2023年高考数学(文数)一轮复习课时58《坐标系》达标练习（2份，答案版+教师版）

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(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝eq \r(10)，求l的斜率.
【答案解析】解：(1)由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程
ρ2＋12ρcs θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcs α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cs α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2)＝eq \r(144cs2α－44).
由|AB|＝eq \r(10)得cs2α＝eq \f(3,8)，tan α＝±eq \f(\r(15),3).
所以l的斜率为eq \f(\r(15),3)或－eq \f(\r(15),3).
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcs(θ- eq \f(π,3))=1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
【答案解析】解：(1)∵ρcs(θ- eq \f(π,3))=1，
∴ρcs θ·cseq \f(π,3)＋ρsin θ·sineq \f(π,3)=1.∴eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y=1.
即曲线C的直角坐标方程为x＋eq \r(3)y－2=0.
令y=0，则x=2；令x=0，则y=eq \f(2\r(3),3).
∴M(2,0)，N(0,eq \f(2\r(3),3)).
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为（eq \f(2\r(3),3)，eq \f(π,2)）.
(2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为（1，eq \f(\r(3),3)），
∴P的极角为θ=eq \f(π,6).
∴直线OP的极坐标方程为θ=eq \f(π,6)(ρ∈R).
已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cs θ，直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(2\r(5),5)t，,y＝1＋\f(\r(5),5)t))(t为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)若曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2cs α，,y＝sin α))(α为参数)，曲线C1上点P的极角为eq \f(π,4)，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.
【答案解析】解：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cs θ，
即ρ2＝4ρcs θ，
可得直角坐标方程：C1：x2＋y2－4x＝0.
直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(2\r(5),5)t，,y＝1＋\f(\r(5),5)t))(t为参数)，
消去参数t可得普通方程：x＋2y－3＝0.
(2)P（2eq \r(2)，eq \f(π,4)），直角坐标为(2，2)，Q(2cs α，sin α)，M（1+csα，1+eq \f(1,2)sinα），
∴M到l的距离为d＝eq \f(|1＋cs α＋2＋sin α－3|,\r(5))＝eq \f(\r(10),5)|sin（α+eq \f(π,4)）|≤eq \f(\r(10),5)，
从而最大值为eq \f(\r(10),5).
在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(eq \f(π,6)－θ)=2，曲线C的方程为ρ=4csθ，
求直线l被曲线C截得的弦长.
【答案解析】解：因为曲线C的极坐标方程为ρ=4csθ，
所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin(eq \f(π,6)－θ)=2，
则直线l过A(4,0)，倾斜角为eq \f(π,6)，
所以A为直线l与圆C的一个交点.
设另一个交点为B，则∠OAB=eq \f(π,6).
连接OB.如图.
因为OA为直径，从而∠OBA=eq \f(π,2)，所以AB=4cseq \f(π,6)=2eq \r(3).
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2eq \r(3).
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.
(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
【答案解析】解：
(1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))=1得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ＋\f(\r(3),2)sin θ))=1.
从而C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y=1，即x＋eq \r(3)y=2.
当θ=0时，ρ=2，所以M(2,0).
当θ=eq \f(π,2)时，ρ=eq \f(2\r(3),3)，所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))).
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3))).
所以P点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，则P点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，
所以直线OP的极坐标方程为θ=eq \f(π,6)(ρ∈R).
在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=－2cs θ，ρcs(θ+ eq \f(π,3))=1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数.
(2)过极点O作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|=2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形.
【答案解析】解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2=1，
它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－eq \r(3)y－2=0，
所以曲线C2为直线，
由于圆心到直线的距离为d=eq \f(3,2)＞1，
所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点.
(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρρ0＝2，,θ＝θ0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ0＝\f(2,ρ)，,θ0＝θ，))①
因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，所以ρ0cs(θ0+ eq \f(π,3))=1，②
将①代入②，得eq \f(2,ρ)cs(θ+ eq \f(π,3))=1，
即ρ=2cs(θ+ eq \f(π,3))为点P的轨迹方程，
化为直角坐标方程为（x- eq \f(1,2)）2＋（y+ eq \f(\r(3),2)）2=1，
因此点P的轨迹是以（eq \f(1,2)，- eq \f(\r(3),2)）为圆心，1为半径的圆.
已知曲线C1：x＋eq \r(3)y=eq \r(3)和C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(6)cs φ，,y＝\r(2)sin φ))(φ为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.
【答案解析】解：(1)曲线C1化为ρcs θ＋eq \r(3)ρsin θ=eq \r(3).
∴ρsin（θ+ eq \f(π,6)）=eq \f(\r(3),2).曲线C2化为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)=1，(*)
将x=ρcs θ，y=ρsin θ代入(*)式
得eq \f(ρ2,6)cs2θ＋eq \f(ρ2,2)sin2θ=1，即ρ2(cs2θ＋3sin2θ)=6.
∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=eq \f(6,1＋2sin2θ).
(2)∵M(eq \r(3)，0)，N(0,1)，P（eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)）.
∴OP的极坐标方程为θ=eq \f(π,6)，
把θ=eq \f(π,6)代入ρsin（θ+ eq \f(π,6)）=eq \f(\r(3),2)，得ρ1=1，P（1，eq \f(π,6)）.
把θ=eq \f(π,6)代入ρ2=eq \f(6,1＋2sin2θ)，得ρ2=2，Q（2，eq \f(π,6)）.
∴|PQ|=|ρ2－ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1.
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))=2.已知点Q是曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|=4，动点P的轨迹为C2.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值.
【答案解析】解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，
则|OP|=ρ，|OQ|=ρ1=eq \f(2,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6))))，
由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))(ρ>0)，
所以ρ=eq \r(3)cs θ＋sin θ，
两边乘ρ得ρ2=eq \r(3)ρcs θ＋ρsin θ，
因为ρ2=x2＋y2，ρcs θ=x，ρsin θ=y，
所以x2＋y2－eq \r(3)x－y=0，
所以C2的直角坐标方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2=1(x2＋y2≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，
由题设及(1)知|OA|=2，ρB=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))，
于是△AOB的面积S=eq \f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB
=2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))=
2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α＋\f(1,2)sin α))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α－\f(\r(3),2)cs α))))=2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin2α－\f(3,4)))≤eq \f(3,2)，
当α=0时，S取得最大值eq \f(3,2).所以△AOB面积的最大值为eq \f(3,2).