2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一（下）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2021春•湖北期末）设集合，，则
A．B．C．D．
2．（5分）（2021春•湖北期末）的共轭复数的虚部为
A．1B．C．D．
3．（5分）（2021春•湖北期末）已知，，，则
A．B．C．D．
4．（5分）（2021春•湖北期末）等边三角形的边长为1，，，，那么等于
A．3B．C．D．
5．（5分）（2021春•湖北期末）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则
A．若，，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
6．（5分）（2021春•湖北期末）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
7．（5分）（2021春•湖北期末）已知正数，满足：，则的最小值为
A．B．C．6D．
8．（5分）（2021春•湖北期末）在平行四边形中，，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是
A．B．C．，D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2021春•湖北期末）下列说法正确的是
A．已知，为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件
B．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
C．若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
D．在中，是的充要条件
10．（5分）（2021春•湖北期末）已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当，时，，则下列结论正确的是
A．为偶函数B．在，上单调递减
C．关于对称D．
11．（5分）（2021春•湖北期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是
A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8
12．（5分）（2021春•湖北期末）如图，正方体的棱长为2，则下列四个命题正确的是
A．直线与平面所成的角等于
B．点到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2021春•湖北期末）已知，，且，则的坐标为 ．
14．（5分）（2021春•湖北期末）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的表面积为 ．
15．（5分）（2021春•湖北期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为 ．
16．（5分）（2020•黄州区校级模拟）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，为“隅”， 为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为，，，则．已知点是边上一点，，，，，则的面积为 ．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）（2021春•湖北期末）在复平面内，复数（其中．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
18．（12分）（2021春•湖北期末）已知向量，．若与的夹角为．
（1）求；
（2）向量与互相垂直，求实数的值．
19．（12分）（2021春•湖北期末）已知、、是中，，的对边，，，．
（1）求；
（2）求的值．
20．（12分）（2021春•湖北期末）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如表格和频率分布直方图已知评分在，的居民有900人．
（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；
（2）定义满意度指数（满意程度的平均分），若，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？
21．（12分）（2021春•湖北期末）已知函数的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的的取值集合．
22．（12分）（2021•南开区二模）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小．
2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2021春•湖北期末）设集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：或，，
．
故选：．
2．（5分）（2021春•湖北期末）的共轭复数的虚部为
A．1B．C．D．
【解答】解：，
故，所以虚部为1．
故选：．
3．（5分）（2021春•湖北期末）已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
．
故选：．
4．（5分）（2021春•湖北期末）等边三角形的边长为1，，，，那么等于
A．3B．C．D．
【解答】解：由题意可得，
故选：．
5．（5分）（2021春•湖北期末）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则
A．若，，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【解答】解：由是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，知：
在中，若，，，，
则与相交、平行或，故错误；
在中，若，，，
则由线面垂直的判定定理得，故正确；
在中，若，，，则，故错误；
在中，若，，，则与相交、平行或异面，故错误．
故选：．
6．（5分）（2021春•湖北期末）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：函数的最小正周期为，故正确；
，不是的最大值，故错误；
把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得的图象，故错误，
故选：．
7．（5分）（2021春•湖北期末）已知正数，满足：，则的最小值为
A．B．C．6D．
【解答】解：因为，
所以，
当且仅当时取等号，此时取得最小值．
故选：．
8．（5分）（2021春•湖北期末）在平行四边形中，，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是
A．B．C．，D．
【解答】解：由题意如图：在上的射影为，当在点时，射影为，在时，射影为，
显然在时的投影取得最小值，在时，投影取得最大值，
，，
则的取值范围是：，，
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2021春•湖北期末）下列说法正确的是
A．已知，为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件
