高中物理鲁科版 (2019)必修 第一册第4章 力与平衡第3节 共点力的平衡学案

第3节　共点力的平衡

要点一　物体的平衡状态

物理学中,把物体静止❶或做匀速直线运动时所处的状态称为平衡状态❷。

要点二　共点力的平衡条件

若作用在物体上的几个共点力的合力为0,就达到了力的平衡❸。

❶静止状态指速度为0的状态,那么速度为零时一定处于静止状态吗?

提示　不一定,例如自由落体运动释放的一瞬间速度为零,但不是静止状态。

❷物体速度处于大小不变的状态是不是平衡状态?

提示　不是,速度方向可能变化。

❸只有共点力才能使物体达到力的平衡,处于平衡状态吗?

提示　不一定。

1.对静止状态的理解:静止与速度v=0不是一回事。物体保持静止状态,说明v=0,a=0,两者同时成立。若仅是v=0,a≠0,如自由下落开始时刻的物体,并非处于静止状态。

2.共点力平衡的几种常见类型

(1)物体受两个力平衡时,这两个力等大、反向、共线,是一对平衡力。

(2)物体受三个力平衡时,任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线,三力首尾相接一定是封闭的三角形如图。

(3)物体受三个以上的力平衡时,其中任意一个力与另外几个力的合力等大、反向、共线。

探究点一　物体的平衡条件

　　认真观察以下三幅图片,无论是人类的精妙技艺还是大自然的鬼斧神工,这些平衡之美都令人惊叹,那么立在桌面上的鸡蛋、单脚站立的演员、顶在石块上面的大石头,受力特点有什么相同之处呢?

提示　均受两个力作用,这两个力大小相等,方向相反,作用在同一条竖直直线上。

1.平衡状态:指物体保持静止状态或匀速直线运动状态。

2.共点力平衡的条件:物体所受的合力为0。

数学表达式有两种:

①F合=0;

②,Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后,物体在x轴和y轴上所受的合力。

例　(多选)如图,在粗糙水平面与竖直墙壁之间放置木块A和质量为m的光滑球B,系统处于静止状态。O为B的球心,C为A、B的接触点,CO与竖直方向夹角为θ=60°,重力加速度为g。则              (　　)

A.木块A对球B的支持力大小为2mg

B.地面对木块A的摩擦力大小为mg

C.若木块A右移少许,系统仍静止,地面对木块A的支持力不变

D.若木块A右移少许,系统仍静止,墙壁对球B的支持力变小

答案　ACD　以球B为研究对象,受力分析如图所示,木块A对球B的支持力大小为T===2mg,A正确;以整体为研究对象,水平方向的摩擦力大小等于墙与B之间的作用力F,则摩擦力f=F=mg tan θ=mg,B错误;把木块A右移少许,系统仍静止,地面对木块A的支持力等于整体受到的重力,C正确;把木块A右移少许,系统仍静止,θ变小,墙壁对球B的支持力mg tan θ变小,D正确。

解题感悟

分析平衡问题的基本思路

分析解决平衡问题,通常先确定研究对象,再进行受力分析,然后根据平衡条件建立未知量与已知量间的关系方程求解。

若物体受到三个力的作用且处于平衡状态,则其中任意两个力的合力必然与第三个力大小相等、方向相反。这时可根据平行四边形(或三角形)的几何关系列方程求解,也可用正交分解法求解。

若物体在更多力的作用下处于平衡状态,则通常用正交分解法列方程求解,注意分析结果的物理意义。

1.如图所示,A、B两个楔形物体叠放在一起,B靠在竖直墙壁上,在水平力F的作用下,A、B静止不动,则下列说法正确的是              (　　)

A.A、B之间一定存在摩擦力

B.A一定受四个力

C.B可能受四个力

D.B一定受四个力

答案　C　对A分析,可以肯定受到的三个力:A的重力GA、力F、B对A的支持力N1,可能受到B沿接触面方向的摩擦力,故A、B错误;对A、B整体进行受力分析,受到四个力作用:力F,A、B的重力G,墙壁的支持力N、墙壁的摩擦力f,如图:

对B分析,可以肯定受到的四个力:B的重力GB、墙壁的支持力N、墙壁的摩擦力f、A对B的压力N1',可能受到A沿接触面方向的摩擦力,故C正确,D错误。

2.(多选)如图所示,某健身爱好者手拉着轻绳,在粗糙的水平地面上缓慢地移动,保持轻绳始终平行于地面。为了锻炼自己的臂力和腿部力量,可以在O点悬挂不同的重物C,则              (　　)

A.若健身爱好者缓慢向右移动,绳OA拉力变大

B.若健身爱好者缓慢向左移动,绳OB拉力变大

C.若健身爱好者缓慢向右移动,绳OA、OB拉力的合力变大

D.若健身爱好者缓慢向左移动,健身者与地面间的摩擦力变小

答案　AD　设OA的拉力为FA,OB的拉力为FB,重物C的质量为m,因O点始终处于平衡状态,根据平衡条件有:FA cos θ-mg=0,FA sin θ-FB=0,解得FA=,FB=mg tan θ。当健身爱好者缓慢向右移动时,θ变大,则FA、FB均变大,故选项A正确;当健身爱好者缓慢向左移动时,θ变小,则FA、FB均变小,因为健身爱好者所受的摩擦力与OB绳拉力FB大小相等,故健身爱好者与地面间的摩擦力变小,故选项B错误,D正确;无论健身爱好者朝哪个方向移动,绳OA、OB拉力的合力保持不变,大小等于重物C的重力mg,故选项C错误。

探究点二　共点力平衡的处理方法

求解共点力平衡问题的方法

方法一:合成法

适用于三力平衡问题,根据任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反,通过平行四边形建立平衡关系。

方法二:分解法

物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的作用效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件。

方法三:图解法

在平衡问题中,题目中出现“缓慢”一词,则物体处于动态平衡状态,处理此类三力平衡问题时,一般在进行受力分析,构建力的三角形,利用图解法解题。

1.如图所示,用三根轻绳将A、B两小球以及水平天花板上的固定点O两两连接。然后用一水平方向的力F作用于A球上,此时三根轻绳均处于伸直状态,且点O和B球间的轻绳恰好处于竖直方向,两球均处于静止状态。已知三根轻绳的长度之比l1∶l2∶l3=3∶4∶5,两球质量关系为mA=2mB=2m,重力加速度为g,则下列说法正确的是              (　　)

A.点O和B球间轻绳的拉力大小为2mg

B.点O和A球间轻绳的拉力大小为

C.F的大小为

D.A、B两球间轻绳的拉力大小为mg

答案　B　首先由平衡条件判定B球不受A、B两球间轻绳的作用力,即A、B两球间轻绳无张力,TOB=mBg=mg,TAB=0,A、D错误。隔离A球分析,A球受三个力作用而处于平衡状态,这三个力能组成一个矢量三角形,如图所示,F=mAg tan θ=mAg·=,TOA==mAg·=,B正确,C错误。

2.(多选)如图所示,形状相同的物块A、B,其截面为直角三角形,相对摆放在粗糙水平地面上,光滑球体C架在两物块的斜面上,系统处于静止状态,已知物块A、B的质量都为M,θ=60° ,光滑球体C质量为m,重力加速度为g,则以下说法正确的是              (　　)

A.地面对物块A的摩擦力大小为mg

B.地面对物块A的摩擦力大小为mg

C.物块A对球体C的弹力大小为mg

D.物块A对地面的压力大小为Mg+mg

答案　BD　以球体C为研究对象,其受到斜向上的两个弹力作用,两个弹力的合力竖直向上,大小等于光滑球体的重力,受力分析如图所示,由几何关系可知,弹力大小为mg,C项错误;以A为研究对象,C对A的正压力大小为mg,其在水平方向上的分力等于地面对物块A的静摩擦力大小,由此可知静摩擦力大小为mg,A项错误,B项正确;以A、B、C整体为研究对象,所受重力为2Mg+mg,支持力为2Mg+mg,由对称性可知A所受地面支持力为Mg+,D项正确。

