直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得
d＝＝。
（2因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8．
（3）因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1．
跟踪训练1解：（方法一）当过点M（-1，2）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，
恰好A（2，3），B（-4，5）两点到直线l的距离相等，
故x=-1满足题意；
当过点M（-1，2）的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，
由A（2，3）与B（-4，5）两点到直线l的距离相等，得
即x+3y-5=0.
综上所述，直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1，解得k=-13，
此时l的方程为y-2=-13（x+1），
（方法二）由题意得l∥AB或l过AB的中点。
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
即x+3y-5=0.
当l过AB的中点（-1，4）时，直线l的方程为x=-1．
综上所述，直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
直线l的斜率为kl，则kAB=kl=5-3-4-2=-13，
此时直线l的方程为y-2=-13（x+1），
延伸探究解析：将本例（2）中的x=-1这一情况舍去即可，也就是要舍去两点在直线l异侧的情况。
答案：x+3y-5=0
案例所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3．
所以15k+8=0.所以k=-815。
故直线l的方程为-815x-y+3×-815+5=0，
错解：设所求直线方程为y-5=k（x+3），
整理，得kx-y+3k+5=0.
错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密，求直线的方程时直接设为点斜式，没有考虑斜率不存在的情况。
正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y-5=k（x+3），整理，得kx-y+3k+5=0.
即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-3也满足题意。故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3．
所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3．
所以15k+8=0.所以k=-815。
故所求直线方程为y-5=-815（x+3），
【达标检测】
1．解析：d=|-1-1|1+0=2，故选D．答案：D
2．解析：由点到直线的距离公式可得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，化简得|3a+3|=|6a+4|，
解得实数a=-79或-13。故选C．
答案：C
3．解析：由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
直线MP的方程为y-1=-43（x-2），
解方程组3x-4y-27=0，y-1=-43（x-2），得x=5，y=-3，
∴所求点的坐标为（5，-3）。
答案：（5，-3）
4．【解析】由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，
即x－2y＋3＝0，由两点间距离公式得
|BC|＝，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4．
5．解：（方法一）∵点A（1，1）与B（-3，1）到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k。
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y=kx+2，即kx-y+2=0.
由点A（1，1）与B（-3，1）到直线l的距离相等，
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1，解得k=0或k=1．
（方法二）当直线l过线段AB的中点时，A，B两点到直线l的距离相等。
∵AB的中点是（-1，1），又直线l过点P（0，2），
∴直线l的方程是x-y+2=0.
当直线l∥AB时，A，B两点到直线l的距离相等。
∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，
∴直线l的方程为y=2．
综上所述，满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2．
2.3.4两条平行线间的距离
【学习目标】
1．理解两条平行线间的距离公式的推导
2．会求两条平行直线间的距离。
3．通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力。
【学习重难点】
重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式。
难点：应用距离公式解决综合问题。
【知识梳理】
一、自主导学
问题：已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点Px0，y0，，点Px0，y0到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
两条平行直线间的距离
1．定义：夹在两平行线间的公垂线段的长。
2．图示：
3．求法：转化为点到直线的距离。
二、小试牛刀
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
【学习过程】
一、情境导学
前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。
思考：立定跳远测量的什么距离？
A．两平行线的距离 B．点到直线的距离 C．点到点的距离
二、典例解析
例1．求证两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为d=C1-C2A2+B2
思考：两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线应有什么要求？
跟踪训练1两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
例2．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程。
求两平行直线间距离的两种思路
1．利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离。
2．接利直用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等。
跟踪训练2．直线l1过点A（0，1），l2过点B（5，0），如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程。
例3．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为D．你能求出d的取值范围吗？
变式1．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程。
距离公式综合应用的三种常用类型
1最值问题。
①利用对称转化为两点之间的距离问题。
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离。
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值。
2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值。
3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解。）
金题典例：已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程。
母题探究：1．求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程。
2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？
【达标检测】
1．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（ ）
A．1 B．0 C． D．3
2．分别过点A（－2，1）和点B（3，－5）的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________。
3．已知两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________。
4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程。
课堂小结
点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）之间的距离d＝
参考答案：
知识梳理
二、小试牛刀
1．D [d＝＝。选D．]
【学习过程】
二、典例解析
例1．分析：两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离
证明：在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0，y0，点Px0，y0到直线Ax+By+C2=0的距离，就是这两条平行线间的距离即
d=Ax0+By0+C2A2+B2