B．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
C．若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
D．在中，是的充要条件
【解答】解：对于：当时，与的夹角为锐角，也可能为零角，故充分性不成立，
当与的夹角为锐角时，一定成立，故必要性成立，故正确；
对于：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，
不用平行于圆锥底面的平面截圆锥，则不可能得到一个圆锥和一个圆台，故不正确；
对于：由面面垂直的性质定理可得，正确；
对于：在中，，
所以是的充要条件，故正确．
故选：．
10．（5分）（2021春•湖北期末）已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当，时，，则下列结论正确的是
A．为偶函数B．在，上单调递减
C．关于对称D．
【解答】解：因为函数的定义域为，且函数图象关于直线对称，
则恒成立，
又，
所以，
故，即，
所以函数是偶函数，
故选项正确；
因为，
所以，即，
故函数是周期为6的周期函数，
当，时，，则在，上单调递增，
所以在，上单调递增，
故选项错误；
因为为偶函数且图象关于对称，
则有，，
所以，
则的图象关于直线对称，
故选项正确；
因为函数是周期为6的偶函数，
则（5）（1）．
故选项正确．
故选：．
11．（5分）（2021春•湖北期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是
A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8
【解答】解：对于，例如2，2，2，3，6可满足条件且出现点数为6，选；
对于，例如2，2，3，4，6可满足条件且出现点数为6，选；
对于，例如2，2，3，4，6可满足条件且出现点数为6，选；
对于，平均数为2，假设出现点数为6，则方差大于2.4，不选．
故选：．
12．（5分）（2021春•湖北期末）如图，正方体的棱长为2，则下列四个命题正确的是
A．直线与平面所成的角等于
B．点到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球表面积为
【解答】解：对于：连接，交于点
由题意，四边形为正方形，，
又因为平面，平面，
所以，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，又，故不正确；
对于：因为平面，
所以为点到平面的距离，
又因为棱长为2，
所以，故正确；
对于：连接，，，
因为，
所以为异面直线和所成的角，
又因为，
所以，故正确；
对于：因为三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，
设外接球半径为，，
所以外接球表面积为，故不正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（2021春•湖北期末）已知，，且，则的坐标为 ，或， ．
【解答】解：设平面向量，
因为，所以，①
又，且，
所以，②
由①②组成方程组，解得，或；
所以的坐标为，或，．
故答案为：，或，．
14．（5分）（2021春•湖北期末）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的表面积为 ．
【解答】解：设圆锥的高为，底面圆的半径为，母线为，
因为圆锥的底面半径为6，其体积为，
则，
解得，
所以母线，
则该圆锥的表面积为．
故答案为：．
15．（5分）（2021春•湖北期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为 ．
【解答】解：角的终边过点，
，可得，
则．
故答案为：．
16．（5分）（2020•黄州区校级模拟）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，为“隅”， 为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为，，，则．已知点是边上一点，，，，，则的面积为 ．
【解答】解：因为，
所以，
由余弦定理可知，
，
即，
根据“三斜求积术”可得，
所以．
故答案为：
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）（2021春•湖北期末）在复平面内，复数（其中．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为复数为纯虚数，所以，解得；
（2）因为对应的点在第四象限，所以，解得：．
即的取值范围．
18．（12分）（2021春•湖北期末）已知向量，．若与的夹角为．
（1）求；
（2）向量与互相垂直，求实数的值．
【解答】解：（1）；
（2）因为向量与互相垂直，
所以，整理可得，解得．
19．（12分）（2021春•湖北期末）已知、、是中，，的对边，，，．
（1）求；
（2）求的值．
【解答】解：（1）因为，，，
所以在中，由余弦定理得，，可得，即，
所以，或，负值舍去．
所以．
（2）由已知，得，
所以，
所以．
20．（12分）（2021春•湖北期末）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如表格和频率分布直方图已知评分在，的居民有900人．
（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；
（2）定义满意度指数（满意程度的平均分），若，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？
【解答】解：（1）由频率分布直方图知，即，
解得，
设总共调查人，则，解得．
即调查的总人数为1500人．
（2）由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，
，
该区防疫工作不需要进行大调整．
21．（12分）（2021春•湖北期末）已知函数的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的的取值集合．
【解答】解：（1）由题意：函数，
化简得：
，
的最大值为1，
，解得：．
（2）由（1）可知．
根据三角函数的性质可得：，．
即，
解得：，，
的单调递减区间为，；
（3）由题意：，即，
可得：．
，．
解得：．
成立的的取值范围是，．
22．（12分）（2021•南开区二模）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：设，连接，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，又因为为中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）解：取中点，连接、，
因为底面，平面，所以，
因为底面是正三角形，是的中点，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，所以平面，
于是为在平面内投影，所以为直线与平面所成角，
，
所以直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面，因为平面，
所以，又因为，所以为二面角的平面角，
因为，，所以，
所以二面角的大小为．
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