2021年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅱ卷（含解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试全国新高考Ⅱ卷

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.若全集，集合，，则(   )

A. B. C. D.

3.若抛物线的焦点到直线的距离为，则(   )

A.1 B.2 C. D.4

4.卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O，半径为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为.该卫星信号覆盖的地球表面面积（单位：），则S占地球表面积的百分比为()

A.26% B.34% C.42% D.50%

5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为()

A. B. C. D.

6.某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是(   )

A.σ越小，该物理量一次测量结果落在内的概率越大

B.σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5

C.σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01与小于9.99的概率相等

D.σ越小，该物理量一次测量结果落在内的概率与落在内的概率相等

7.若，，，则(   )

A. B. C. D.

8.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则()

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列数字特征能体现一组数据离散程度的是()

A.标准差 B.中位数 C.极差 D.平均数

10.如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足的是()

A. B.

C. D.

11.已知直线与圆，点，则下列说法正确的是()

A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切

B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离

D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

12.设正整数，其中，记，则(   )

A.  B.

C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线，离心率，则双曲线C的渐近线方程为___________.

14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数____________.

①；②当时，；③是奇函数.

15.已知向量，，，则____________.

16.已知函数，，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值.

18.（12分）在中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，，.

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由.

19.（12分）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，，.

（1）证明：平面平面ABCD；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

20.（12分）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是.

21.（12分）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，.

（1）已知，，，，求；

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

22.（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点.

①，；

②，.

参考答案

1.答案：A

解析：本题考查复数的四则运算及几何意义.因为，所以在复平面内，复数对应的点位于第一象限.

2.答案：B

解析：本题考查集合的交集和补集.由题可得，所以.

3.答案：B

解析：本题考查点到直线的距离及抛物线的焦点坐标.抛物线的焦点为.由题意，得，解得.

4.答案：C

解析：本题考查解三角形在实际生活中的应用.由题意可知，，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积，此面积与地球表面积之比约为.

5.答案：D

解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台补成四棱锥，作底面ABCD于点O，交平面于点，则棱台的体积.由题意，，易知，，，而，所以，则，，所以棱台的体积.

6.答案：D

解析：本题考查正态曲线的特点.根据正态曲线可直接得出B项， C项正确；越小，则正态曲线越“瘦高”，该物理量一次测量结果落在内的概率越大，A项正确；同理，落在内的概率大于落在内的概率，D项错误.

7.答案：C

解析：本题考查对数的大小比较.因为，，所以.

8.答案：B

解析：本题考查函数的奇偶性、周期性和函数图象的对称性.因为函数为偶函数，所以其图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称；又函数为奇函数，所以其图象关于点对称，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象且函数的图象关于点对称，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，且函数的图象关于点对称，所以函数图象既关于直线对称，又关于点对称，所以4为函数的一个周期.又，所以.

9.答案：AC

解析：本题考查样本的数字特征.平均数和中位数反映的是一组数据的集中趋势，标准差和极差则体现了一组数据的离散程度.

10.答案：BC

解析：本题考查直线与直线的位置关系.设四个选项中的均为边长为2的正方体.对于A项，如图1，取的中点，则，所以MN与OP共面，为所求角，连接，又可求得，，所以，所以MN与OP不垂直，A项错误；对于B项，如图2，取AD的中点，连接，，则，且平面，即，所以平面，所以，B项正确；对于C项，如图3，取AD的中点，连接，，，则，且平面，即，所以平面，所以，又，所以，C项正确；对于D项，如图4，取的中点，连接，，则，即为异面直线MN与OP的夹角，又，，所以，所以MN与OP不垂直，D项错误.

11.答案：ABD

解析：本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系.圆心到直线的距离，若点A在圆上，则，则，所以直线l与圆C相切，故A项正确；若点A在圆内，则，则，所以直线l与圆C相离，故B项正确；若点A在圆外，则，则，所以直线l与圆C相交，故C项错误；若点A在直线l上，则，即，则点A也在圆C上，，所以直线l与圆C相切，故D项正确.

12.答案：ACD

解析：本题考查对新定义的理解.，假设，，…，，中有m个1（），则.又，则，，…，，中也有m个1，则，故A项正确；当时，，，所以，又，所以，故B项错误；，，由A知，，所以，所以，故C项正确；因为，所以，，…，，中有n个1，所以，故D项正确.