因为点Px0，y0在直线Ax+By+C1=0上，所以Ax0+By0+C1=0，
即Ax0+By0=-C1因此d=Ax0+By0+C2A2+B2=-C1+C2A2+B2=C1-C2A2+B2
思考3：[提示] 两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等。
跟踪训练1解析：因为两直线平行，所以m=2．
将6x+2y+1=0化为3x+y+=0，
由两条平行线间的距离公式得d==，选D．
例2．思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2．进而求出直线方程。
[解] 由直线l1，l2的方程知l1∥l2．又由题意知，直线l与l1，l2均平行（否则d1＝0或d2＝0，不符合题意）。设直线l：3x－2y＋m＝0（m≠－1且m≠－13），由两平行线间的距离公式，得d1＝，d2＝，
又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
解得m＝－25或m＝－9．
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
跟踪训练2[解] 若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得l2的方程为y＝k（x－5），即kx－y－5k＝0.在直线l1
上取点A（0，1），
则点A到直线l2的距离d＝＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝。
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，
l2的方程为12x－5y－60＝0.
若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，满足条件。
则满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；
l1：x＝0，l2：x＝5．
例3．解析：如图，显然有0
故所求的d的变化范围为（0，3]。
变式1．解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直。
而kAB＝＝，
∴所求直线的斜率为－3．
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3），
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
金题典例：思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解。
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0（c≠－5）。
由得正方形的中心坐标为P（－1，0），
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5（舍去）。∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
母题探究：[解] 由例题知，正方形中心坐标为P（－1，0），则与OP垂直的直线到原点的距离最大。∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1．
2．[解] 由可得交点坐标为，又正方形中心为P（－1，0）。
∴由两点式方程得对角线方程为：＝，即2x＋y＋2＝0.
由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P（－1，0），
∴由两点式得另一对角线方程为：＝，即x－2y＋1＝0.
综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.
【达标检测】
1．【答案】A [l1、l2的距离为d＝＝1．选A．]
2．【答案】 5【解析】 d＝|3－（－2）|＝5．
3．【答案】或－6 [由＝，解得m＝或m＝－6．]
4．【解析】 ∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33．
∴所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.
直线的交点坐标与距离公式
2.3.1两条直线的交点坐标
【学习目标】
1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。
2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。
【学习重难点】
重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系。
【知识梳理】
一、自主导学
两条直线的交点
1．已知两条直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上。所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0，也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0，即点P的坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的解。
2．
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1和l2公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1和l2的位置关系
相交
重合
平行
点睛：如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点
坐标是两直线方程所组成方程组的解。
二、小试牛刀
1．直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（4，1） C．（3，2） D．（2，1）
【学习过程】
一、问题导学
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。
二、典例解析
例1．直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程。
求过两直线交点的直线方程的方法
(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解。
(2)过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)。
跟踪训练1．三条直线ax＋2y＋7＝0，4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值。
例2．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点。
（1）l1：2x-y=7和l2：3x+2y-7=0；
（2）l1：2x-6y+4=0和l2：4x-12y+8=0；
（3）l1：4x+2y+4=0和l2：y=-2x+3．
跟踪训练2已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限，则a的取值范围是 。
例3（1）求经过点P（1，0）和两直线l1：x+2y-2=0，l2：3x-2y+2=0交点的直线方程；
（2）无论实数a取何值，方程（a-1）x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点，试求该定点。
利用直线系方程求直线的方程
经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（它不能表示直线l2）。反之，当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0时，直线一定过直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0的交点。
跟踪训练3 已知直线l经过原点，且经过另两条直线2x+3y+8=0，
x-y-1=0的交点，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y=0 B．2x-y=0 C．x+2y=0 D．x-2y=0
例4光线通过点A（2，3）在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B（1，1），试求入射光线和反射光线所在直线的方程。
点关于直线的对称点的求法
点P（x，y）关于直线Ax+By+C=0的对称点P0（x0，y0），满足关系A·x+x02+B·y+y02+C=0，y-y0x-x0=BA，解方程组可得点P0的坐标。
跟踪训练4 直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若A，B两点的坐标分别为A（-4，2），B（3，1），求点C的坐标。
金题典例 过点P（3，0）作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A，B，且点P恰好为线段AB的中点，求此直线的方程。
【达标检测】
1．直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（ ）
A．（-9，-10） B．（-9，10） C．（9，10） D．（9，-10）
2．直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为（ ）
A．-24 B．24 C．6 D．±6
3．已知直线l1：ax+y-6=0与l2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为 。
4．求证：不论m为何值，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5都通过一定点。
5．已知两直线l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0.