探究点三　正交分解法处理平衡问题

物体在多个共点力作用下平衡时,合力总等于零,则物体受到共点力作用时处于平衡状态的条件:它们在水平方向上的分力的合力等于零,在竖直方向上的分力的合力也等于零。

1.正交分解法解题步骤:

(1)明确研究对象(研究对象的选择尽量能联系已知条件与所求物理量);

(2)受力分析;

(3)以研究对象为坐标原点建立平面直角坐标系。

2.正交分解法中坐标轴方向的选取有以下技巧:

(1)研究水平面上的物体时,通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴;

(2)研究斜面上的物体时,通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴;

(3)研究在杆或绳的作用下转动的物体时,通常沿杆或绳方向和垂直杆或绳的方向建立坐标轴;

(4)使尽量多的力落在坐标轴上,减少力的分解个数;使各待分解的力与坐标轴的夹角为特殊值;

(5)对于运动的物体,通常沿物体运动方向和垂直物体运动方向建立。

1.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图所示。已知ac绳和bc绳与竖直方向的夹角分别为30°和60°,则ac绳和bc绳中的张力分别为              (　　)

A.mg,mg　　　B.mg,mg

C.mg,mg　　　D.mg,mg

答案　A　设ac绳中的拉力为F1,bc绳中的拉力为F2,以水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立平面直角坐标系,并将F1和F2进行正交分解,则对三根绳的结点受力分析,有水平方向:F1 sin 30°=F2 sin 60°;竖直方向:F1 cos 30°+F2 cos 60°=F,又因竖直绳上的拉力F=mg,由以上三式可得F1=mg,F2=mg,故A正确。

2.(★)如图所示,质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上。物体与斜面之间的动摩擦因数为μ,用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑,若改用水平推力F2作用于物体上,也能使物体沿斜面匀速上滑,则两次的推力之比为              (　　)

A.cos θ+μ sin θ　　　B.cos θ-μ sin θ

C.1+μ tan θ　　　D.1-μ tan θ

答案　B　两种情况下分别对物体进行受力分析,如图甲、乙所示,对甲图,沿斜面方向F1-mg sin θ-Ff1=0,垂直于斜面方向FN1-mg cos θ=0,Ff1=μFN1,联立可解得F1=mg sin θ+μmg cos θ。

对乙图,沿斜面方向F2 cos θ-mg sin θ-Ff2=0,垂直于斜面方向FN2-F2 sin θ-mg cos θ=0,Ff2=μFN2,联立可解得F2=,所以=cos θ-μ sin θ,故B正确。

1.关于平衡状态,下列说法正确的是 (　　)

 A.竖直上抛的物体到达最高点时,处于平衡状态

B.木块放在斜面体的斜面上,随斜面体一起向右匀速运动,木块处于平衡状态

C.木块放在斜面体的斜面上,随斜面体一起向右匀加速运动,木块处于平衡状态

D.静止在匀加速运动的列车内的水平桌面上的杯子,处于平衡状态

答案　B　竖直上抛的物体在最高点受到重力作用,合力不为零。匀速运动或静止的物体,所受合外力为零,处于加速运动中的物体所受合外力不为0。

2.如图所示,在水平晾衣杆上晾晒床单时,为了使床单尽快晾干,可在床单间支撑轻质小木棍。小木棍的位置不同时,两侧床单间的夹角θ也将不同。设床单重力为G,晾衣杆对床单的作用力大小为F。下列说法正确的是              (　　)