13.答案：

解析：本题考查双曲线的几何性质.双曲线C的离心率，所以，所以双曲线C的渐近线方程为.

14.答案：（答案不唯一）

解析：本题考查函数的奇偶性与单调性、导数的应用.由条件②可知，在上单调递增；由条件③可知，可能为偶函数，再结合条件①，可构造函数或等.

15.答案：

解析：本题考查平面向量的数量积运算.由，得，所以，所以，解得.由，得，所以，所以，解得.同理可得，所以.

16.答案：

解析：本题考查利用导数的几何意义求切线方程及取值范围问题.画出的图象，如图所示，由题意知两条切线的斜率存在且不为零.当时，，，过点的切线斜率；当时，，，过点的切线斜率.因为两条切线互相垂直，所以，即，即，所以.过点的切线方程为，令，则；过点的切线方程为，令，则，则，，所以.因为，所以，所以的取值范围为.

17.答案：（1）设等差数列的公差为，

则解得

所以.

（2）结合（1）可知，，

则等价于，

解得或，又，所以，

故使成立的n的最小值为7.

18.答案：（1）由正弦定理知，联立，解得

则.

由余弦定理可知.

因为，所以，

则的面积为.

（2）因为，所以，

所以若存在正整数a，使得为钝角三角形，只需角C为钝角，

所以只需满足，即，

则，

化简得，解得.

因为a为正整数，所以a可取1，2.

当时，的三边的长度分别为1，2，3，此时不满足三角形的三边关系，即该三角形不存在；

当时，的三边的长度分别为2，3，4满足题意.

因此当时，为钝角三角形.

19.答案：（1）如图，取AD的中点E，连接EQ，EC.

因为，所以.

又因为在正方形ABCD中，，所以，，

此时，所以.

又，EC，平面ABCD，

所以平面ABCD.

因为平面QAD，所以平面平面ABCD.

（2）由（1）知平面ABCD，因此以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则，，，，.

设平面BDQ的法向量，则即

取，得，则.

易知平面AQD的一个法向量，

则，由图可知二面角的平面角为锐角，

因此二面角的平面角的余弦值为.

20.答案：（1）由题意得，，可得，

从而，

所以椭圆C的方程为.

（2）设，，若轴，由MN与相切可知，

直线MN的方程为，不过点F，不合题意，所以MN的斜率必存在且不为0.

设直线MN的方程为.

由直线MN与相切知，即.

将与椭圆方程联立，消去y，化简得，

.

由根与系数的关系得，，

所以

.

又，所以.（*）

若点M，N，F共线，则，即.

又，所以，代入（*）式可得

.

反之，若，则，

即，

整理得，又，所以.

又曲线为右半圆，则m与k异号，

所以，或，，

即MN的方程为或，经检验，都经过点F，

所以M，N，F三点共线的充要条件是.

21.答案：（1）由题意知.

（2）由题意知.

设，则，，

，.

方程的判别式，

不妨设其两根分别为，，且，由根与系数的关系得，，，则，且，且.

当时，，

所以，故的最小实数根为1，即（如图1）.

当时，，

所以，即存在使得（如图2），即.

（3）由（2）可知，当时，，即1个微生物个体繁殖下一代的个数期望不大于1，则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率为1，即该微生物会灭绝.

当时，，即1个微生物个体繁殖下一代的个数期望大于1，则该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率小于1，即该种微生物可通过多代繁殖而不至于灭绝.

22.答案：（1）由题意得，

当时，令，得；令，得.

所以在上单调递减，在上单调递增.

当时，令，得或，

①当时，令，得或，

令，得.

所以在，上单调递增，在上单调递减，

②当时，且等号不恒成立，所以在R上单调递增.

③当时，令，得或；

令，得，

所以在，上单调递增，在上单调递减.

（2）选择条件①，证明如下：

由（1）知当时，在，上单调递增，在上单调递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值，

且，.

由于，，所以，，.

令，

则，

令，得，当时，.

当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值.

由于，，，

所以在上恒成立，所以.

当时，，所以有一个零点，得证.

选择条件②，证明如下：

由（1）知，当时，在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，

在处取得极小值.

由于，，所以，，，，

则，所以.

当，，所以有一个零点，得证.