（1）求l1与l2的交点坐标；
（2）求过l1与l2交点且与直线x＋y＋1＝0平行的直线方程。
课堂小结
参考答案：
知识梳理
二、小试牛刀
1．解析：解方程组x+y=5，x-y=3，得x=4，y=1．因此交点坐标为（4，1）。
答案：B
【学习过程】
例1．[解] 法一：联立方程解得即直线l过点（－1，3）。
因为直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－3＝（x＋1），即3x－2y＋9＝0.
法二：因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，
所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，
整理得（1＋λ）x＋（λ－1）y＋4－2λ＝0，
因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，
所以＝≠，解得λ＝，
所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.
跟踪训练1．[解] 解方程组
得
所以两条直线的交点坐标为（4，－2）。
由题意知点（4，－2）在直线ax＋2y＋7＝0上，将（4，－2）代入，
得a×4＋2×（－2）＋7＝0，解得a＝－。
例2．思路分析：直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交。
解：（1）方程组2x-y-7=0，3x+2y-7=0的解为x=3，y=-1．
因此直线l1和l2相交，交点坐标为（3，-1）。
（2）方程组2x-6y+4=0，4x-12y+8=0有无数个解，
这表明直线l1和l2重合。
（3）方程组4x+2y+4=0，y=-2x+3无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2．
跟踪训练2解析：由5x+4y=2a+1，2x+3y=a，得x=2a+37，y=a-27，
由2a+37>0，a-27<0，得a>-32，a<2．∴-32
例3思路分析：（1）设所求直线方程为x+2y-2+λ（3x-2y+2）=0，再将x=1，y=0代入求出λ，即得所求直线方程。
（2）将直线方程改写为-x-y-1+a（x+2）=0.
解方程组-x-y-1=0，x+2=0，得直线所过定点。
解：（1）设所求直线方程为x+2y-2+λ（3x-2y+2）=0.
∵点P（1，0）在直线上，∴1-2+λ（3+2）=0.
∴λ=15。∴所求方程为x+2y-2+15（3x-2y+2）=0，
即x+y-1=0.
（2）由（a-1）x-y+2a-1=0，得-x-y-1+a（x+2）=0.
所以，已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点。
解方程组-x-y-1=0，x+2=0，得x=-2，y=1．
所以方程（a-1）x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点（-2，1）。
跟踪训练3解析：（方法1）解方程组2x+3y+8=0，x-y-1=0，得交点为（-1，-2）。又直线l经过原点，由两点式得其方程为y-0-2-0=x-0-1-0，即2x-y=0.
（方法2）设直线l的方程为2x+3y+8+λ（x-y-1）=0，因其过原点，
所以8+（-λ）=0，λ=8，直线l的方程为2x-y=0.
答案：B
例4思路分析：求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
解：设点A（2，3）关于直线l的对称点为A'（x0，y0），
则2+x02+3+y02+1=0，y0-3x0-2=1，
解之，得A'（-4，-3）。
由于反射光线经过点A'（-4，-3）和B（1，1），
所以反射光线所在直线的方程为y-1=1+31+4·（x-1），
即4x-5y+1=0.