A.θ越大,F越大

B.θ越大,F越小

C.无论θ取何值,都有F=G

D.只有当θ=120°时,才有F=G

答案　C　以床单和木棍整体为研究对象,整体受到重力G和晾衣杆的支持力F,由平衡条件可知F=G,与θ取何值无关,C项正确。

3.(★)如图所示,某同学在沙料场中发现沙子堆积时会形成圆锥形,且堆积过程中圆锥的底角保持不变,他测得某堆沙子的底部周长约为63 m,他查阅资料发现沙子之间的动摩擦因数约为0.8,若最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则这堆沙子的最大高度约为              (　　)

A.4 m　　　B.8 m

C.12 m　　　D.16 m

答案　B　沙堆底面为圆,根据圆的周长C=2πr可得r=10 m,以最上层一粒沙子为研究对象,分析受力可知,受竖直向下的重力、垂直斜面向上的弹力和沿斜面向上的摩擦力,且摩擦力为最大静摩擦力,设斜面和地面夹角为θ,故满足μmg cos θ=mg sin θ,解得 tan θ=0.8,设高度为h,由tan θ=,解得h=8 m。

“活结”“死结”模型与“活杆”“死杆”模型

1.“活结”与“死结”模型

(1)“活结”:一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。

(2)“死结”:两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。

2.“活杆”与“死杆”模型

(1)“活杆”:即轻杆用转轴或铰链连接,当杆处于平衡状态时,杆所受到的弹力方向一定沿着杆,否则会引起杆的转动。如图甲所示,若C为转轴,则轻杆在缓慢转动中,弹力方向始终沿杆的方向。

(2)“死杆”:若轻杆被固定不发生转动,则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示,水平横梁的一端A插在墙壁内,另一端装有一个小滑轮B,一轻绳的一端C固定于墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂重物m。滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力,即“死杆”弹力的方向不沿杆的方向。

1.(2021湖北沙市中学高一期中)如图所示,绳与杆均不计重力,A端用铰链固定,滑轮O在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可忽略),B端吊一重物P。现施加拉力FT使B缓慢下放(均未断),在杆达到水平前              (　　)

A.绳子拉力越来越小　　　

B.绳子拉力越来越大

C.杆的弹力越来越小　　　

D.杆的弹力越来越大

答案　B　以B点为研究对象,分析受力情况:重物的拉力F(等于重物的重力G)、轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT,按如图所示合成。

根据三角形相似可得==

解得FN=G,FT=G,将B缓慢下放,∠BAO缓慢变大,AB、AO保持不变,BO变大,则FN保持不变,FT变大,故B项正确。

2.(★)(2021福建厦门湖滨中学月考)如图甲所示,轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮拉住一个质量为M1=10 kg的物体,∠ACB=30°;图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上,另一端P通过轻绳EP拉住,EP与水平方向也成30°,轻杆的P点用轻绳PQ拉住一个质量为M2=10 kg的物体。g取10 m/s2,求:

(1)轻绳AC段的张力FAC与轻绳EP的张力FEP之比;

(2)横梁BC对C端的支持力;

(3)轻杆HP对P端的支持力。

答案　(1)

(2)100 N,方向与水平方向成30°角斜向右上方

(3)100 N,方向水平向右

解析　分别对C点和P点受力分析,如图所示

(1)图1中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体,物体处于平衡状态,绳AC段的拉力FAC=FCD=M1g

图2中则有FEP sin 30°=FPQ=M2g

解得FEP=2M2g

所以得==

(2)图1中,根据几何关系得

FC=FAC=M1g=100 N

方向与水平方向成30°角斜向右上方

(3)图2中,根据平衡条件有

FEP sin 30°=M2g,FEP cos 30°=FP

可得FP==M2g=100 N,方向水平向右

规律总结

“死结”“活结”模型的特点

1.“死结”模型的三个特点

(1)“死结”是不可以沿绳子移动的结。

(2)“死结”两侧的绳因打结而变成了两根独立的绳。

(3)“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。

2.“活结”模型的3个特点

(1)“活结”是可以沿绳子移动的结点。

(2)“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳。

(3)“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。