解方程组4x-5y+1=0，x+y+1=0，得反射点P（-23，-13）。
所以入射光线所在直线的方程为y-3=3+132+23·（x-2），即5x-4y+2=0.
跟踪训练4解：把A，B两点坐标代入y=2x知，A、B不在直线y=2x上，因此y=2x为角C的平分线，设点A（-4，2）关于y=2x的对称点为A'（a，b），则
kAA'=b-2a+4，线段AA'的中点坐标为（a-42，b+22），
则b-2a+4·2=-1，b+22=2·a-42，解得a=4，b=-2，∴A'（4，-2），
∵y=2x是角C平分线所在直线的方程，
∴A'在直线BC上，
∴直线BC的方程为y+21+2=x-43-4，即3x+y-10=0，由y=2x，3x+y-10=0，解得x=2，y=4，∴C（2，4）。
金题典例 解：分析一：设出直线的方程，求出交点的坐标，再用中点坐标公式。
解法一：若直线斜率不存在，则方程为x=3．
由x=3，2x-y-2=0，得A（3，4）。
由x=3，x+y+3=0，得B（3，-6）。
由于4+（-6）2=-1≠0，∴P不为线段AB的中点。
若直线斜率存在，设为k，则方程为y=k（x-3）。
由y=k（x-3），2x-y-2=0，得A（3k-2k-2，4kk-2）。
由y=k（x-3），x+y+3=0，得B（3k-3k+1，-6kk+1）。
∵P（3，0）为线段AB的中点，
∴3k-2k-2+3k-3k+1=6，4kk-2-6kk+1=0.∴2k-16=0，k2-8k=0.
∴k=8．
∴所求直线方程为y=8（x-3），即8x-y-24=0.
分析二：设出A（x1，y1），由P（3，0）为AB的中点，易求出B的坐标，而点B在另一直线上，从而求出x1、y1的值，再由两点式求直线的方程。
解法二：设A点坐标为（x1，y1），则由P（3，0）为线段AB的中点，得B点坐标为（6-x1，-y1）。
∵点A，B分别在已知两直线上，
∴2x1-y1-2=0，（6-x1）+（-y1）+3=0.解得x1=113，y1=163。
∴A113，163。∵点A，P都在直线AB上，
∴直线AB的方程为y-0163-0=x-3113-3，
即8x-y-24=0.
分析三：由于P（3，0）为线段AB的中点，可对称地将A，B坐标设为（3+a，b），（3-a，-b），
代入已知方程。
∴2（3+a）-b-2=0，3-a+（-b）+3=0.∴a=23，b=163。
∴直线AB的斜率即直线AP的斜率，值为b-03+a-3=ba=8．
∴所求直线的方程为y=8（x-3），即8x-y-24=0.
点睛：解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累，以上三种解法各有特点，要善于总结，学习其简捷解法，以提高解题速度。
解法三：∵P（3，0）为线段AB的中点，∴可设A（3+a，b），B（3-a，-b）。
∵点A，B分别在已知直线上，
【达标检测】
1．解析：解方程组2x+y+8=0，x+y-1=0，得x=-9，y=10，即交点坐标是（-9，10）。
答案：B
2．解析：∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，可设交点坐标为（a，0），
∴2a-k=0，a+12=0，解得a=-12，k=-24，故选A．
答案：A
3．解析：∵直线l1：ax+y-6=0与l2：x+（a-2）y+a-1=0相交于点P，且l1⊥l2，
∴a×1+1×（a-2）=0，解得a=1，
联立方程x+y-6=0，x-y=0，易得x=3，y=3，
∴点P的坐标为（3，3）。
答案：（3，3）
4．证明：将原方程按m的降幂排列，整理得（x+2y-1）m-（x+y-5）=0，
此式对于m的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，m的一次项系
数与常数项均等于零，故有x+2y-1=0，x+y-5=0，解得x=9，y=-4．
∴m为任意实数时，所给直线必通过定点（9，-4）。
5．解析：（1）联立两条直线的方程：解得x＝1，y＝－1．
所以l1与l2的交点坐标是（1，－1）。
（2）设与直线x＋y＋1＝0平行的直线l方程为x＋y＋c＝0，
因为直线l过l1与l2的交点（1，－1），所以c＝0.
所以直线l的方程为x＋y＝0.
2.3.2两点间的距离公式
【学习目标】
1．掌握平面上两点间的距离公式。
2．会运用坐标法证明简单的平面几何问题。
【学习重难点】
重点：平面上两点间的距离公式的推导与应用。
难点：运用坐标法证明简单的平面几何问题。
知识梳理
一、自主导学
问题1．在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？
问题2：在平面直角坐标系中能否利用数轴上两点间的距离求出任意两点间距离？
探究：当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由。
两点间距离公式的理解
（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝。
（2）当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|。
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|。
两点间的距离公式
（1）公式：点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式|P1P2|＝。
（2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根。
二、小试牛刀
1．已知点P1（4，2），P2（2，-2），则|P1P2|= 。
【学习过程】
一、情境导学
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行。如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
二、典例解析
例1．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-3，1），B（3，-3），C（1，7），试判断△ABC的形状。
两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形结合思想的应用。
跟踪训练1已知点A（-3，4），B（2，3），在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值。
例2如图，在△ABC中，|AB|=|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点，
求证：|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|。
坐标法及其应用
1．坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系。坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决。建系的原则主要有两点：
（1）让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
（2）如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴。
2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
（1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
（2）用坐标表示有关的量；
（3）将几何关系转化为坐标运算；
（4）把代数运算结果“翻译”成几何关系。
跟踪训练2已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小，并求此最小值。
【达标检测】
1．点A（1，-2）关于原点的对称点为A'，则|AA'|为（ ）
A．25 B．5 C．52 D．23
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点P（2，-1），则|AB|=（ ）
A．25 B．42 C．5 D．210
3．函数y＝＋的最小值是（ ）
A．0 B． C．13 D．不存在
4．以A（5，5），B（1，4），C（4，1）为顶点的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．已知点A（3，6），在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________。
6．已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（2，3），则BC边上的中线长为_____。
7．点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标。
8．正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立直角坐标系，证明：BF⊥AE。
课堂小结
1．两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题（如根据各边长度判断三角形或四边形的形状），根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分。
2．应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：
第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系。
参考答案：
知识梳理
问题1．提示：|AB|＝|xA－xB|。
问题2：提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解。
探究。答案：如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
所以|P1P2|＝。
即两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离|P1P2|＝。
二、小试牛刀
1．解析：|P1P2|=（4-2）2+（2+2）2=25。
答案：25
【学习过程】
例1．思路分析：可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状。
解：（方法1）∵|AB|=（3+3）2+（-3-1）2=52，
|AC|=（1+3）2+（7-1）2=52，
|BC|=（1-3）2+（7+3）2=104，
∴|AB|=|AC|，且|AB|2+|AC|2=|BC|2．
∴△ABC是等腰直角三角形。
（方法2）∵kAC=7-11-（-3）=32，kAB=-3-13-（-3）=-23，∴kAC·kAB=-1．∴AC⊥AB．
又|AC|=（1+3）2+（7-1）2=52，|AB|=（3+3）2+（-3-1）2=52，
∴|AC|=|AB|。∴△ABC是等腰直角三角形。
跟踪训练1解：设点P（x，0），则有|PA|=（x+3）2+（0-4）2=x2+6x+25，
|PB|=（x-2）2+（0-3）2=x2-4x+7。
由|PA|=|PB|，得x2+6x+25=x2-4x+7，
解得x=-95。即所求点P为-95，0，
且|PA|=（-95+3）2+（0-4）2=21095。
例2思路分析：建立适当的直角坐标系，设出各顶点的坐标，应用两点间的距离公式证明。
证明：如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系。
设A（0，a），B（-b，0），C（b，0），D（m，0）（-b
|AD|2=（m-0）2+（0-a）2=m2+a2，
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=（b+m）（b-m）=b2-m2，
∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2，
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|。
跟踪训练2解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示。
∵正三角形ABC的边长为a，
∴B-a2，0，Ca2，0，A0，32a。设P（x，y），由两点间的距离公式，得
|PA|2+|PB|2+|PC|2
=x2+y-32a2+x+a22+y2+x-a22+y2
=3x2+3y2-3ay+5a24
=3x2+3y-36a2+a2≥a2，
当且仅当x=0，y=36a时，等号成立，
故所求最小值为a2，此时点P的坐标为0，36a。
【达标检测】
1．解析：因为A（1，-2）关于原点的对称点A'（-1，2），所以|AA'|=（-1-1）2+（2+2）2=4+16=25。故选A．
答案：A
2．解析：依题意设A（a，0），B（0，b），
∵P（2，-1）为线段AB的中点，∴a=4，b=-2．
∴A（4，0），B（0，-2）。
∴|AB|=（4-0）2+（0+2）2=25。
答案：A
3．解析：原函数可化为y＝＋，
设P（x，0），A（0，1），B（2，－2）。
则y＝|PA|＋|PB|。
∵P是x轴上的动点，A，B是两个定点，∴|PA|＋|PB|≥|AB|＝，
∴当P，A，B三点共线时，ymin＝。
答案：B
4．解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故△ABC为等腰三角形。
答案：B
5．解析：设点P的坐标为（x，0），由d（P，A）＝10得＝10，
解得x＝11或x＝－5．
∴点P的坐标为（－5，0）或（11，0）。
答案： （－5，0）或（11，0）
6．解析： BC的中点坐标为（0，1），则BC的中线长为＝。
答案：
7．解析：由题意得A点的纵坐标为－3，设A（x，－3），
则＝5，x＝±4．
又点A在第四象限，∴x＝－4（舍），∴A（4，－3）。
8．证明：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图。
则A（0，0），B（6，0），E（6，3），F（3，6）。
∴kBF＝＝－2，kAE＝＝。
∵kBF·kAE＝－1，∴BF⊥AE。
2.3.3点到直线的距离公式
【学习目标】
1．会用向量工具推导点到直线的距离公式。
2．掌握点到直线的距离公式，能应用点到直线距离公式解决有关距离问题。
3．通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
【学习重难点】
重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用。
难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析。
【知识梳理】
一、自主导学
1．点到直线的距离
（1）定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度。
（2）图示：
（3）公式：d=|Ax0+By0+C|A2+B2。
点睛：（1）运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式。
（2）当点P0在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用。
二、小试牛刀
1．判断对错：点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2。（ ）
2．点（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是（ ）
A．12 B．32 C．322 D．22
3．你能说出代数式|3a+b+1|2的几何意义吗？
【学习过程】
一、情境导学
在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路。请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？
思考1：最容易想到的方法是什么？
反思：这种解法的优缺点是什么？
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ的模，设M（x，y）是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则PQ是PM在上n的投影向量，PQ=PM∙n。
思考2：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n？
思考3：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？
二、典例解析
例1 求点P（3，－2）到下列直线的距离：
（1）y＝x＋；（2）y＝6；（3）x＝4．
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式。
（2）点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用。
（3）直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解。
跟踪训练1已知直线l经过点M（-1，2），且A（2，3），B（-4，5）两点到直线l的距离相等，
求直线l的方程。
点睛：用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意。
延伸探究若将本题改为“已知直线l经过点M（-1，2），点A（2，3），B（-4，5）在l的同侧且到该直线l的距离相等”，则所求l的方程为 。
易错点——因对斜率的情况考虑不全面而致错
案例求经过点P（-3，5），且与原点距离等于3的直线l的方程。
点睛：在根据距离确定直线方程时，易忽略直线斜率不存在的情况，避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时，应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件，然后再求解。
【达标检测】
1．点（1，-1）到直线y=1的距离是（ ）
A．2 B．22 C．3 D．2
2．已知点A（-3，-4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于（ ）
A．79 B．-13
C．-79或-13 D．-79或13
3．直线3x-4y-27=0上到点P（2，1）距离最近的点的坐标是 。
4．已知△ABC三个顶点坐标A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），求△ABC的面积S。
5．已知直线l经过点P（0，2），且A（1，1），B（-3，1）两点到直线l的距离相等，求直线l的方程。
课堂小结
1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式。
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰。
参考答案：
知识梳理
二、小试牛刀
1．答案：×
2．答案：C
解析：由点到直线的距离公式可得|1-（-1）+1|2=322。
3．提示：该代数式可表示平面内点（a，b）到直线3x+y+1=0的距离。
【学习过程】
思考1：思路①。定义法，其步骤为：①求l的垂线lPQ的方程②解方程组，③得交点Q的坐标④求|PQ|的长
思考2：设P1x1，y1，P2（x2，y2）直线l：Ax+By+C=0上的任意两点，则P1P2=（x2-x1，y2-y1）是直线l的方向向量。把Ax1+By1+C=0，Ax2+By2+C=0两式相减，得A（x2-x1）+B（y2-y1）=0，由平面向量的数量积运算可知，向量（A，B）与向量（x2-x1，y2-y1）垂直，向量1A2+B2（A，B）就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取n=1A2+B2（A，B），
从而PM∙n=（x-x0，y-y0）1A2+B2（A，B）=1A2+B2（Ax+By-Ax0-By0）
因为点M（x，y）在直线l上所以Ax+By+C=0代入上式，
得PM∙n=1A2+B2（-Ax0-By0-C）
因此PQ=PM∙n=Ax0+By0+CA2+B2
二、典例解析
例1 [解] （1）直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得
d＝＝。
（2因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8．
（3）因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1．
跟踪训练1解：（方法一）当过点M（-1，2）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，
恰好A（2，3），B（-4，5）两点到直线l的距离相等，
故x=-1满足题意；
当过点M（-1，2）的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，
由A（2，3）与B（-4，5）两点到直线l的距离相等，得
即x+3y-5=0.
综上所述，直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1，解得k=-13，
此时l的方程为y-2=-13（x+1），
（方法二）由题意得l∥AB或l过AB的中点。
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
即x+3y-5=0.
当l过AB的中点（-1，4）时，直线l的方程为x=-1．
综上所述，直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
直线l的斜率为kl，则kAB=kl=5-3-4-2=-13，
此时直线l的方程为y-2=-13（x+1），
延伸探究解析：将本例（2）中的x=-1这一情况舍去即可，也就是要舍去两点在直线l异侧的情况。
答案：x+3y-5=0
案例所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3．
所以15k+8=0.所以k=-815。
故直线l的方程为-815x-y+3×-815+5=0，
错解：设所求直线方程为y-5=k（x+3），
整理，得kx-y+3k+5=0.
错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密，求直线的方程时直接设为点斜式，没有考虑斜率不存在的情况。
正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y-5=k（x+3），整理，得kx-y+3k+5=0.
即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-3也满足题意。故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3．
所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3．
所以15k+8=0.所以k=-815。
故所求直线方程为y-5=-815（x+3），
【达标检测】
1．解析：d=|-1-1|1+0=2，故选D．答案：D
2．解析：由点到直线的距离公式可得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，化简得|3a+3|=|6a+4|，
解得实数a=-79或-13。故选C．
答案：C
3．解析：由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
直线MP的方程为y-1=-43（x-2），
解方程组3x-4y-27=0，y-1=-43（x-2），得x=5，y=-3，
∴所求点的坐标为（5，-3）。
答案：（5，-3）
4．【解析】由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，
即x－2y＋3＝0，由两点间距离公式得
|BC|＝，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4．
5．解：（方法一）∵点A（1，1）与B（-3，1）到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k。
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y=kx+2，即kx-y+2=0.
由点A（1，1）与B（-3，1）到直线l的距离相等，
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1，解得k=0或k=1．
（方法二）当直线l过线段AB的中点时，A，B两点到直线l的距离相等。
∵AB的中点是（-1，1），又直线l过点P（0，2），
∴直线l的方程是x-y+2=0.
当直线l∥AB时，A，B两点到直线l的距离相等。
∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，
∴直线l的方程为y=2．
综上所述，满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2．
2.3.4两条平行线间的距离
【学习目标】
1．理解两条平行线间的距离公式的推导
2．会求两条平行直线间的距离。
3．通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力。
【学习重难点】
重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式。
难点：应用距离公式解决综合问题。
【知识梳理】
一、自主导学
问题：已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点Px0，y0，，点Px0，y0到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
两条平行直线间的距离
1．定义：夹在两平行线间的公垂线段的长。
2．图示：
3．求法：转化为点到直线的距离。
二、小试牛刀
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
【学习过程】
一、情境导学
前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。
思考：立定跳远测量的什么距离？
A．两平行线的距离 B．点到直线的距离 C．点到点的距离
二、典例解析
例1．求证两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为d=C1-C2A2+B2
思考：两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线应有什么要求？
跟踪训练1两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
例2．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程。
求两平行直线间距离的两种思路
1．利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离。
2．接利直用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等。
跟踪训练2．直线l1过点A（0，1），l2过点B（5，0），如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程。
例3．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为D．你能求出d的取值范围吗？
变式1．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程。
距离公式综合应用的三种常用类型
1最值问题。
①利用对称转化为两点之间的距离问题。
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离。
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值。
2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值。
3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解。）
金题典例：已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程。
母题探究：1．求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程。
2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？
【达标检测】
1．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（ ）
A．1 B．0 C． D．3
2．分别过点A（－2，1）和点B（3，－5）的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________。
3．已知两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________。
4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程。
课堂小结
点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式
点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）之间的距离d＝
参考答案：
知识梳理
二、小试牛刀
1．D [d＝＝。选D．]
【学习过程】
二、典例解析
例1．分析：两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离
证明：在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0，y0，点Px0，y0到直线Ax+By+C2=0的距离，就是这两条平行线间的距离即
d=Ax0+By0+C2A2+B2
因为点Px0，y0在直线Ax+By+C1=0上，所以Ax0+By0+C1=0，
即Ax0+By0=-C1因此d=Ax0+By0+C2A2+B2=-C1+C2A2+B2=C1-C2A2+B2
思考3：[提示] 两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等。
跟踪训练1解析：因为两直线平行，所以m=2．
将6x+2y+1=0化为3x+y+=0，
由两条平行线间的距离公式得d==，选D．
例2．思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2．进而求出直线方程。
[解] 由直线l1，l2的方程知l1∥l2．又由题意知，直线l与l1，l2均平行（否则d1＝0或d2＝0，不符合题意）。设直线l：3x－2y＋m＝0（m≠－1且m≠－13），由两平行线间的距离公式，得d1＝，d2＝，
又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，
解得m＝－25或m＝－9．
故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
跟踪训练2[解] 若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得l2的方程为y＝k（x－5），即kx－y－5k＝0.在直线l1
上取点A（0，1），
则点A到直线l2的距离d＝＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝。
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，
l2的方程为12x－5y－60＝0.
若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，满足条件。
则满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；
l1：x＝0，l2：x＝5．
例3．解析：如图，显然有0
故所求的d的变化范围为（0，3]。
变式1．解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直。
而kAB＝＝，
∴所求直线的斜率为－3．
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3），
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
金题典例：思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解。
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0（c≠－5）。
由得正方形的中心坐标为P（－1，0），
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5（舍去）。∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
母题探究：[解] 由例题知，正方形中心坐标为P（－1，0），则与OP垂直的直线到原点的距离最大。∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1．
2．[解] 由可得交点坐标为，又正方形中心为P（－1，0）。
∴由两点式方程得对角线方程为：＝，即2x＋y＋2＝0.
由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P（－1，0），
∴由两点式得另一对角线方程为：＝，即x－2y＋1＝0.
综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.
【达标检测】
1．【答案】A [l1、l2的距离为d＝＝1．选A．]
2．【答案】 5【解析】 d＝|3－（－2）|＝5．
3．【答案】或－6 [由＝，解得m＝或m＝－6．]
4．【解析】 ∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33．
∴所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.
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